第3讲 带电粒子在复合场中的运动及应用实例
一、复合场
复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存．从场的复合形式上一般可分为如下两种情况：
1．组合场
2．叠加场
二、带电粒子在复合场中的运动分类
1．静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态．
2．匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．
3．较复杂的曲线运动
当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．
4．分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成．
三、电场、磁场分区域应用实例
1．质谱仪
(1)构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成．
(2)原理：粒子由静止被加速电场加速，根据动能定理可得关系式mv2＝qU①
粒子在磁场中受洛伦兹力作用而偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得关系式qvB＝m②
由①②两式可得出需要研究的物理量，如粒子轨道半径、粒子质量、比荷．
r＝ ，m＝，＝.
2．回旋加速器
(1)构造：如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源．D形盒处于匀强磁场中．
(2)原理
①在电场中加速：qU＝m(v－v)＝ΔEk.
②在磁场中旋转：qvB＝m，得R＝.
③回旋加速条件：高频电源的周期T电场与带电粒子在D形盒中运动的周期T回旋相同，即T电场＝T回旋＝.
④最大动能的计算：由R＝＝知，被加速粒子的最大动能为Ek＝，由此可知，在带电粒子质量、电荷量被确定的情况下，粒子所获得的最大动能只与回旋加速器的半径R和磁感应强度B有关，与加速电压无关．
四、带电粒子在叠加场中运动的实例分析
1．速度选择器(如图)
(1)平行板间电场强度E和磁感应强度B互相垂直．这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来，所以叫做速度选择器．
(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qE＝qvB，即v＝E/B.
2．磁流体发电机
(1)磁流体发电是一项新兴技术，它可以把内能直接转化为电能．
(2)根据左手定则，如图中的B板是发电机正极．
(3)磁流体发电机两极板间的距离为d，等离子体速度为v，磁场磁感应强度为B，则两极板间能达到的最大电势差U＝Bdv.
3．电磁流量计
(1)如图所示，一圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体流过导管；
(2)原理：导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下横向偏转，a、b间出现电势差，形成电场．当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差就保持稳定．由Bqv＝Eq＝q，可得v＝，液体流量Q＝Sv＝·＝.
1.如图所示，匀强电场方向竖直向上，匀强磁场方向水平指向纸外，有一电子(不计重力)，恰能沿直线从左向右飞越此区域，若电子以相同的速率从右向左水平飞入该区域，则电子将( )
A．沿直线飞越此区域
B．向上偏转
C．向下偏转
D．向纸外偏转
答案： C
2.(2012·海南单科)如图，在两水平极板间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直于纸面向里．一带电粒子以某一速度沿水平直线通过两极板．若不计重力．下列四个物理量中哪一个改变时，粒子运动轨迹不会改变( )
A．粒子速度的大小
B．粒子所带的电荷量
C．电场强度
D．磁感应强度
解析： 粒子以某一速度沿水平直线通过两极板，其受力平衡有Eq＝Bqv，则知当粒子所带的电荷量改变时，粒子所受的合力仍为0，运动轨迹不会改变，故B项正确．
答案： B
3．1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示．这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙．下列说法正确的是( )
A．离子由加速器的中心附近进入加速器
B．离子由加速器的边缘进入加速器
C．离子从磁场中获得能量
D．离子从电场中获得能量
解析： 本题源于课本而又高于课本，既考查考生对回旋加速器的结构及工作原理的掌握情况，又能综合考查磁场和电场对带电粒子的作用规律．由R＝知，随着被加速离子的速度增大，离子在磁场中做圆周运动的轨道半径逐渐增大，所以离子必须由加速器中心附近进入加速器，A项正确，B项错误；离子在电场中被加速，使动能增加；在磁场中洛伦兹力不做功，离子做匀速圆周运动，动能不改变．磁场的作用是改变离子的速度方向，所以C项错误，D项正确．
答案： AD
4.质量为m的带电小球在正交的匀强电场、匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道平面在竖直平面内，电场方向竖直向下，磁场方向垂直圆周所在平面向里，如图所示，由此可知( )
