第六章 静电场
第1讲 电场力的性质
一、电荷及电荷守恒定律
1．电荷
(1)种类：自然界中的电荷有两种，分别是正电荷和负电荷．
(2)性质：同种电荷相互排斥、异种电荷相互吸引．
(3)元电荷：e＝1.6×10－19_C，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，其中质子、正电子的电荷量与元电荷相同．电子带的电荷量q＝－1.6×10－19_C.
(4)点电荷：有一定的电荷量，忽略形状和大小的理想化模型．
(5)电荷量：
①概念：电荷的多少叫电荷量．
②单位：在国际单位制中，电荷量的单位是库仑，符号是C.
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移的过程中， 电荷的总量保持不变．
(2)物体的带电方式：实质,电子转移，电荷重新分配，遵循电荷守恒定律．
二、库仑定律
1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的平方成反比．作用力的方向在它们的连线上．
2．表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫静电力常量．
3．适用条件：真空中静止的点电荷．
三、电场、电场强度和电场线
1．电场
(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质．
(2)基本性质：对放入其中的电荷有力的作用．
2．电场强度
(1)定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的电荷量q的比值．
(2)定义式：E＝.
(3)单位：N/C或V/m.
(4)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向．
(5)点电荷的场强：E＝，适用于计算真空中的点电荷产生的电场．
3．电场线
(1)定义：为了形象地描述电场中各点场强的强弱及方向，在电场中画出一些曲线，曲线上每一点的切线方向都跟该点的场强方向一致，曲线的疏密表示电场的强弱．
(2)特点
①电场线从正电荷或无限远处出发，终止于负电荷或无限远处；
②电场线在电场中不相交；
③在同一电场里，电场线越密的地方场强越大；
④电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向；
⑤沿电场线方向电势逐渐降低；
⑥电场线和等势面在相交处互相垂直．
(3)几种典型电场的电场线
1．关于电场强度E，下列说法正确的是( )
A．由E＝知，若q减半，则该处电场强度为原来的2倍
B．由E＝k知，E与Q成正比，而与r2成反比
C．由E＝k知，在以Q为球心，以r为半径的球面上，各处场强均相同
D．电场中某点的场强方向就是该点所放电荷受到的静电力的方向
解析： E＝为场强定义式，电场中某点的场强E只由电场本身决定，与试探电荷无关，A错误；E＝k是点电荷Q产生的电场的场强决定式，故可见E与Q成正比，与r2成反比，B正确；因场强为矢量，E相同，意味着大小、方向都相同，而在以场源点电荷为球心的球面上各处E的方向不同，故C错误；电场中某点的场强方向与正电荷在该点所受静电力的方向相同，故D错误．
答案：B
2．电场中有一点P，下列说法正确的是( )
A．若放在P点的点电荷的电荷量减半，则P点的场强减半
B．若P点没有试探电荷，则P点的场强为零
C．P点的场强越大，则同一电荷在P点受的静电力越大
D．P点的场强方向为试探电荷在该点的受力方向
答案：C
3．q1、q2为真空中的两个点电荷，设它们之间相互作用力的大小为F，关于F可以写出三个表达式，一个是F＝，另一个是F＝q2·，再有一个是F＝q1·.关于这三个表达式下列说法中正确的是( )
A．前两种表达的形式不同，但采用的物理观点相同
B．前两种表达的形式不同，采用的物理观点也不同
C．后两种表达采用的物理观点相同，表达的内容也完全相同
D．后两种表达采用的物理观点不同，但表达的内容完全相同
解析：表达式F＝表示的意思是真空中的两个点电荷之间相互作用的库仑力大小跟它们所带电荷量的乘积q1q2及它们之间距离的平方r2之间的关系，而表达式F＝q2·则表示点电荷q1在真空中产生的电场对点电荷q2的作用力大小，其中就是点电荷q1在真空中q2位置处产生的电场的场强，同理，表达式F＝q1·则表示点电荷q2在真空中产生的电场对点电荷q1的作用力大小，其中就是点电荷q2在真空中q1位置处产生的电场的场强．综上所述，正确选项为B.
