第四章 曲线运动 万有引力与航天
高考目标
复习指导
运动的合成与分解Ⅱ
1.考情分析：高考对本章中知识点考查频率较高的是平抛运动、圆周运动及万有引力定律的应用．单独命题常以选择题的形式出现；与牛顿运动定律、功能关系、电磁学知识相综合常以计算题的形式出现．
2.高考热点：
(1)平抛运动规律及研究方法．
(2)圆周运动的角速度、线速度、向心加速度，以及竖直平面内的圆周运动，常综合考查牛顿第二定律、机械能守恒定律或能量守恒定律．
(3)万有引力定律与圆周运动相综合，结合航天技术、人造地球卫星等现代科技的重要领域进行命题.
抛体运动 Ⅱ
匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 Ⅰ
匀速圆周运动的向心Ⅱ
离心现象 Ⅰ
万有引力定律及其应用Ⅱ
环绕速度 Ⅱ
第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ
经典时空观和相对论时空观 Ⅰ
说明：斜抛运动只作定性要求
第1讲 运动的合成与分解 平抛运动
一、曲线运动
1．运动特点
(1)速度方向：质点在某点的速度，沿曲线在该点的切线方向．
(2)运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动．
2．物体做曲线运动的条件
(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上．
(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上．
(3)轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲．
二、运动的合成与分解
1．基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动．
(2)运动的分解：已知合运动求分运动．
2．分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解
3．遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
三、平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动．
2．性质：加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
4．规律
四、斜抛运动及其研究方法
1．定义：将物体以速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．基本规律：(以斜向上抛为例说明如图所示)
(1)水平方向：
v0x＝v0cos_θ，F合x＝0.
(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg.
因此斜抛运动可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的抛体运动的合运动．
1．(2013·南昌市二校联考)下面说法中正确的是( )
A．物体做曲线运动时一定有加速度
B．平抛运动是匀变速运动，其在任意相等时间间隔内速度的变化量都相同
C．匀速圆周运动虽然不是匀变速运动，但任意相等时间间隔内速度的变化量仍相同
D．当物体受到的合外力为零时，物体仍然可以做曲线运动
解析：曲线运动是变速运动，一定有加速度，A项正确；平抛运动的加速度恒为g，Δv＝gΔt，B项正确；匀速圆周运动的向心加速度是变化的，C项错误；当物体受到的合外力为零时，物体的速度不变，做匀速直线运动，D项错误．
答案：AB
2.如图所示，沿y方向的一运动的初速度v1是沿x方向的另一运动的初速度v2的2倍，而沿y方向的加速度a1是沿x方向的加速度a2的一半．对于这两个分运动的合运动，下列说法中正确的是( )
A．一定是曲线运动
B．一定是直线运动
C．可能是曲线运动，也可能是直线运动
D．无法判定
解析：根据运动的合成知，两个分运动的合运动的速度方向与加速度方向不在同一直线上，故该物体一定做曲线运动．
答案：A
3．关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是匀变速运动
B．做平抛运动的物体机械能守恒
C做平抛运动的物体处于完全失重状态
D．做平抛运动的物体，落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关
解析：做平抛运动的物体，只受重力作用，选项A、B、C都正确；落地时间只与抛出点的高度有关，但落地时的速度还与抛出时的初速度有关，D项错误．
答案：ABC
4．一质点做曲线运动，它的轨迹由上到下(如图示曲线)，关于质点通过轨迹中某点时的速度v的方向和加速度a的方向可能正确的图是哪一个( )
解析：因为做曲线运动的物体在运动过程中所受合外力的方向一定指向轨迹凹的一侧，而加速度与物体所受合外力方向相同，故只有选项B正确．
答案：B
5．平抛运动可以分解为水平和竖直方向的两个直线运动，在同一坐标系中作出这两个分运动的v－t图线，如图所示．若平抛运动的时间大于2t1，下列说法中正确的是( )
A．图线b表示竖直分运动的v－t图线
B．t1时刻的速度方向与初速度方向夹角为30°
C．t1时间内的位移方向与初速度方向夹角的正切为
D．2t1时间内的位移方向与初速度方向夹角为60°
解析：平抛运动的水平分运动是匀速直线运动，竖直分运动是初速度为零的匀加速直线运动，A正确；t1时刻的水平分速度与竖直分速度的大小相等，所以t1时刻的速度方向与初速度方向夹角为45°，B错误；设t1时刻的竖直分速度与水平分速度大小均为v，t1时间内的位移方向与初速度方向夹角的正切为tan α＝＝，C正确；设2t1时间内的位移方向与初速度方向夹角为θ，则：tan θ＝ ＝1，位移方向与初速度方向夹角为45°，D错误．
答案：AC
6．做平抛运动的物体初速度大小为v0，末速度大小为vt，则物体飞行的时间为( )
A. B.
C. D.
答案： B
1．加速度(或合外力)方向与速度方向的关系
(1)加速度(或合外力)
(2)
2．合力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧．
3．速率变化情况判断
(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
(3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．
(2011·四川卷)某研究性学习小组进行如下实验：如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R.将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．同学们测出某时刻R的坐标为(4,6)，此时R的速度大小为________cm/s.R在上升过程中运动轨迹的示意图是________．(R视为质点)
解析：红蜡块有水平方向的加速度，所受合外力指向曲线的内侧，所以其运动轨迹应如D图所示，因为竖直方向匀速，由y＝6 cm＝v0t知t＝2 s，水平方向x＝·t＝4 cm，所以vx＝4 cm/s，因此此时R的速度大小v＝ ＝5 cm/s.