A．小球带正电，沿顺时针方向运动
B．小球带负电，沿顺时针方向运动
C．小球带正电，沿逆时针方向运动
D．小球带负电，沿逆时针方向运动
解析： 带电小球在重力、电场力以及洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，故应满足qE＝mg，且电场力方向向上，故小球带负电．由于洛伦兹力提供向心力，指向圆心，所以小球沿顺时针方向运动，B正确．
答案： B
5.1922年英国物理学家阿斯顿因质谱仪的发明、同位素和质谱的研究荣获了诺贝尔化学奖．若速度相同的一束粒子由左端射入质谱仪后的运动轨迹如图所示，则下列相关说法中正确的是( )
A．该束带电粒子带负电
B．速度选择器的P1极板带正电
C．在B2磁场中运动半径越大的粒子，质量越大
D．在B2磁场中运动半径越大的粒子，比荷越小
解析： 由粒子在B2中的运动轨迹可以判断粒子应带正电，A项错误；在电容器中粒子受到的洛伦兹力方向竖直向上，受到的电场力方向应竖直向下，则P1极板带正电，B项正确；在电容器中，根据速度选择器的原理可知v＝，在B2中粒子运动的轨道半径r＝，式中B1、B2、E不变，因此，在B2磁场中运动半径越大的粒子，其越大，即比荷越小，C项错误，D项正确．
答案： BD
1．复合场中粒子重力是否考虑的三种情况
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应当考虑其重力．
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，这种情况按题目要求处理比较正规，也比较简单．
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力．
2．“电偏转”和“磁偏转”的比较
垂直进入磁场(磁偏转)
垂直进入电场(电偏转)
情景图
受力
FB＝qv0B大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力
FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力
运动规律
匀速圆周运动
r＝，T＝
类平抛运动
vx＝v0，vy＝t
x＝v0t，y＝t2
(2012·新课标全国卷)(18分)如图，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面(纸面)．在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域，在圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直．圆心O到直线的距离为R.现将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域，也在b点离开该区域．若磁感应强度大小为B，不计重力，求电场强度的大小．
规范解答： 粒子在磁场中的轨迹如图所示．设圆周的半径为r，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得
qvB＝①(2分)
式中v为粒子在a点的速度．
过b点和O点作直线的垂线，分别与直线交于c和d点．由几何关系知，线段、和过a、b两点的圆弧轨迹的两条半径(未画出)围成一正方形．因此
＝＝r②(2分)
设＝x，由几何关系得
＝R＋x③(2分)
＝R＋④(2分)
联立②③④式得r＝R⑤(2分)
再考虑粒子在电场中的运动．设电场强度的大小为E，粒子在电场中做类平抛运动．设其加速度大小为a，由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得
qE＝ma⑥(2分)
粒子在电场方向和直线方向所走的距离均为r，由运动学公式得
r＝at2⑦(2分)
r＝vt⑧(2分)
式中t是粒子在电场中运动的时间．联立①⑤⑥⑦⑧式得
E＝.⑨(2分)
答案：
带电粒子在组合场中的运动问题的分析方法
(1)带电粒子依次通过不同场区时，因其受力情况随区域而变化，故其运动规律在不同区域也有所不同．
(2)
(3)联系不同阶段的运动的物理量是速度，因此带电粒子在两场分界点上的速度是解决问题的关键．
1－1：如图所示，一个质量为m、电荷量为q的正离子，在D处沿图示方向以一定的速度射入磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里．结果离子正好从距A点为d的小孔C沿垂直于电场方向进入匀强电场，此电场方向与AC平行且向上，最后离子打在G处，而G处距A点2d(AG⊥AC)．不计离子重力，离子运动轨迹在纸面内．求：
(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r；
(2)离子从D处运动到G处所需时间；
(3)离子到达G处时的动能．
解析： (1)正离子轨迹如图所示．
圆周运动半径r满足：
d＝r＋rcos 60°
解得r＝d.
(2)设离子在磁场中的运动速度为v0，则有：qv0B＝m
T＝＝
在磁场中做圆周运动的时间为：t1＝T＝
离子从C到G的时间为：t2＝＝
离子从D→C→G的总时间为：t＝t1＋t2＝.
(3)设电场强度为E，则有：
qE＝ma
d＝at
由动能定理得：qEd＝EkG－mv
解得EkG＝.
