第3讲 牛顿运动定律的综合应用
一、动力学两类基本问题
1．由受力情况判断物体的运动状态：处理这类问题的基本思路是：先求出几个力的合力，由牛顿第二定律(F合＝ma)求出加速度，再由运动学的有关公式求出速度或位移．
2．由运动情况判断受力情况：处理这类问题的基本思路是：已知加速度或根据运动规律求出加速度，再由牛顿第二定律求出合力，从而确定未知力．
二、超重、失重与完全失重
1．视重
(1)当物体挂在弹簧测力计下或放在水平台秤上时，弹簧测力计或台秤的示数称为视重．
(2)视重大小等于弹簧测力计所受物体的拉力或台秤所受物体的压力．
2．超重、失重和完全失重比较
超重现象
失重现象
完全失重
概念
物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)大于物体所受重力的现象
物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)小于物体所受重力的现象
物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)等于零的现象
产生条件
物体的加速度方向竖直向上
物体的加速度方向竖直向下
物体的加速度方向竖直向下，大小a＝g
原理式
F－mg＝ma
F＝m(g＋a)
mg－F＝ma
F＝m(g－a)
mg－F＝mg
F＝0
运动状态
加速上升、减速下降
加速下降或减速上升
以a＝g加速下降或减速上升
1．下列说法中正确的是( )
A．只有正在向上运动的物体，才有可能处于超重状态
B．超重就是物体所受的重力增加
C．物体处于超重状态时，地球对它的引力变大
D．超重时物体所受的重力不变
解析：物体处于超重状态时，物体具有向上的加速度，但物体的速度不一定向上，故A错误；物体处于超重状态，并不是物体的重力发生了变化，故B、C错误，D正确．
答案： D
2．(2013·辽宁大连高三双基测试)如图所示，一些商场安装了智能化的自动电梯，当有乘客乘行时自动电梯经过先加速再匀速两个阶段运行，则电梯在运送乘客的过程中( )
A．乘客始终受摩擦力作用
B．乘客经历先超重再失重
C．电梯对乘客的作用力始终竖直向上
D．电梯对乘客的作用力先指向前上方，再竖直向上
解析：乘客先有斜向上的加速度再匀速，故乘客先超重后既不超重又不失重，选项B错误；匀速运动阶段乘客受竖直方向的重力与支持力作用而平衡，不受摩擦力，选项A错误；乘客在加速阶段受电梯的作用力与重力作用，合力沿平行电梯斜面向上，重力竖直向下，故电梯对乘客的作用力斜向前上方，选项D正确．
答案： D
3．在电梯内的地板上，竖直放置一根轻质弹簧，弹簧上端固定一个质量为m的物体，当电梯静止时，弹簧被压缩了x；当电梯运动时，弹簧又被继续压缩了.则电梯运动的情况可能是( )
A．以大小为g的加速度加速上升
B．以大小为g的加速度减速上升
C．以大小为g的加速度加速下降
D．以大小为g的加速度减速下降
解析：当电梯静止时，弹簧被压缩了x，则kx＝mg；当电梯运动时，弹簧又被继续压缩了，则物体所受的合外力为F＝，方向竖直向上，由牛顿第二定律知加速度为a＝＝g，方向竖直向上．若电梯向上运动，则电梯以大小为g的加速度加速上升；若电梯向下运动，则电梯以大小为g的加速度减速下降，D正确．
答案： D
4.一间新房要盖屋顶，为了使下落的雨滴能够以最短的时间淌离屋顶，则所盖屋顶的顶角应为(设雨滴沿屋顶下淌时，可看成在光滑的斜坡上下滑)( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
解析：由题意知，雨滴沿屋顶的运动过程中受重力和支持力作用，设其运动的加速度为a，屋顶的顶角为2a，则由牛顿第二定律得a＝gcos α.又因屋檐的前后间距已定，设为2b，则雨滴下滑经过的屋顶面长度x＝，由x＝at2得t＝，则当α＝45°时，对应的时间t最小，所以屋顶的顶角应取90°，B正确．
答案： B
5.(2013·池州模拟)在水平面上放着两个质量分别为3 kg和2 kg的小铁块A和B，它们之间用一根自由长度为10 cm，劲度系数为100 N/m的轻弹簧相连，铁块与水平面之间的动摩擦因数均为0.2.铁块A受到一大小为20 N的恒定水平外力F，两个铁块一起向右做匀加速直线运动，如图所示，这时两铁块之间的弹簧长度应为(重力加速度g取10 m/s2)( )
A．12 cm B．13 cm
C．15 cm D．18 cm
解析：取A、B为一整体，由牛顿第二定律可得：F－μ(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a，则a＝2 m/s2，再以B为研究对象：kx－μmBg＝mBa，可得：x＝0.08 m＝8 cm，故弹簧的长度应为l＝l0＋x＝18 cm，D正确．
