第3讲 机械能 机械能守恒定律
一、重力势能
1．定义：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积．
2．公式：Ep＝mgh.
3．矢标性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同．
4．特点：
(1)系统性：重力势能是物体和地球所组成的物体“系统”所共有的．
(2)相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是一定的，与参考平面的选取无关．
5．重力做功与重力势能变化的关系：
重力做正功时，重力势能减少；重力做负功时，重力势能增加；重力做多少正(负)功，重力势能就减少(增加)多少，即WG＝Ep1－Ep2.
二、弹性势能
1．定义：物体由于发生弹性形变而具有的能．
2．大小：弹性势能的大小与形变量及弹簧劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大．
3．弹力做功与弹性势能变化的关系：
弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加．
三、机械能、机械能守恒定律
1．机械能
物体的动能和势能之和统称为机械能，即E＝Ek＋EP.其中势能包括重力势能和弹性势能．
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
(2)表达式：
E2＝E1，即Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1
1．下列物体运动过程中满足机械能守恒的是( )
A．跳伞运动员张开伞后，在空中匀速下降
B．忽略空气阻力，物体竖直上抛
C．火箭升空过程
D．拉着物体沿光滑斜面匀速上升
解析：跳伞运动员在空中匀速下降时，动能不变，重力势能减小，故机械能减少，A错误；忽略空气阻力，物体竖直上抛时，只有重力做功，机械能守恒，B正确；火箭升空时，推力做正功，机械能增加，C错误；拉着物体沿光滑斜面匀速上升时，动能不变，重力势能增加，故机械能增加，D错误．
答案：B
2．关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．当弹簧变长时弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时弹性势能一定减小
C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧的弹性势能越大
D．弹簧在拉伸时弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
解析：弹簧弹性势能的大小，除了跟劲度系数k有关外，还跟它的形变量有关．如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应先减小，在原长处它的弹性势能最小，所以A、B、D都不对．
答案：C
3．关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与参考平面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能变大了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
答案：CD
4．不计空气阻力，如图所示的几种情况中，系统的机械能守恒的是( )
①一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动(图甲) ②运动员在蹦床上越跳越高(图乙) ③图丙中小车上放一木块，小车的左侧有弹簧与墙壁相连，小车在左右振动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面间摩擦不计) ④图丙中如果小车振动时，木块相对小车滑动(木块与小车有摩擦)
A．①② B．②③
C．②④ D．①③
解析：对①而言，仅重力对弹丸做功，机械能守恒，故①正确；对②而言，运动员不断对自己做功，机械能增加，故②不正确；对③而言，能量仅在动能和弹性势能之间转化，机械能守恒；对④而言，有摩擦生热，故④不正确．故选项D正确．
答案：D
5．如图所示，质量为m的物体沿斜上方以速度v0抛出后，能达到的最大高度为H，当它将要落到离地面高度为h的平台上时(不计空气阻力，取地面为参考平面)，下列判断正确的是( )
A．它的总机械能大于mv
B．它的总机械能为mgH
C．它的动能为mg(H－h)
D．它的动能为mv－mgh
解析：依题意分析可知，物体做抛体运动过程中机械能守恒．物体刚被抛出时的机械能为mv，故物体将要落到离地面高度为h的平台上时机械能一定为mv，选项A、B均错误；设物体将要落到离地面高度为h的平台上时动能为Ek，根据机械能守恒定律可得mv＝Ek＋mgh，解得Ek＝mv－mgh，故选项C错误，D正确．
答案：D
1．机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功．可以从以下两个方面理解：
(1)只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒．
(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功．例如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒．
2．判断机械能是否守恒的几种方法：
(1)利用机械能的定义判断(直接判断)
若物体在水平面上匀速运动，其动能、势能均不变，机械能不变．若一个物体沿斜面匀速下滑，其动能不变，重力势能减少，其机械能减少．
(2)从做功角度来判断
分析物体或物体系的受力情况，明确各力做功情况，若只有重力或弹簧弹力对物体或物体系做功，则物体或物体系机械能守恒．
(3)从能量转化角度来判断
若物体系中只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系的机械能守恒．
如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置的半径为R的圆环顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿在圆环上做无摩擦的运动．设开始时小球置于A点，弹簧处于自然状态，当小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力．下列分析中正确的是( )
A．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋m
B．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋m
C．从A到B的过程中，小球的机械能守恒
D．从A到B的过程中，小球的机械能减少
解析：考查机械能守恒条件、牛顿运动定律及圆周运动规律．关键是要理解机械能守恒条件，正确把握牛顿运动定律在圆周运动中的应用．从A到B的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的弹性势能增大，小球的机械能减小；由于小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力，根据牛顿第二定律，FN－mg＝m，
即FN＝mg＋m.