答案：B
4．一点电荷仅受电场力作用，由A点无初速度释放，先后经过电场中的B点和C点．点电荷在A、B、C三点的电势能分别用EA、EB、EC表示，则EA、EB和EC间的关系可能是( )
A．EA>EB>EC B．EAEC>EB
解析：此题应考虑不同的电场，如果电场力一直做正功，则有EA>EB>EC.如果电场力先做正功后做负功就可能有EA>EC>EB.
答案：AD
5．(2013·北京市西城区高三期末)如图所示，电场中一正离子只受电场力作用从A点运动到B点．离子在A点的速度大小为v0，速度方向与电场方向相同．能定性反映该离子从A点到B点运动情况的速度－时间(v－t)图象是( )
解析：由电场线的疏密分布可知，正离子从A点沿电场线向B点运动的过程中，由于电场力对离子做正功，离子速度逐渐增大，同时其所受的电场力越来越小，根据牛顿第二定律可知，离子的加速度a将会越来越小，因此其速度－时间(v－t)图象的斜率会越来越小，故选项D正确．
答案：D
1．公式F＝中，q1、q2为点电荷，r是指两点电荷之间的距离，如果两带电体不能看做点电荷，则需要具体讨论．
2．库仑定律公式，只适用于求真空中的两点电荷间的相互作用．在空气中，也可近似应用．
3．一般计算库仑力时，将电荷量q1、q2的绝对值代入公式计算作用力的大小，而力F的方向再根据同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引进行判定．
4．两个点电荷间的距离r→ 0时，就不能再视为点电荷，它们之间的库仑力不能认为趋近于无穷大．
(2012·上海单科)A、B、C三点在同一直线上，AB∶BC＝1∶2，B点位于A、C之间，在B处固定一电荷量为Q的点电荷．当在A处放一电荷量为＋q的点电荷时，它所受到的电场力为F；移去A处电荷，在C处放一电荷量为－2q的点电荷，其所受电场力为( )
A．－F/2 B．F/2
C．－F D．F
解析：如图所示，设B处的点电荷带电荷量为正，AB＝r，则BC＝2r，根据库仑定律F＝，F′＝，可得F′＝，故选项B正确．
答案：D
1－1：如图所示的三个点电荷q1、q2、q3，固定在一条直线上，q2和q3的距离为q1和q2距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比q1∶q2∶q3为( )
A．(－9)∶4∶(－36) B．9∶4∶36
C．(－3)∶2∶(－6) D．3∶2∶6
解析：q1、q2、q3三个点电荷中任意两个点电荷对第三个点电荷的合力为零，由此可知q1、q3为同种电荷，它们与q2互为异种电荷．q1、q2间距离设为r，对q3有＝，所以＝；对q1有＝，所以＝.
考虑q1、q2、q3的电性，其电荷量之比为q1∶q2∶q3＝(－9)∶4∶(－36)，A对．
答案：A
1．电场线的相关问题
(1)根据电场线，分析推断电势和场强的变化情况．
(2)根据电场线和带电粒子的运动轨迹，分析推断带电粒子的性质、受力、能量变化等．
(3)根据电势的分布情况，求作电场线．
2．两种等量点电荷的电场线比较
比较
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线
分布图
连线中点O处的场强
最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小
O点最大，向外逐渐减小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′，B与B′的场强特点
等大同向
等大反向
某静电场中的电场线方向不确定，分布如图所示，带电粒子在电场中仅受静电力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是( )
A．粒子必定带正电荷
B．该静电场一定是孤立正电荷产生的
C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
D．粒子在M点的速度大于它在N点的速度
思路点拨：
解析：带电粒子所受静电力沿电场线的切线方向或其反方向，且指向曲线弯曲的内侧，静电力方向大致向上，因不知电场线的方向，粒子的电性无法确定，所以选项A错．
电场线是弯曲的，则一定不是孤立点电荷的电场，所以选项B错．
N点处电场线密，则场强大，粒子受到的静电力大，产生的加速度也大，所以选项C正确．
因静电力大致向上，粒子由M运动到N时，静电力做正功，粒子动能增加，速度增加，所以选项D错误．
答案：C
常见的电场线与轨迹的判断步骤
2－1：如图所示，有a、b两个点电荷带等量正电，位置固定．O为ab的中点，Q1Q2是一条不太长的线段，Q1Q2通过O且与ab垂直，一个电子从Q1一侧沿Q1Q2方向射入，电子在向右运动穿过O的过程中( )
A．它的速度逐渐增大
B．它的速度逐渐减小
C．它的加速度先增大后减小
D．它的加速度先减小后增大
解析：在等量的正点电荷连线的中垂线上，从较远处向O点电场强度先增大后减小，方向背离O点方向，由于Q1Q2线段较短，可认为从Q1到O点场强一直减小，从O到Q2场强一直增大，所以电子的加速度先减小后增大，C选项错误，D选项正确；又因为电场力先做正功，后做负功，所以电子速度先增大后减小，选项A、B均错误．