答案：D
(19分)如图所示，在海滨游乐场里有一种滑沙运动．某人坐在滑板上从斜坡的高处A点由静止开始滑下，滑到斜坡底端B点后，沿水平的滑道再滑行一段距离到C点停下来．如果人和滑板的总质量m＝60.0 kg，滑板与斜坡滑道和水平滑道间的动摩擦因数均为μ＝0.5，斜坡的倾角θ＝37°(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，斜坡与水平滑道间是平滑连接的，整个运动过程中空气阻力忽略不计，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)人从斜坡上滑下的加速度为多大？
(2)若由于场地的限制，水平滑道的最大距离BC为L＝20.0 m，则人在斜坡上滑下的距离AB应不超过多少？
规范解答//解： (1)人在斜坡上受力如图所示，建立如图所示的坐标系，设人在斜坡上滑下的加速度为a1，由牛顿第二定律得
mgsin θ－Ff1＝ma1，(3分)
FN1－mgcos θ＝0，(2分)
由摩擦力计算公式得Ff1＝μFN1，(2分)
联立解得人滑下的加速度为
a1＝g(sin θ－μcos θ)＝10×(0.6－0.5×0.8) m/s2＝2 m/s2.(2分)
(2)人在水平滑道上受力如图所示，由牛顿第二定律得
F′f＝ma2，(2分)
F′N－mg＝0(1分)
由摩擦力计算公式得F′f＝μF′N，联立解得人在水平滑道上运动的加速度大小为a2＝μg＝5.0 m/s2(2分)
设从斜坡上滑下的距离为LAB，对AB段和BC段分别由匀变速运动的公式得
v－0＝2a1LAB，(2分)
0－v＝－2a2L(2分)
联立解得LAB＝50.0 m．(1分)
答案： (1)2.0 m/s2 (2)50.0 m
应用牛顿运动定律解题的一般步骤
①选对象——确定研究对象．
选取研究对象，作隔离体，所选取的研究对象可以是一个物体，也可以是多个物体组成的系统．
②画力图——对研究对象进行受力分析(和运动状态分析)；
③定方向——选取正方向(或建立坐标系)，通常以加速度方向为正方向较为适宜；
④列方程——根据牛顿运动定律列运动方程；根据运动学公式列方程；
⑤解方程——统一单位，求解方程，并对计算结果进行分析检验或讨论．
总之：抓住物理量——加速度，按下面的思路进行．
1－1：交通路口是交通事故的多发地，驾驶员到交通路口时也格外小心．现有甲、乙两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为v0＝8 m/s.当两车快要到十字路口时，甲车司机看到绿灯已转换成了黄灯，于是紧急刹车(反应时间忽略不计)，乙车司机为了避免与甲车相撞也紧急刹车，但乙车司机反应较慢(反应时间为t＝0.5 s)．已知甲车紧急刹车时制动力为车重的0.5倍，乙车紧急刹车时制动力为车重的，g＝10 m/s2.
(1)若甲车司机看到黄灯时车头距警戒线6.5 m，他采取了上述措施后是否会闯红灯？
(2)为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车在行驶过程中应至少保持多大距离？
解析： (1)甲车紧急刹车的加速度为
a1＝＝＝5 m/s2
这段时间滑行距离x1＝＝ m＝6.4 m
6．4 m<6.5 m，甲车不会闯红灯
(2)乙车紧急刹车的加速度为a2＝＝＝4 m/s2
乙车刹车过程中的运动位移x2＝＝ m＝8 m
乙车在司机反应时间内的运动位移x3＝v0t＝8×0.5 m＝4 m
Δx＝x2＋x3－x1＝5.6 m.
答案： (1)不会 (2)5.6 m
1．三种图象：v－t图象、a－t图象、F－t图象．
2．图象间联系：加速度是联系v－t图象与F－t图象的桥梁．
3．三种应用：
(1)已知物体的运动图象，通过加速度分析物体受力情况；
(2)已知物体受力图象，分析物体的运动情况；
(3)通过图象对物体的受力与运动情况进行分析．
(2012·安徽理综)质量为0.1 kg的弹性球从空中某高度由静止开始下落，该下落过程对应的v－t图象如图所示．球与水平地面相碰后离开地面时的速度大小为碰撞前的.设球受到的空气阻力大小恒为f，取g＝10 m/s2，求：
(1)弹性球受到的空气阻力f的大小；
(2)弹性球第一次碰撞后反弹的高度h.
思路点拨：解答本题时可按以下思路进行分析：
解析： (1)由v－t图象可知，小球下落过程的加速度为
a1＝＝ m/s2＝8 m/s2
根据牛顿第二定律，得mg－f＝ma1
所以弹性球受到的空气阻力
f＝mg－ma1＝(0.1×10－0.1×8) N＝0.2 N.
