第2讲　匀变速直线运动的规律及应用   一、匀变速直线运动 1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动叫做匀变速直线运动． 2．分类：  3．匀变速直线运动的规律 (1)三个基本公式 ①速度公式：v＝v0＋at ②位移公式：x＝v0t＋at2 ③位移速度关系式：v2－v＝2ax (2)三个推论 ①任意两个连续相等的时间间隔(T)内，位移之差是一个恒量，即 xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝Δx＝aT2 ②某段时间内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度：＝v＝. ③某段位移中点的瞬时速度等于初速度v0和末速度v平方和一半的平方根，即＝. (3)初速度为零的匀加速直线运动的特点：(设T为等分时间间隔) ①1T末、2T末、3T末…瞬时速度的比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n. ②1T内、2T内、3T内…位移的比为：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2. ③第一个T内、第二个T内、第三个T内…位移的比为：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2N－1)． ④从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比 t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)． 二、匀变速直线运动规律的应用 1．自由落体运动 (1)定义：初速度为零，只在重力作用下的匀加速直线运动． (2)运动规律：v＝gt； h＝gt2 v2＝2gh 2．竖直上抛运动 (1)定义：物体以初速度v0竖直向上抛出后，只在重力作用下的运动． (2)运动规律： v＝v0－gt h＝v0t－gt2 v2－v＝－2gh  1．(2012·江苏淮安市质检)做匀加速直线运动的质点，在第5 s末的速度为10 m/s，则(　　) A．前10 s内位移一定是100 m B．前10 s内位移不一定是100 m C．加速度一定是2 m/s2 D．加速度不一定是2 m/s2 解析：质点在第5 s末的速度为瞬时速度，因不知质点运动的初速度，故无法确定其加速度大小，C错误，D正确；质点在前10 s内一直做匀加速运动，则前10 s内的平均速度等于5 s未瞬时速度为10 m/s，前10 s内的位移为100 m，故A正确，B错误． 答案：　AD 2．一个向正东方向做匀变速直线运动的物体，在第3 s内发生的位移为8 m，在第5 s内发生的位移为5 m，则关于物体运动加速度的描述正确的是(　　) A．大小为3 m/s2，方向为正东方向 B．大小为3 m/s2，方向为正西方向 C．大小为1.5 m/s2，方向为正东方向 D．大小为1.5 m/s2，方向为正西方向 解析：设第3 s内、第5 s内的位移分别为x3、x5， 则：x5－x3＝2aT2，5－8＝2a×12， a＝－1.5 m/s2，加速度的方向为正西方向，D正确． 答案：　D 3．一个物体从静止开始做匀加速直线运动．它在第1 s内与第2 s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2.以下说法正确的是(　　) A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2 B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶ C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2 D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶ 解析：　由xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)知x1∶x2＝1∶3，由x＝at2知t1∶t2＝1∶，又v＝at可得v1∶v2＝1∶，B正确． 答案：　B 4．2011年11月29日上午，中国航母平台第二次出海测试．假设舰载飞机起跑时速度达到80 m/s就可以起飞，若要飞机在7.5 s内达到起飞速度，则在理想状况下飞机在航空母舰跑道上滑跑的加速度和甲板长度大约分别是(　　) A．10.67 m/s2，150 m　　　　 B．10.67 m/s2，300 m C．5.33 m/s2，300 m D．5.33 m/s2，600 m 解析：在理想状态下飞机起飞前的加速运动可以理解为初速度为零的匀加速运动，由a＝≈10.67 m/s2，根据v2－v＝2ax得x＝≈300 m，B正确． 