答案：D
1．三个电场强度公式的比较
E＝
E＝k
E＝
公式意义
电场强度定义式
真空中点电荷决定式
匀强电场中E与U关系式
适用条件
一切电场
①真空；②静止点电荷
匀强电场
决定因素
由电场本身决定，与q无关
由场源电荷Q和场源电荷到该点的距离r共同决定
由电场本身决定，d为沿电场方向的距离
相同点
矢量：单位：1 N/C＝1 V/m
2.电场的叠加
(1)电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场的电场强度为各电荷在该处所产生的电场场强的矢量和．
(2)计算法则：平行四边形定则．
(2013·北京101中学模拟)如图所示，真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m．在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到电场力的方向都跟x轴正方向相同，电场力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示．下列说法正确的是( )
A．B点的电场强度的大小为0.25 N/C
B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向
C．点电荷Q是正电荷
D．点电荷Q的位置坐标为0.3 m
解析：由两试探电荷受力情况可知，点电荷Q为负电荷，且放置于A、B两点之间某位置，故选项B、C均错误；设Q与A点之间的距离为l，则点电荷在A点产生的场强EA＝k＝＝ N/C＝4×105 N/C，同理可得，点电荷在B点产生的场强为EB＝k＝＝ N/C＝0.25×105 N/C，解得l＝0.1 m，所以点电荷Q的位置坐标为xQ＝xA＋l＝(0.2＋0.1)m＝0.3 m，故选项A错误，D正确．
答案：D
3－1：质量都是m的两个完全相同的、带等量异种电荷的小球A、B分别用长为l的绝缘细线悬挂在同一水平面上相距为2l的M、N两点，平衡时小球A、B的位置如图甲所示，线与竖直方向夹角α＝37°，当外加水平向左的匀强电场时，两小球的平衡位置如图乙所示，线与竖直方向的夹角也为α＝37°.求：
(1)A、B小球的电性及所带的电荷量；
(2)外加匀强电场的场强E.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解析：(1)A球带正电，B球带负电
两小球相距d＝2l－2lsin 37°＝l
由A球受力平衡可得mgtan α＝k
解得Q＝l.
(2)外加匀强电场时两球相距d′＝2l＋2lsin 37°＝l
根据A球受力平衡可得QE－k＝mgtan α.
解得E＝.
答案： (1)l (2)
1．极限法
物理中体现极限思维的常见方法有极限法、微元法．极限法是把某个物理量推向极端，从而做出科学的推理分析，给出判断或导出一般结论．该方法一般适用于题干中所涉及的物理量随条件单调变化的情况．极限思维法在进行某些物理过程分析时，具有独特作用，使问题化难为易，化繁为简，收到事半功倍的效果．(如典例1)
2．微元法
微元法将研究过程或研究对象分解为众多细小的“微元”，只需分析这些“微元”，进行必要的数学方法或物理思想处理，便可将问题解决．(如典例2)
(2012·安徽理综)如图甲所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电荷量为σ，其轴线上任意一点P(坐标为x)的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E＝2πkσ，方向沿x轴．现考虑单位面积带电荷量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图乙所示，则圆孔轴线上任意一点Q(坐标为x)的电场强度为( )
A．2πkσ0 B．2πkσ0
C．2πkσ0 D．2πkσ0
解析：根据半径为R的均匀带电圆形平板在P点的电场强度E＝2πkσ，可推知当带电圆板无限大时(即当R→∞)的电场强度E′＝2πkσ，对于无限大带电平板，挖去一半径为r的圆板的电场强度，可利用填补法，即将挖去的圆板填充进去，这时Q点的电场强度EQ＝2πkσ0，则挖去圆板后的电场强度EQ′＝2πkσ0－2πkσ0＝2πkσ0，故选项A正确，选项B、D、D错误．
答案：A
(改编题)如图所示，一个均匀的带电圆环，带电荷量为＋Q，半径为R，放在绝缘水平桌面上．圆心为O点，过O点作一竖直线，在此线上取一点A，使A到O点的距离为R，在A点放一试探电荷＋q，则＋q在A点所受的电场力为( )
A.，方向向上
B.，方向向上
C.，方向水平向左
D．不能确定
解析：本题考查了库仑定律及电场力的合成．先把带电圆环分成若干个小部分，每一部分可视为点电荷，各点电荷对检验电荷的库仑力在水平方向上相互抵消，竖直向上方向上电场力大小为，故选B.