答案： (1)d (2)
(3)
(2012·重庆理综)有人设计了一种带电颗粒的速率分选装置，其原理如图所示．两带电金属板间有匀强电场，方向竖直向上，其中PQNM矩形区域内还有方向垂直纸面向外的匀强磁场．一束比荷(电荷量与质量之比)均为的带正电颗粒，以不同的速率沿着磁场区域的水平中心线O′O进入两金属板之间．其中速率为v0的颗粒刚好从Q点处离开磁场，然后做匀速直线运动到达收集板．重力加速度为g，PQ＝3d，NQ＝2d，收集板与NQ的距离为l，不计颗粒间相互作用．求：
(1)电场强度E的大小；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)速率为λv0(λ＞1)的颗粒打在收集板上的位置到O点的距离．
解析： (1)设带电颗粒的电荷量为q，质量为m.有Eq＝mg
将＝代入，得E＝kg.
(2)如图甲所示，有qv0B＝
R2＝(3d)2＋(R－d)2
得B＝.
(3)如图乙所示，有
qλv0B＝m
tan θ＝
y1＝R1－
y2＝ltan θ
y＝y1＋y2
得y＝d(5λ－)＋.
答案： 见解析
1．带电粒子在复合场中运动的分析思路
2．带电粒子(体)在复合场中的运动问题求解要点
(1)受力分析是基础．在受力分析时是否考虑重力必须注意题目条件．
(2)运动过程分析是关键．在运动过程分析中应注意物体做直线运动，曲线运动及圆周运动、类平抛运动的条件．
(3)构建物理模型是难点．根据不同的运动过程及物理模型选择合适的物理规律列方程求解．
2－1：如图所示，光滑四分之一圆弧轨道位于竖直平面内，半径R＝0.8 m，与长l＝2.0 m的绝缘水平面CD平滑连接．水平面右侧空间存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E＝20 N/C，方向竖直向上，磁场的磁感应强度B＝1.0 T，方向垂直纸面向外．将质量为m＝2.0×10－6 kg、带电荷量为q＝1.0×10－6 C的带正电小球a从圆弧轨道顶端由静止释放，最后落在地面上的P点．已知小球a在水平面CD上运动时所受的摩擦阻力F＝0.1mg，PN＝ND(g＝10 m/s2)．求：
(1)小球a运动到D点时速度的大小；
(2)水平面CD离地面的高度h；
(3)从小球a开始释放到落地前瞬间的整个运动过程中系统损失的机械能ΔE.
解析： (1)设小球a到D点时的速度为vD，从小球a释放至D点，根据动能定理mgR－Fl＝mv
解得vD＝2m/s.
(2)小球a进入复合场后，由计算可知Eq＝mg
小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动轨迹如图所示，洛伦兹力提供向心力BvDq＝m
由图可知r＝2h，解得h＝2 m.
(3)系统损失的机械能ΔE＝mg(R＋h)－mv
解得ΔE＝4(1＋10)×10－6 J.
答案： (1)2 m/s (2)2 m
(3)4(1＋10)×10－6 J
质谱仪是用来测定带电粒子的质量和分析同位素的装置，如图所示，电容器两极板相距为d，两极板间电压为U，极板间的匀强磁场的磁感应强度为B1，一束电荷量相同的带正电的粒子沿电容器的中线平行于极板射入电容器，沿直线穿过电容器后进入另一磁感应强度为B2的匀强磁场，结果分别打在感光片上的a、b两点，设a、b两点之间的距离为x，粒子所带电荷量为q，如不计重力，求：
(1)粒子进入匀强磁场B2时的速度v的大小．
(2)打在a、b两点的粒子的质量之差Δm为多少？
解析： (1)粒子在电容器中做直线运动，故q＝qvB1
解得v＝.
(2)带电粒子在磁感应强度为B2的匀强磁场中做匀速圆周运动，则打在a处的粒子的轨道半径
R1＝
打在b处的粒子的轨道半径
R2＝
又x＝2R1－2R2
解得Δm＝m1－m2＝.