(2)小球第一次反弹后的速度v1＝×4 m/s＝3 m/s
根据牛顿第二定律，得弹性球上升的加速度为a2＝＝ m/s2＝12 m/s2.
根据v2－v＝－2ah，得弹性球第一次反弹的高度
h＝＝ m＝0.375 m.
答案： (1)0.2 N (2)0.375 m
1.动力学图象问题的解题策略
(1)弄清图象斜率、截距、交点、拐点的物理意义．
(2)应用物理规律列出与图象对应的函数方程式．
2．分析图象问题时常见的误区
(1)没有看清纵、横坐标所表示的物理量及单位．
(2)不注意坐标原点是否从零开始．
(3)不清楚图线的点、斜率、面积等的物理意义．
(4)忽视对物体的受力情况和运动情况的分析．
2－1：(2013·山东青岛一模)如图甲所示，木板OA可绕轴O在竖直平面内转动，某研究小组利用此装置探究物块的加速度a与斜面倾角θ之间的关系．已知物块始终受到方向沿斜面向上、大小为F＝8 N的拉力作用，由静止开始运动，物块的质量m＝1 kg，通过多次改变斜面倾角θ，重复实验，用测得的数据描绘出了如图乙所示的a－θ关系图像．若物块与木板间的动摩擦因数为μ＝0.2，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g＝10 m/s2.求：
(1)图线与a轴交点坐标a0；
(2)图线与θ轴交点坐标θ1满足的条件(用代数式表示)；
(3)如果木板长L＝2 m，倾角θ＝37°，物块在F的作用下从O点由静止开始运动，要 使物块不冲出木板顶端，力F作用的最长时间．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解析： (1)对物块，θ＝0°时，有F－μmg＝ma0
解得：a0＝6 m/s2.
(2)当θ＝θ1时，物块的加速度恰好为零，有 F－μFN－mgsin θ1＝0
FN＝mgcos θ1
以上两式联立解得：
cos θ1＋5sin θ1＝4.
(3)设F最长作用时间为t，有
F－mgsin θ－μmgcos θ＝ma1
v＝a1t，x1＝a1t2，
撤去F后，有mgsin θ＋μmgcos θ＝ma2
v2＝2a2(L－x1)
解得：t＝ s≈3.1 s.
答案： (1)6 m/s2 (2)cos θ1＋5sin θ1＝4
(3)3.1 s
1．尽管物体的加速度不是竖直方向，但只要其加速度在竖直方向上有分量，物体就会处于超重或失重状态．
2．超重并不是重力增加了，失重并不是重力减小了，完全失重也不是重力完全消失了．在发生这些现象时，物体的重力依然存在，且不发生变化，只是物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)发生变化．
3．在完全失重的状态下，平常一切由重力产生的物理现象都会完全消失，如天平失效、浸在水中的物体不再受浮力、液体柱不再产生压强等．
一枚火箭由地面竖直向上发射，其速度和时间的关系图线如图所示，则( )
A．t3时刻火箭距地面最远
B．t2～t3的时间内，火箭在向下降落
C．t1～t2的时间内，火箭处于失重状态
D．0～t3的时间内，火箭始终处于失重状态
解析：由速度图象可知，在0～t3内速度始终大于零，表明这段时间内火箭一直在上升，t3时刻速度为零，停止上升，高度达到最高，离地面最远，A正确，B错误．t1～t2的时间内，火箭在加速上升，具有向上的加速度，火箭应处于超重状态，而在t2～t3时间内火箭在减速上升，具有向下的加速度，火箭处于失重状态，故C、D错误．
答案：A
超重和失重时，物体的重力并没有变化，还要注意判断超重还是失重的依据是加速度的方向向上还是向下，而不是速度的方向．
3－1：在升降电梯内的地板上放一体重计，电梯静止时，晓敏同学站在体重计上，体重计示数为50 kg，电梯运动过程中，某一段时间内晓敏同学发现体重计示数如图所示，在这段时间内下列说法中正确的是( )
A．晓敏同学所受的重力变小了
B．晓敏对体重计的压力小于体重计对晓敏的支持力
C．电梯一定在竖直向下运动
D．电梯的加速度大小为g/5，方向一定竖直向下
解析：由题知体重计的示数为40 kg时，人对体重计的压力小于人的重力，故处于失重状态，实际人受到的重力并没有变化，A错；由牛顿第三定律知B错；电梯具有向下的加速度，但不一定是向下运动，C错；由牛顿第二定律mg－FN＝ma，可知a＝，D对．
答案：D
1．处理方法：临界状态一般比较隐蔽，它在一定条件下才会出现．若题目中出现“最大”“最小”“刚好”等词语，常有临界问题．解决临界问题一般用极端分析法，即把问题推向极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件，应用物理规律列出在极端情况下的方程，从而找出临界条件．
2．动力学中的典型临界问题
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离的临界条件是弹力FN＝0.
