第3讲 运动图象 追及相遇问题
一、位移图象和速度图象
x－t图象
v－t图象
形状及运动性质
平行于横轴：物体静止
倾斜直线：物体做匀速直线运动
平行于横轴：物体做匀速直线运动；
倾斜直线：物体做匀变速直线运动
物理意义
描述运动物体的位移随时间的变化规律
描述运动物体的速度随时间的变化规律
斜率
速度
加速度
截距
初位置坐标
初速度
图象交点
物体相遇
速度相同
“面积”
位移
温馨提示：(1)无论是x－t图象，还是v－t图象都只能描述直线运动．
(2)x－t图象和v－t图象都不表示物体运动的轨迹．
二、追及和相遇问题
1．追及与相遇问题的概述
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．
2．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度．
(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者速度相等时，两者相距最近．
3．相遇问题的常见情况
(1)同向运动的两物体追及即相遇．
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇．
1.如图所示是一辆汽车做直线运动的x－t图象，对线段OA、AB、BC、CD所表示的运动，下列说法正确的是( )
A．OA段汽车运动速度最大
B．AB段汽车做匀速运动
C．CD段汽车的运动方向与初始运动方向相反
D．汽车运动4 h的位移大小为30 km
解析： x－t图象的斜率表示速度，斜率越大，速度越大，从图象中可看出CD段的斜率最大，速度最大，选项A错误；AB段斜率为零，速度为零，汽车静止，选项B错误；OA段的斜率为正，其运动方向与正方向相同，CD段的斜率为负，说明其运动方向与正方向相反，即与初始运动方向相反，选项C正确；运动4 h汽车的位移大小为零，选项D错误．
答案： C
2.(2013·铜陵模拟)如图所示，表示一物体在0～4 s内做匀变速直线运动的v－t图象．根据图象，以下几种说法正确的是( )
A．物体始终沿正方向运动
B．物体先向负方向运动，在t＝2 s后开始向正方向运动
C．在t＝2 s前物体加速度为负方向，在t＝2 s后加速度为正方向
D．在t＝2 s前物体位于出发点负方向上，在t＝2 s后位于出发点正方向上
解析： 物体在0～2 s时间内速度为负值，表明物体沿负方向运动，而在2 s～4 s时间内沿正方向运动，故A错误，B正确；因图线的斜率始终为正值，故加速度的方向不变，C错误；物体在前2 s沿负方向运动，而后2 s沿正方向运动，4 s末恰好回到出发点，没有出现在出发点的正方向上，D错误．
答案： B
3.一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示．取物体开始运动的方向为正方向，则下列图中关于物体运动的v－t图象正确的是 ( )
答案： C
4．2011年7月23日上海铁路局管辖内的甬温线动车组因列车追尾而发生大量人员伤亡的惨烈事故．现有A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车速度vB＝30 m/s.因大雾能见度低，B车在距A车600 m时才发现前方有A车，此时B车立即刹车，但B车要减速1 800 m才能够停止．
(1)B车刹车后减速运动的加速度多大？
(2)若B车刹车8 s后，A车以加速度a1＝0.5 m/s2加速前进，问能否避免事故？若能够避免则两车最近时相距多远？
解析： (1)设B车减速运动的加速度大小为a，有0－v＝－2ax1
解得：a＝0.25 m/s2.
(2)设B车减速t秒时两车的速度相同，有vB－at＝vA＋a1(t－Δt)
代入数值解得t＝32 s
在此过程中B车前进的位移为
xB＝vBt－＝832 m
A车前进的位移为xA＝vAΔt＋vA(t－Δt)＋a1(t－Δt)2＝464 m
因xA＋x>xB，故不会发生撞车事故
此时Δx＝xA＋x－xB＝232 m.