答案：AD
1－1：如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是( )
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球机械能的减小量等于斜劈动能的增大量
解析：球有竖直方向的位移，所以斜劈对球做功．不计一切摩擦，小球下滑过程中，只有小球和斜劈组成的系统中动能和重力势能相互转化，系统机械能守恒，故选B、D.
答案：BD
(20分)(2012·大纲全国卷)一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状．此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面．如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy.已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y＝x2；探险队员的质量为m.人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.
(1)求此人落到坡面时的动能；
(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？
解析：(1)设该队员在空中运动的时间为t，在坡面上落点的横坐标为x，纵坐标为y.由运动学公式和已知条件得
x＝v0t ①(1分)
2h－y＝gt2 ②(1分)
根据题意有
y＝ ③(2分)
由机械能守恒，落到坡面时的动能为
mv2＝mv＋mg(2h－y) ④(4分)
联立①②③④式得
mv2＝m. ⑤(3分)
(2)⑤式可以改写为
v2＝2＋3gh⑥(3分)
v2取极小的条件为⑥式中的平方项等于0，由此得
v0＝ ⑦(3分)
此时v2＝3gh，则最小动能为
min＝mgh.⑧(3分)
答案： (1) m
(2) mgh
2－1：如图所示，竖直平面内的一半径R＝0.50 m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，一水平面与圆弧槽相接于D点，质量m＝0.10 kg的小球从B点正上方H＝0.95 m高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出后落在水平面上的Q点，DQ间的距离x＝2.4 m，球从D点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度h＝0.80 m，g取g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)小球经过C点时轨道对它的支持力大小FN；
(2)小球经过最高点P的速度大小vP；
(3)D点与圆心O的高度差hOD.
解析：(1)设经过C点速度为v1，由机械能守恒有mg(H＋R)＝mv
由牛顿第二定律有FN－mg＝
代入数据解得：FN＝6.8 N.
(2)P点时速度为vP，P到Q做平抛运动有h＝gt2，＝vPt
代入数据解得：vP＝3.0 m/s.
(3)由机械能守恒定律，有
mv＋mgh＝mg(H＋hOD)，
代入数据，解得hOD＝0.30 m.