答案： (1) (2)
复合场中几种常见物理模型的解题技巧
(1)速度选择器
解题技巧： 从力的角度入手，合力为零则做匀速直线运动，速度大小为v＝，合力不为零则发生偏转．
(2)质谱仪
解题技巧：粒子进入偏转磁场时，一般速度相同，注意分清粒子运动半径，根据半径公式可进行相关问题的判定．
(3)回旋加速器
解题技巧：抓住T电＝T＝、qvB＝及Ekm＝这三点．
3－1：1932年，劳伦斯和利文斯顿设计出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直．A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为＋q，在加速器中被加速，加速电压为U.加速过程中不考虑相对论效应和重力作用，则粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为( )
A．2∶1 B．1∶2
C.∶1 D．1∶
解析： 设粒子第1次经过狭缝后的半径为r1，速度为v1
qU＝mv，qv1B＝
解得r1＝
同理，粒子第2次经过狭缝后的半径r2＝
则r2∶r1＝∶1.故选项C正确．
答案： C
1．变化的电场或磁场往往具有周期性，同时受力也有其特殊性，常常其中两个力平衡，如电场力与重力平衡，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动．
2．处理方法：仔细分析带电粒子的运动过程、受力情况，清楚带电粒子在变化电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，然后分过程求解．
如图甲所示，在以O为坐标原点的xOy平面内，存在着范围足够大的电场和磁场．一个带正电小球在0时刻以v0＝3gt0的初速度从O点沿＋x方向(水平向右)射入该空间，在t0时刻该空间同时加上如图乙所示的电场和磁场，其中电场沿－y方向(竖直向上)，场强大小E0＝，磁场垂直于xOy平面向外，磁感应强度大小B0＝.已知小球的质量为m，带电荷量为q，当地重力加速度为g，空气阻力不计．试求：
(1)12t0末小球速度的大小．
(2)在给定的xOy坐标系中，大致画出小球在0到24t0内运动轨迹的示意图．
解析： (1)0～t0内，小球只受重力作用，做平抛运动．当同时加上电场和磁场时，电场力：F1＝qE0＝mg，方向向上，因为重力和电场力恰好平衡，所以在电场和磁场同时存在时小球受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：qvB0＝m
运动周期T＝
联立解得T＝2t0
电场、磁场同时存在的时间正好是小球做圆周运动周期的5倍，即在这10t0内，小球恰好做了5个完整的匀速圆周运动．所以小球在t1＝12t0末的速度相当于小球做平抛运动t＝2t0时的末速度
vy＝g·2t0＝2gt0，所以12t0末v1＝＝gt0.
(2)24t0内运动轨迹的示意图如图所示．
在如图所示的空间里，存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B＝.在竖直方向存在交替变化的匀强电场如图(竖直向上为正)，电场大小为E0＝.一倾角为θ、长度足够长的光滑绝缘斜面放置在此空间．斜面上有一质量为m，带电荷量为－q的小球，从t＝0时刻由静止开始沿斜面下滑，设第5秒内小球不会离开斜面，重力加速度为g.求：
(1)第6秒内小球离开斜面的最大距离．
(2)第19秒内小球未离开斜面，θ角的正切值应满足什么条件？
解析： (1)设第一秒内小球在斜面上运动的加速度为a，
由牛顿第二定律得：(mg＋qE0)sin θ＝ma，
第一秒末的速度为：v1＝at1，
解得v1＝2gsin θ.
第二秒内：qE0＝mg，
所以小球将离开斜面在上方做匀速圆周运动，则圆周运动的周期
T＝＝1 s.
小球在第2 s末回到第1 s末的位置，所以小球前2 s内位移为：
x2＝at＝gsin θ.
由图所示可知，小球在奇数秒内沿斜面做匀加速运动，在偶数秒内离开斜面做完整的圆周运动．
所以，第5秒末的速度为：v5＝a(t1＋t3＋t5)＝6gsin θ，
由qvB＝得小球第6 s内做圆周运动的半径为：R3＝.
小球离开斜面的最大距离为：d＝2R3＝.
(2)第19秒末的速度：
v19＝a(t1＋t3＋t5＋t7＋…＋t19)＝20gsin θ
小球未离开斜面的条件是：
qv19B≤(mg＋qE0)cos θ
所以tan θ≤.