答案： (1)0.25 m/s2 (2)能避免 232 m
1．图象描述的运动方向
x、v轴上的正、负只能描述同一直线上的两个方向，故只能描述直线运动．
2．v－t图象的面积表示位移
v－t图线与横轴所围的面积表示该段时间内质点通过的位移，若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为“正”；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为“负”．
3．v－t图象运动性质的判断
速度图象向上倾斜不一定做加速运动，速度图象向下倾斜不一定做减速运动，物体做加速运动还是减速运动是看纵坐标的绝对值随时间增大还是减小．
4．图象不是运动轨迹
x－t图象和v－t图象的形状并不表示物体的运动轨迹．
如图所示的位移(x)－时间(t)图象和速度(v)一时间(t)图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是( )
A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动
B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程
C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远
D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等
解析：在x－t图象中表示的是做直线运动的物体的位移随时间的变化情况，而不是物体运动的轨迹．由于甲、乙两车在0～t1时间内做单向的直线运动，故在这段时间内两车通过的位移和路程均相等，A、B选项均错．在v－t图象中，t2时刻丙、丁速度相等．故两者相距最远，C选项正确．由图线可知，0～t2时间内丙的位移小于丁的位移，故丙的平均速度小于丁的平均速度，D选项错误．
答案： C
识图方法：
(1)要深刻理解x－t图象和v－t图象中“点”“线”“面”“轴”“斜”“截”的物理意义．
(2)对于给定的图象．首先要明确图象反映的是哪两个物理量间的关系(看纵轴和横轴的物理量)，然后根据物理原理(公式)推导出两个量间的函数关系式．
(3)结合图象明确图象斜率的意义、截距的意义或“面积”的意义，从而由图象给出的信息求出未知量．
1－1：物体甲的位移与时间图象和物体乙的速度与时间图象分别如图甲、乙所示，则这两个物体的运动情况是( )
A．甲在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
B．甲在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
C．乙在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
D．乙在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
答案： BC
一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车．试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车追上自行车？此时汽车的速度是多少？
解析： (1)解法一(物理分析法) 汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δx，则有v1＝at1＝v自
所以t1＝＝2 s
Δx＝v自t1－at＝6 m.
解法二(用求极值的方法) 设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，则
Δx＝x1－x2＝v自t1－at
代入已知数据得Δx＝6t1－t
由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx最大．
所以Δx＝6 m.
解法三(用图象法) 自行车和汽车的v－t图象如图所示．由图可以看出，在相遇前，在t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有
t1＝＝ s ＝2 s
Δx＝＝ m＝6 m.
(2)解法一 当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2＝at
解得t2＝＝ s＝4 s
此时汽车的速度v′1＝at2＝12 m/s.
解法二 由图可以看出，在t1时刻之后，由图线v自、v汽和t＝t2组成的三角形的面积与标有阴影的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇．所以t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s.
答案： (1)2 s,6 m (2)4 s,12 m/s
追及相遇问题的规范求解
1．解题思路和方法
2．解题技巧
(1)紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式．
(2)审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．
(3)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析．
2－1：2011年7月23日晚，甬温线永嘉站至温州南站间，北京南至福州的D301次动车组与杭州至福州南的D3115次动车组发生追尾事故．事故发生前D3115次动车组正以20 km/h的行车速度在铁路上匀速行驶，而D301次动车组驶离永嘉站2分钟后，车速达到216 km/h，开始匀速行驶．不幸的是几分钟后就发生了追尾事故．
(1)如果认为D301次动车组以恒定加速度从静止驶离永嘉车站，求D301的启动加速度和加速距离；
(2)已知动车组紧急制动时的加速度大小为3 m/s2，D301正常行驶后，为了避免事故发生，应至少距离D3115多远时开始刹车才有可能避免事故发生？(20 km/h≈5.6 m/s)
解析： (1)由于D301次动车组2分钟内车速达到216 km/h
所以启动加速度a＝＝0.5 m/s2
加速距离x＝at2＝3.6 km.
(2)要想满足二车恰好不撞，则必须至少满足D301追上D3115时二车速度相同，所以得v＝v0－a′t′，解得t′＝18.1 s
二车之间的位移关系为：
Δx＝t′－vt′
代入数据得Δx＝492.7 m.