答案：(1)6.8 N (2)3.0 m/s (3)0.30 m
一、连绳模型
此类问题要认清物体的运动过程，注意物体运动到最高点或最低点时速度相等这一隐含条件．
(2012·上海单科)如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．5R/3
C．4R/3 D．2R/3
解析：如图所示，以A、B为系统，以地面为零势能面，设A质量为2m，B质量为m，根据机械能守恒定律有：2mgR＝mgR＋×3mv2，A落地后B将以v做竖直上抛运动，即有mv2＝mgh，解得h＝R.则B上升的高度为R＋R＝R，故选项C正确．
答案：C
二、连杆模型
这类问题应注意在运动过程中各个物体之间的角速度、线速度的关系等．
一个质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B，支架的两直角边长度分别为2L和L，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦地转动，如图所示，开始时OA边处于水平位置，由静止释放，则( )
A．A球的最大速度为2
B．A球速度达到最大时，两小球的总重力势能最小
C．A球速度达到最大时，两直角边与竖直方向的夹角都为45°
D．A、B两球的最大速度之比为vA∶vB＝2∶1
解析：支架绕固定轴O转动，A、B两球运动的角速度相等，速度之比始终为2∶1，又A、B两球组成的系统机械能守恒，所以B、D正确；设A球速度最大时，OB与竖直方向的夹角为θ，根据机械能守恒定律，有mg·2Lsin θ－2mgL(1－cos θ)
＝mv＋·2m(vA)2
所以v＝gL[sin(θ＋45°)－1]
≤gL
由此可知，当θ＝45°时，A球速度最大，C项正确，A项错误．
答案：BCD
三、滑链模型
此类问题应注意重力势能为零的位置的选择及重力势能的改变．
如图所示，一条长为L的柔软匀质链条，开始时静止放在光滑梯形平台上，斜面上的链条为x0，已知重力加速度为g，Lx0)．
解析：链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为m，以平台所在位置为零势能面，则
－x0g·x0sin α＝mv2－xg·xsin α
解得v＝(x>x0)
所以当斜面上链条长为x时，链条的速度为 (x>x0)．
1.(2012·海南单科)下列关于功和机械能的说法，正确的是( )
A．在有阻力作用的情况下，物体重力势能的减少不等于重力对物体所做的功
B．合力对物体所做的功等于物体动能的改变量
C．物体的重力势能是物体与地球之间的相互作用能，其大小与势能零点的选取有关
D．运动物体动能的减少量一定等于其重力势能的增加量
解析：物体重力势能的减少始终等于重力对物体所做的功，A项错误；运动物体动能的减少量等于合外力对物体做的功，D项错误．
答案：BC
2．一轻质弹簧，固定于天花板上的O点处，原长为L，如图所示，一个质量为m的物块从A点竖直向上抛出，以速度v与弹簧在B点相接触，然后向上压缩弹簧，到C点时物块速度为零，在此过程中无机械能损失，则下列说法正确的是( )
A．由A到C的过程中，动能和重力势能之和不变
B．由B到C的过程中，弹性势能和动能之和不变
C．由A到C的过程中，物块m的机械能守恒
D．由B到C的过程中，物块与弹簧组成的系统机械能守恒
解析：物块由A到C的过程中，只有重力、弹簧弹力做功，因此物块与弹簧组成的系统机械能守恒，由A到B的过程中，弹性势能不变，物块动能与重力势能之和不变，但物块由B到C的过程中，弹性势能增大，物块的机械能减小，重力势能增大，弹性势能与动能之和减小，故只有D正确．
答案：D
3．(2012·山东理综)将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面运动至最高点的过程中，v－t图象如图所示．以下判断正确的是( )
A．前3 s内货物处于超重状态
B．最后2 s内货物只受重力作用
C．前3 s内与最后2 s内货物的平均速度相同
D．第3 s末至第5 s末的过程中，货物的机械能守恒
解析：由v－t图象可知，货物在前3 s内具有向上的加速度，因此货物处于超重状态，选项A正确；最后2 s内，货物具有向下的加速度，其大小为a＝m/s2＝3 m/s2mg且h越大，N越大．选项B、C正确．
答案：BC
5．如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态．同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g.求：
(1)a球离开弹簧时的速度大小va；
(2)b球离开弹簧时的速度大小vb；
(3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep.
解析：(1)由a球恰好能到达A点知
m1g＝m1
由机械能守恒定律得
m1v－m1v＝m1g×2R
得va＝.
(2)对于b球由机械能守恒定律得：
m2v＝m2g×10R
得vb＝.
(3)由机械能守恒定律得
Ep＝m1v＋m2v
得Ep＝(m1＋10m2)gR.
答案： (1) (2)
(3)(m1＋10m2)gR
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