答案：B
1.如图所示是某静电场的一条电场线，下列说法正确的是( )
A．EA一定大于EB
B．因电场线是直线，所以是匀强电场，则EA＝EB
C．A点的电场方向一定由A指向B
D．试探电荷在A点受到静电力的方向一定由A指向B
解析：仅有一条电场线．无法判断各处的电场线分布．所以无法判断各点的场强大小，也无法判断是点电荷的电场还是匀强电场．由图可知A点的电场方向由A指向B.但要确定试探电荷所受静电力的方向，必须知道试探电荷的电性．
答案：C
2．(2012·江苏单科)真空中，A、B两点与点电荷Q的距离分别为r和3r，则A、B两点的电场强度大小之比为( )
A．3∶1 B．1∶3
C．9∶1 D．1∶9
解析：由库仑定律F＝和场强公式E＝知点电荷在某点产生电场的电场强度E＝，电场强度大小与该点到场源电荷的距离的二次方成反比，则EA∶EB＝r∶r＝9∶1，选项C正确．
答案：C
3．如图所示，在固定正点电荷Q的电场中，一个正试探电荷q沿着一条电场线运动．已知试探电荷经过M点时的加速度是经过N点时的加速度的2倍，不计试探电荷重力，则一定有( )
A．N点距Q的距离是M点距Q的距离的2倍
B．N点距Q的距离是M点距Q的距离的倍
C．它经过M点时的速度是经过N点时的速度的2倍
D．它经过M点时的速度是经过N点时的速度的倍
解析：真空中点电荷Q产生的场强计算公式E＝k，因此放入其中的试探电荷q的加速度a＝＝.由此可知，因试探电荷经过M点时的加速度是经过N点时的加速度的2倍，所以N点距Q的距离是M点距Q的距离的倍，选项A错误，B正确；试探电荷经过M点时的速度小于经过N点时的速度，故选项C、D均错误．
答案：B
4．如图所示，在y轴上关于O点对称的A、B两点有等量同种点电荷＋Q，在x轴上C点有点电荷－Q，且CO＝OD，∠ADO＝60°.下列判断正确的是( )
A．O点电场强度为零
B．D点电场强度为零
C．在O到C之间＋q所受的电场力由O→C
D．在O到C之间－q所受的电场力由O→C
解析：电场强度是矢量，其运算遵循矢量合成的平行四边形定则．两＋Q在O点的合场强为零，－Q在O点的场强向左，O点的合场强向左，A错误；由几何关系可知，两个＋Q和一个－Q在D点的合场强为零，B正确；两＋Q在O到C之间的合场强以及－Q在C点右侧的场强都是沿x轴向左，故合场强向左，＋q在O到C之间所受的电场力由O→C，C正确；由C选项的分析可知，O到C之间的合场强方向向左，故－q在O到C之间所受的电场力由C→O，D错误．
答案：BC
5．(2013·广东广州市模拟)如图所示，图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，若带电粒子在运动过程中只受到电场力作用，根据此图可以作出的正确判断是( )
A．带电粒子所带电荷的正、负
B．带电粒子在a、b两点的受力方向
C．带电粒子在a、b两点的加速度何处较大
D．带电粒子在a、b两点的速度何处较大
解析：由电场线的疏密可知，a点的场强大，带电粒子在a点的加速度大，故C正确；画出初速度方向结合运动轨迹的偏转方向，可判断带电粒子所受电场力的方向，但由于电场的方向未知，所以不能判断带电粒子的电性，故A错B对；利用初速度方向和电场力方向的关系，可判断电场力对带电粒子由a到b做负功，动能减小，因此va>vb，选项D对．
答案：BCD
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