答案：　B 5．(2013·武昌调研)一个物体做匀加速直线运动，它在第3 s内的位移为5 m，则下列说法正确的是(　　) A．物体在第3 s末的速度一定是6 m/s B．物体的加速度一定是2 m/s2 C．物体在前5 s内的位移一定是25 m D．物体在第5 s内的位移一定是9 m 解析：考查匀变速直线运动规律，匀变速直线运动的中间时刻的瞬时速度等于该段的平均速度，根据第3 s内的位移为5 m，则2.5 s时刻的瞬时速度为v＝5 m/s，2.5 s时刻即为前5 s的中间时刻，因此前5 s内的位移为x＝vt＝5 m/s×5 s＝25 m，C项对；由于无法确定物体在零时刻的速度以及匀变速运动的加速度，故A、B、D项均错． 答案：C   随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显．分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍爱生命．某路段机动车限速为15 m/s，一货车严重超载后的总质量为5.0×104 kg，以15 m/s的速度匀速行驶．发现红灯时司机刹车，货车即做匀减速直线运动，加速度大小为5 m/s2.已知货车正常装载后的刹车加速度大小为10 m/s2. (1)求此货车在超载及正常装载情况下的刹车时间之比． (2)求此货车在超载及正常装载情况下的刹车距离分别是多大？ (3)若此货车不仅超载而且以vc＝20 m/s的速度超速行驶，则刹车距离又是多少？设此情形下刹车加速度大小仍为5 m/s2. 解题的关键：求刹车时间和刹车距离→其中的隐含条件是货车的末速度为零． 规范解答： (1)此货车在超载及正常装载情况下的刹车时间之比为t1∶t2＝∶＝a2∶a1＝2∶1 (2)方法一：设刹车时间为t，则t＝ 超载时：t1＝＝ s＝3 s 正常装载时：t2＝＝ s＝1.5 s 设刹车距离为x，根据匀变速直线运动的位移公式得 x＝v0t＋at2 超载时：x1＝v0t1－a1t＝15×3 m－×5×32 m＝22.5 m 正常装载时：x2＝v0t2－a2t＝15×1.5 m－×10×1.52 m＝11.25 m 方法二：汽车刹车后做匀减速直线运动直至速度为零，可反向看成初速度为零的匀加速直线运动，则 超载时：x1＝a1t＝×5×32 m＝22.5 m 正常装载时：x2＝a2t＝×10×1.52 m＝11.25 m. 方法三：设刹车距离为x，根据匀变速直线运动的推论公式得 0－v＝－2ax 解得x＝ 超载时：x1＝＝ m＝22.5 m 正常装载时：x2＝＝ m＝11.25 m. (3)货车在超载情况下又超速行驶，则刹车距离为 x3＝＝ m＝40 m.  利用匀变速直线运动公式求解问题的技巧 (1)正确判断物体的运动性质 抓住一段运动过程，寻找x、x0、vt、a、t五个物理量中的已知量、相关量与待求量： ⑵解题的基本步骤：  1－1：汽车从甲地由静止出发，沿平直公路驶向乙地.0～10 s内，汽车先以加速度a1＝2 m/s2做匀加速运动，2 s后汽车做匀速直线运动，6 s时制动做匀减速直线运动，10 s时恰好停止．求： (1)汽车做匀减速运动的加速度大小． (2)10 s内汽车运行的位移． (3)在满足(1)、(2)问的加速度和位移的条件下、汽车从甲地到乙地的最短时间及运动过程中的最大速度． 解析：(1)在2 s末由v1＝a1t1，解得v1＝4 m/s，由v1＝a2t3，解得a2＝1 m/s2. (2)由x1＝t1，解得x1＝4 m，由x2＝v1t2，解得x2＝16 m，由x3＝t3，解得x3＝8 m，所以x＝x1＋x2＋x3＝28 m. (3)汽车先做匀加速运动，紧接着做匀减速运动，时间最短，速度最大，由a1t4＝a2t5，x＝t＋t 解得t＝t4＋t5＝2 s，vm＝ m/s 答案：　(1)1 m/s2　(2)28 m　 (3)2 s　 m/s  (1)刹车类问题 做匀减速运动到速度为零时，即停止运动，其加速度a也突然消失．求解此类问题时应先确定物体实际运动的时间．注意题目中所给的时间与实际运动时间的关系．对末速度为零的匀减速运动也可以按其逆过程即初速度为零的匀加速运动处理，切忌乱套公式． (2)双向可逆类的运动 例如：一个小球沿光滑斜面以一定初速度v0向上运动，到达最高点后就会以原加速度匀加速下滑，整个过程加速度的大小、方向不变，所以该运动也是匀变速直线运动，因此求解时可对全过程列方程，但必须注意在不同阶段v、x、a等矢量的正负号． 一辆汽车以10 m/s的速度沿平直的公路匀速前进，因故紧急刹车，加速度大小为0.2 m/s2，则刹车后汽车在1 min内通过的位移大小为(　　) A．240 m　　　　B．250 m C．260 m D．90 m 解析：因汽车刹车后一直做匀减速直到运动速度为零为止，所以t＝＝50 s，所以汽车刹车后在1 min内通过的位移为x＝t＝250 m. 