答案： (1)3.6 km (2)492.7 m
1．什么叫“用图”——“用图”就是运用图象分析和解决问题．具体来说，就是利用图象中的点(起点、交点、拐点、终点)、线(直、曲)、峰值、截距、斜率、面积、正负号等的物理意义来定性分析和定量计算或理解物理规律．
2．如何用“用图”——六看识破图象问题
(1)看“坐标”
→纵坐标
(2)看“线”
(3)看“斜率”
(4)看“面积”
(5)看“纵截距”
(6)看“特殊点”
甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图中(如图)，直线a、b分别描述了甲乙两车在0～20 s的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是( )
A．在0～10 s内两车逐渐靠近
B．在10～20 s内两车逐渐远离
C．在5～15 s内两车的位移相等
D．在t＝10 s时两车在公路上相遇
审题指导
解析：根据v－t图象可知，甲车以5 m/s的速度做匀速直线运动，乙车以10 m/s的初速度沿同一方向做匀减速直线运动，在t＝10 s时，两车达到相同速度．因此，在0～10 s内，乙车速度大于甲车，而10 s以后甲车速度大于乙车．由于t＝0时刻，两车处于同一位置，所以0～10 s内乙车在前，甲车在后，且甲、乙两车逐渐远离；10～20 s内，仍然乙车在前，但甲、乙车开始相互靠近．
答案： C
1.下列运动图象中表示质点做匀变速直线运动的是( )
解析： A选项中位移随时间均匀增加，表示物体做匀速直线运动，A错误；B选项中位移不随时间发生变化，表示物体处于静止状态，B错误；C选项中速度随时间均匀增加，表示物体做匀加速直线运动，C正确；D选项中速度不随时间发生变化，表示物体做匀速直线运动，D错误．
答案： C
2．如图是某物体在t时间内运动的位移—时间图象和速度—时间图象，从图象上可以判断和得到( )
A．物体的位移—时间图象是抛物线
B．该物体做的是曲线运动
C．该物体运动的时间t为2 s
D．该物体运动的加速度为1.5 m/s2
解析：从v－t图象可知，物体做的是匀加速直线运动，因此位移与时间的二次方成线性关系，因此位移—时间图象是抛物线，A项正确；该物体做的是直线运动，B项错误；由8 m＝(3 m/s＋6 m/s)t，得t＝ s，加速度a＝＝ m/s2＝ m/s2，C、D项正确．
答案： A
3．四个质点做直线运动，它们的速度—时间图象分别如图所示，在2 s末能回到出发点的是( )
解析：由选项中四个图象分析可知，只有A、D选项的运动为往返运动，根据位移关系，在2 s末能回到出发点，B、C选项中的运动速度方向不变，不能回到出发点．
答案： AD
4．(2013·上海普陀期末)甲、乙两位同学进行百米赛跑，假如把他们的运动近似为匀速直线运动来处理，他们同时从起跑线起跑，经过一段时间后他们的位置如图Ⅰ所示，在图Ⅱ中分别作出在这段时间内两人运动的位移x、速度v与时间t的关系图象，正确的是( )
解析：他们同时从起跑线起跑且均做匀速直线运动，故他们运动的x－t关系图象均是经过原点的倾斜直线，斜率大小代表速度大小；而v－t关系图线是平行于横轴的直线，由题图Ⅰ可知，v乙>v甲，故选项B正确．
答案： B
5．(2013·辽宁重点中学联考)甲、乙两个物体从同一地点、沿同一直线同时做直线运动，其v－t图象如图所示，则( )
A．1 s时甲和乙相遇
B．2 s时甲的速度方向反向
C．2～6 s内甲相对乙做匀速直线运动
D．4 s时乙的加速度方向反向
解析：由题图可知，1 s时两图线相交，表示此时它们的速度相同，选项A错；2 s时它们的瞬时速度都取正值，表示它们的速度方向都与规定的正方向相同，选项B错；根据图象可知，2～6 s内，它们的加速度相同，而沿纵轴方向上的速度差值不变，这表示甲相对乙的速度不变，即甲相对乙做匀速直线运动，也可以根据v甲＝2v0＋at，v乙＝v0＋at，得v甲－v乙＝v0(恒定不变)来判断，选项C对；4 s时，图线的斜率不变，表示加速度相同，所以选项D错．
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