答案： (1) (2) tan θ≤
1.有一带电荷量为＋q、重为G的小球，从竖直的带电平行板上方h处自由落下，两极板间匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图所示，则带电小球通过有电场和磁场的空间时( )
A．一定做曲线运动
B．不可能做曲线运动
C．有可能做匀速运动
D．有可能做匀加速直线运动
解析： 带电小球在重力场、电场和磁场中运动，所受重力、电场力是恒力，但受到的洛伦兹力是随速度的变化而变化的变力，因此小球不可能处于平衡状态，也不可能在电、磁场中做匀变速运动．
答案： A
2.(2013·南京模拟)如图所示，从S处发出的热电子经加速电压U加速后垂直进入相互垂直的匀强电场和匀强磁场中，发现电子流向上极板偏转．设两极板间电场强度为E，磁感应强度为B，欲使电子沿直线从电场和磁场区域通过，只采取下列措施，其中可行的是( )
A．适当减小电场强度E
B．适当减小磁感应强度B
C．适当增大加速电场极板之间的距离
D．适当减小加速电压U
解析： 欲使电子沿直线从电场和磁场区域通过，则qE＝qvB，而电子流向上极板偏转，则qE＞qvB，故应减小E或增大B、v.故A正确．B、D、D错误．
答案： A
3.如图所示，竖直放置的平行金属板M、N带有等量异种电荷，M板带正电，两板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，若一个带正电的液滴在两板间只受场力作用，下述哪些运动是可能的( )
A．沿路径①水平向左做匀减速运动
B．沿路径②水平向右做匀加速运动
C．沿路径③竖直向上做匀速运动
D．沿路径④斜向右上做匀速运动
解析： 带电液滴在两板之间运动时始终受到重力、电场力、洛伦兹力三个力作用，且重力方向始终竖直向下，电场力方向始终水平向右．若液滴沿路径①水平向左运动时，液滴受到的重力、洛伦兹力的方向都是竖直向下，合力不为零，A错；若液滴沿路径②水平向右加速运动时，洛伦兹力逐渐增大，B错；若液滴沿路径③运动，洛伦兹力与电场力抵消，重力做功，C错：若液滴沿路径④斜向右上运动，重力、电场力、洛伦兹力三个力的合力可能为零，D对．
答案： D
4．(2013·石家庄教学检测)劳伦斯和利文斯设计出回旋加速器，工作原理示意图如图所示．置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可忽略．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电频率为f，加速电压为U.若A处粒子源产生的质子质量为m、电荷量为＋q，在加速器中被加速，且加速过程中不考虑相对论效应和重力的影响．则下列说法正确的是( )
A．质子被加速后的最大速度不可能超过2πRf
B．质子离开回旋加速器时的最大动能与加速电压U成正比
C．质子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为∶1
D．不改变磁感应强度B和交流电频率f，该回旋加速器也能用于α粒子加速
解析： 粒子被加速后的最大速度受到D形盒半径R的制约，因v＝＝2πRf，A正确；粒子离开回旋加速器的最大动能Ekm＝mv2＝m×4π2R2f2＝2mπ2R2f2，与加速电压U无关，B错误；根据R＝，Uq＝mv，2Uq＝mv，得质子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为∶1，C正确；因回旋加速器的最大动能Ekm＝2mπ2R2f2与m、R、f均有关，D错误．
答案： AC
5．如图所示，带电粒子以某一初速度进入一垂直于纸面向里、磁感应强度为B的有界匀强磁场，粒子垂直进入磁场时的速度与水平方向成θ＝60°角，接着垂直进入电场强度大小为E，水平宽度为L、方向竖直向上的匀强电场，粒子穿出电场时速度大小变为原来的倍．已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，重力不计．
(1)分析判断粒子的电性．
(2)求带电粒子在磁场中运动时速度v.
(3)求磁场的水平宽度d.
解析： (1)根据粒子在磁场中向下偏转的情况和左手定则可知，粒子带负电．
(2)由于洛伦兹力对粒子不做功，故粒子以原来的速率进入电场中，设带电粒子进入电场的初速度为v0，在电场中偏转时做类平抛运动，如图所示．由题意知粒子离开电场时的末速度大小为v＝v0，将vt分解为平行于电场方向和垂直于电场方向的两个分速度：由几何关系知
vy＝v0①
由运动学公式：vy＝at②
L＝v0t③
根据牛顿第二定律：a＝＝④
联立①②③④求解得：v0＝⑤
(3)如图所示，带电粒子在磁场中所受洛伦兹力作为向心力，设在磁场中做圆周运动的半径为R，则：
qv0B＝m⑥
由几何知识可得：d＝Rsin θ⑦
⑤⑥⑦联立解得：d＝ sin θ.
答案： (1)负电 (2) (3) sin θ
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