答案：　B 找准方法，远离刹车问题陷阱 求解汽车刹车类问题时，一定要认真分析清楚汽车的运动过程，一般都是先判断刹车时间或刹车位移，即判定汽车在给定时间内或位移内是否已停止，千万不能乱套公式． 2－1：一质点以一定初速度自一光滑斜面底端a点上滑，最高可到达b点，c是ab的中点，如图所示，已知质点从a至c需要的时间为t0，问它从c经b再回到c，需要多少时间？ 解析：　可将质点看做由b点开始下滑的匀加速直线运动，已知通过第二段相等位移ca的时间，求经过位移bc所需时间的2倍．则由v0＝0的匀加速直线运动在通过连续相等位移的时间比公式：tbc∶tca＝1∶(－1)得：tbc＝＝(＋1)t0， 2tbc＝2(＋1)t0. 答案：　2(＋1)t0  气球以10 m/s的速度匀速竖直上升，从气球上掉下一个物体，经17 s到达地面．求物体刚脱离气球时气球的高度．(g＝10 m/s2) 解析：　法一：(全程法)可将物体的运动过程视为匀变速直线运动．根据题意画出运动草图如图甲所示． 规定向下方向为正，则 v0＝－10 m/s， g＝10 m/s2据h＝v0t＋gt2， 则有h＝－10×17 m＋×10×172 m ＝1 275 m 所以物体刚脱离气球时气球的高度为 1 275 m. 法二：(分段法)如图乙将物体的运动过程分为A→B和B→D两段来处理．A→B为竖直上抛运动，B→D为自由落体运动． 在A→B段，据竖直上抛规律可知此阶段运动段时间为 tAB＝＝ s＝1 s 由题意知tBD＝(17－1)s ＝16 s 由自由落体运动规律 hBD＝gt＝×10×162 m ＝1 280 m hBC＝gt＝×10×12 m＝5 m hCD＝hBD－hBC＝1 275 m. (1)自由落体运动和竖直上抛运动是匀变速直线运动的特例，匀变速直线运动的一切规律均可适用． (2)竖直上抛问题的处理方法 ①全程法 将竖直上抛运动视为竖直向上的加速度为g的匀减速直线运动． ②分段法 将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段． 3－1：一矿井深为125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好到井底．求： (1)相邻两个小球开始下落的时间间隔． (2)这时第3个小球和第5个小球相隔的距离．(g取10 m/s2) 解析：小球下落的情况如图所示 (1)初速度为零的匀加速直线运动中，由开始起相邻相等时间间隔内位移比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，自由落体运动符合这一规律． 如图所示，11个小球将125 m分成10段，设由上至下为x1、x2…x10. h＝gt2　t＝＝5 s Δt＝＝0.5 s，又因为t1＝Δt. (2)x1＝h1＝gt＝×10×0.25 m ＝1.25 m. 第3个球与第5个球之间的距离为h7＋h8，而根据比例：h7＝13x1，h8＝15x1 Δh＝h7＋h8＝28h1＝28×1.25 m ＝35 m. 答案：　0.5　35  解决匀变速直线运动的常用方法 运动学问题的求解一般有多种方法，可从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而提高解题能力. 方法 分析说明  一般公式法 一般公式法指速度公式、位移公式及推论三式．它们均是矢量式，要注意方向  平均速度法 定义式＝对任何性质的运动都适用，而＝(v0＋v)只适用匀变速直线运动  中间时刻速度法 利用“任一时间t中间时刻的瞬时速度等于这段时间t内的平均速度”即v＝只适用于匀变速直线运动．  比例法 对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用比例关系求解  逆向思维法 把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法，一般用于末态已知的情况  图象法 应用v－t图象，可把较复杂的问题转变为较为简单的数学问题解决，尤其是用图象定性分析  推论法 xn＋1－xn＝aT2 T为连续相等的时间   物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图．已知物体运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间． 解析：方法一：逆向思维法 物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面． 故xBC＝，xAC＝，又xBC＝，由以上三式解得tBC＝t. 方法二：基本公式法 因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得 v＝2axAC ① v＝v－2axAB ② xAB＝xAC ③ 由①②③解得vB＝ ④ 又vB＝v0－at ⑤ vB＝atBC⑥ 由④⑤⑥解得tBC＝t. 