答案： 5 D
1－1：某学生在体育场上抛出铅球，其运动轨迹如图所示．已知在B点时的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是( )
A．D点的速率比C点的速率大
B．D点的加速度比C点的加速度大
C．从B到D加速度与速度始终垂直
D．从B到D加速度与速度的夹角先增大后减小
解析：铅球做斜抛运动，根据曲线运动的条件和题设中在B点的速度与加速度相互垂直，即竖直方向上的分速度为零，可判断B点是轨迹的最高点，根据动能定理可知A项正确；D点和C点的加速度一样大，都等于重力加速度，B错；过了B点后，在D点加速度与速度不可能再垂直，C错；根据曲线运动的特点，可判断从B点到D点加速度与速度的夹角一直减小，D错．
答案：A
合运动与分运动的关系
等时性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相同
独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，互不干扰
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有相同的效果，即分运动与合运动是一种等效替代的关系
一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
解析： (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．
当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为
v2＝5 m/s.
t＝＝ s＝36 s
v＝＝ m/s
x＝vt＝90 m.
(2)欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α，如图乙所示，
有v2sin α＝v1，
得α＝30°
所以当船头向上游偏30°时航程最短．
x′＝d＝180 m.
t′＝＝ s＝24 s.
答案： (1)垂直河岸方向 36 s 90 m
(2)向上游偏30° 24 s 180 m
1.求解运动的合成与分解的三个技巧
(1)求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动和分运动具有等时性、独立性、等效性的关系．
(2)在小船渡河问题中可将小船的运动分解为沿船头指向的方向和沿水流方向的两个运动．
(3)合运动与分运动的时间相等，为t＝＝.
2．渡河的最短时间和最小位移
设河宽为d，水流速度为v水，小船在静水中的速度为v船，则
(1)渡河的最短时间：tmin＝
(2)渡河的最小位移：若v船>v水，
则xmin＝d；若v船ha，所以b与c的飞行时间相同，大于a的飞行时间，因此选项A错误，选项B正确；又因为xa>xb，而tavc，即b的水平初速度比c的大，选项D正确．
答案： BD
如图所示，在距地面2l的高空A处以水平初速度v0＝投掷飞镖，在与A点水平距离为l的水平地面上的B点有一个气球，选择适当时机让气球以速度v0＝匀速上升，在升空过程中被飞镖击中．飞镖在飞行过程中受到的空气阻力不计，在计算过程中可将飞镖和气球视为质点，已知重力加速度为g.试求：
(1)飞镖是以多大的速度击中气球的？
(2)掷飞镖和释放气球两个动作之间的时间间隔Δt应为多少？
解析： (1)飞镖被投掷后做平抛运动，从掷出飞掷到击中气球，经过时间t1＝＝
此时飞镖在竖直方向上的分速度vy＝gt1＝
故此时飞镖的速度大小v＝＝.
(2)飞镖从掷出到击中气球过程中，下降的高度h1＝gt＝
气体从被释放到被击中过程中上升的高度h2＝2l－h1＝
气球的上升时间t2＝＝＝
可见，t2>t1，所以应先释放气球．释放气球与掷飞镖之间的时间间隔Δt＝t2－t1＝.
答案： (1) (2)
1.关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是( )
A．物体的两个分运动是直线运动，则他们的合运动一定是直线运动
B．若不在一条直线上的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，则合运动一定是曲线运动
C．合运动与分运动具有等时性
D．速度、加速度和位移的合成都遵从平行四边形定则
解析：物体的两个分运动是直线运动，它们的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动．若合初速度方向与合加速度方向共线，则为直线运动，否则为曲线运动．
答案： BCD
2．(2012·黄冈联考)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线．则其中可能正确的是( )
解析：船渡河的运动可看做水流的运动和小船运动的合运动．虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，即合速度的方向．小船合运动的速度的方向就是其真实运动的方向．根据题意画出小船同时参与的两个分运动的矢量图，由图可知，实际航线可能正确的是A、B.
答案： AB
3.如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是( )
A．橡皮的速度大小为v
B．橡皮的速度大小为v
C．橡皮的速度与水平方向成60°角
D．橡皮的速度与水平方向成45°角
解析：钉子沿斜面匀速运动，橡皮具有向上的分速度v，同时具有沿斜面方向的分速度v，根据运动的合成可知，橡皮的速度大小为v，速度与水平方向成60°角，选项B、C正确．
答案： BC
4.(2012·上海单科)如图，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点．若小球初速变为v，其落点位于c，则( )
A．v0＜v＜2v0 B．v＝2v0
C．2v0＜v＜3v0 D．v＞3v0
解析：如图所示，M点和b点在同一水平线上，M点在c点的正上方．根据平抛运动的规律，若v＝2v0，则小球落到M点．可见以初速2v0平抛小球不能落在c点，只能落在c点右边的斜面上，故只有选项A正确．
答案： A
5．(2012·江苏卷)如图所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h(l、h均为定值)．将A向B水平抛出的同时，B自由下落．A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则( )
A．A、B在第一次落地前能否相碰，取决于A的初速度
B．A、B在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰
C．A、B不可能运动到最高处相碰
D．A、B一定能相碰
解析：由题意知A做平抛运动，即水平方向做匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动；B为自由落体运动，A、B竖直方向的运动相同，二者与地面碰撞前运动时间t1相同，且t1＝ ①，若第一次落地前相碰，只要满足A运动时间t＝，所以选项A正确；因为A、B在竖直方向的运动同步，始终处于同一高度，且A与地面相碰后水平速度不变，所以A一定会经过B所在的竖直线与B相碰．碰撞位置由A球的初速度决定，故选项B、C错误，选项D正确．
答案： AD
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