(2)相对静止或相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．
(3)加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受外力最大时，具有最大加速度；所受外力最小时，具有最小加速度．当出现加速度有最小值或最大值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值．
(2012·重庆理综)某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为x.比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v0时，再以v0做匀速直线运动跑至终点．整个过程中球一直保持在球拍中心不动．比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ0，如图所示．设球在运动中受到的空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g.
(1)求空气阻力大小与球速大小的比例系数k；
(2)求在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式；
(3)整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v0，而球拍的倾角比θ0大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件．
解析： (1)在匀速运动阶段，有mgtan θ0＝kv0
得k＝.
(2)加速阶段，设球拍对球的支持力为F′N，有
F′Nsin θ－kv＝ma
F′Ncos θ＝mg
得tan θ＝＋tan θ0.
(3)以速度v0匀速运动时，设空气阻力与重力的合力为F，有
F＝
球拍倾角为θ0＋β时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为a′，有Fsin β＝ma′
设匀速跑阶段所用时间为t，有t＝－
球不从球拍上掉落的条件a′t2≤r
得sin β≤.
答案： 见解析
1.如图为女子撑杆跳高决赛中基里亚绍娃的杆上英姿，若不计空气阻力，则她在这次撑杆跳高中( )
A．起跳时杆对她的弹力大于她的重力
B．起跳时杆对她的弹力小于她的重力
C．起跳以后的下落过程中她处于超重状态
D．起跳以后的下落过程中她处于失重状态
答案： AD
2．如图甲所示，放在光滑水平面上的木块受到两个水平力F1与F2的作用静止不动．现保持F1不变，使F2逐渐减小到零，再逐渐恢复到原来的大小，其大小变化图象如图乙所示，则在此过程中，能正确描述木块运动情况的图象是图中的( )
解析： 由a＝可知，木块先做加速度逐渐增大的变加速运动，后做加速度逐渐减小的变加速运动．注意把握一个要素，合力的方向始终不变．此题可依据加速度时刻发生改变的特征，迅速排除A、B、C三个选项．
答案：D
3．(2012·江苏单科)将一只皮球竖直向上抛出，皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比．下列描绘皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图象，可能正确的是( )
解析： 皮球上升过程中受重力和空气阻力作用，由于空气阻力大小与速度成正比，速度v减小，空气阻力F＝kv也减小，根据牛顿第二定律mg＋F＝ma，知a＝＋g，可知，a随v的减小而减小，且v变化得越来越慢，所以a随时间t减小且变化率减小，选项C正确．
答案：C
4．(2012·天津卷)如图甲所示，静止在水平地面的物块A，受到水平向右的拉力F作用，F与时间t的关系如图乙所示，设物块与地面的静摩擦力最大值Fm与滑动摩擦力大小相等，则( )
A．0～t1时间内F的功率逐渐增大
B．t2时刻物块A的加速度最大
C．t2时刻后物块A做反向运动
D．t3时刻物块A的动能最大
解析：在0～t1时间内物块A所受的合力为零，物块A处于静止状态，根据P＝Fv知，力F的功率为零，选项A错误；在t2时刻物块A受到的合力最大，根据牛顿第二定律知，此时物块A的加速度最大，选项B正确；物块A在t1～t2时间内做加速度增大的加速运动，在t2～t3时间内做加速度减小的加速运动，t3时刻，加速度等于零，速度最大，选项C错误，选项D正确．
答案：BD
5.(2012·江西部分重点中学联考)如图所示，有一足够长的斜面，倾角α＝37°，一小物块从斜面顶端A处由静止下滑，到B处后，受一与小物块重力大小相等的水平向右的恒力作用，小物块最终停在C点(C点未画出)．若AB长为2.25 m，小物块与斜面间动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.求：
(1)小物块到达B点的速度多大？
(2)B、C距离多大？
解析： (1)设小物块在AB段的加速度为a1，有
mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma1①
代入数据解得a1＝gsin 37°－μgcos 37°＝2 m/s2②
则小物块到达B点的速度
v＝＝ m/s＝3 m/s.
(2)设小物块在BC段的加速度大小为a2，有
Fcos 37°＋μFN－mgsin 37°＝ma2③
FN＝Fsin 37°＋mgcos 37°④
F＝mg⑤
联立③④⑤得
a2＝gcos 37°＋μ(gsin 37°＋gcos 37°)－gsin 37°
＝9 m/s2所以B、C间距离x2＝＝ m＝0.5 m.
答案： (1)3 m/s (2)0.5 m
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