方法三：比例法 对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)． 因为xCB∶xBA＝∶＝1∶3，而通过xBA的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t. 方法四：中间时刻速度法 利用推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，AC＝＝.又v＝2axAC，v＝2axBC，xBC＝.由以上三式解得vB＝.可以看成vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是这段位移的中间时刻，因此有tBC＝t. 方法五：图象法 根据匀变速直线运动的规律，作出v－t图象，如图所示．利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边平方比，得＝，且＝，OD＝t，OC＝t＋tBC. 所以＝，解得tBC＝t. 答案： t  1.关于匀变速直线运动的下列说法，正确的是(　　) A．匀加速直线运动的速度一定与时间成正比 B．匀减速直线运动就是加速度为负值的运动 C．匀变速直线运动的速度随时间均匀变化 D．速度先减小再增大的运动一定不是匀变速直线运动 答案：　C 2．运动着的汽车制动后做匀减速直线运动，经3.5 s停止，试问它在制动开始后的1 s内、2 s内、3 s内通过的位移之比为(　　) A．1∶3∶5　　　　B．3∶5∶7 C．1∶2∶3 D．3∶5∶6 解析：　画示意图如图所示，把汽车从A→E的末速度为0的匀减速直线运动，逆 过来转换为从E→A的初速度为0的匀加速直线运动，来等效处理，由于逆过来前后，加速度相同，故逆过来前后的运动位移、速度时间均具有对称性．所以知汽车在相等时间内发生的位移之比为1∶3∶5∶…，把时间间隔分为0.5 s．所以xDE∶xCD∶xBC∶xAB＝1∶8∶16∶24，所以xAB∶xAC∶xAD＝3∶5∶6.故选项D正确． 答案：　D 3．(2012·上海单科)小球每隔0.2 s从同一高度抛出，做初速为6 m/s的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰．第一个小球在抛出点以上能遇到的小球数为(取g＝10 m/s2)(　　) A．三个 B．四个 C．五个 D．六个 解析：小球在抛点上方运动的时间t＝＝ s＝1.2 s．因每隔0.2 s在抛点抛出一个小球，因此第一个小球在1.2 s的时间内能遇上n＝－1＝5个小球，故只有选项C正确． 答案：　C 4．(2013·黄冈质检)一质量为m的滑块在粗糙水平面上滑行，通过频闪照片分析得知，滑块在最开始2 s内的位移是最后2 s内位移的两倍，且已知滑块最开始1 s内的位移为2.5 m，由此可求得(　　) A．滑块的加速度为5 m/s2 B．滑块的初速度为5 m/s C．滑块运动的总时间为3 s D．滑块运动的总位移为4.5 m 解析：根据题意可知，滑块做末速度为零的匀减速直线运动，其逆运动是初速度为零的匀加速直线运动，设其运动的总时间为t，加速度为 a，设逆运动最初2 s内位移为x1，最后2 s内位移为x2，由运动学公式有x1＝a×22；x2＝at2－a(t－2)2； 且x2＝2x1；2.5＝at2－a(t－1)2.联系以上各式并代入数据可解得正确选项为C、D. 答案：　CD 5．(2013·西安期终考试)酒后驾驶会导致许多安全隐患，是因为驾驶员的反应时间变长，反应时间是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间．下表中“思考距离”是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间内汽车行驶的距离，“制动距离”是指驾驶员从发现情况到汽车停止行驶的距离(假设汽车制动时的加速度大小都相同). 速度 (m/s) 思考距离/m 制动距离/m   正常 酒后 正常 酒后  15 7.5 15.0 22.5 30.0  20 10.0 20.0 36.7 46.7  25 12.5 25.0 54.2 x  分析上表可知，下列说法不正确的是(　　) A．驾驶员酒后反应时间比正常情况下多0.5 s B．若汽车以20 m/s的速度行驶时，发现前方40 m处有险情，酒后驾驶不能安全停车 C．汽车制动时，加速度大小为10 m/s2 D．表中x为66.7 解析：由表中数据，驾驶员正常反应时间为0.5 s，酒后反应时间为1.0 s，A正确；若汽车以20 m/s的速度行驶时，酒后制动的距离为x1＝46.7 m>40 m，B正确；由公式x1＝，a＝7.5 m/s2，C错误；x＝vt＋＝(25＋) m≈66.7 m，D正确；本题选C.
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