第3讲 万有引力与航天
一、万有引力定律及其应用
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．
2．表达式：F＝，G为引力常量，
G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
二、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度．
推导过程为：由mg＝mv2/R＝GMm/R2得：
v＝＝＝7.9 km/s.
(2)第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．
2．第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
3．第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
三、经典时空观和相对论时空观
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m＝.
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．
1．关于第一宇宙速度，下列说法正确的是( )
A．它是人造地球卫星绕地球运行的最小速度
B．它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度
C．它是使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度
D．它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度
解析：根据v＝，在所有绕地球做匀速圆周运动的卫星中，靠近地面运行的卫星，轨道半径最小，所以环绕速度最大，即第一宇宙速度是最大环绕速度，同时也是把一个物体发射成为卫星所必须具有的最小发射速度，所以选项A错误，选项B、C正确；当卫星在椭圆轨道上运动时，在近地点时，它的速度最大但与第一宇宙速度无直接关系，选项D错误．
答案：BC
2．关于同步卫星(它相对于地面静止不动)，下列说法中正确的是( )
A．它一定在赤道上空
B．同步卫星的高度、周期是一个确定的值
C．所有的同步卫星具有相同的速度和加速度
D．它运行的线速度一定介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
解析：同步卫星相对地面静止，因此它一定在赤道上空，它的周期是一定的，因此其高度也确定，选项A、B正确；速度和加速度是矢量，所有的同步卫星运行的速率相等，但速度的方向不相同，加速度的方向各不相同，因此选项C、D错误．
答案：AB
3．(2012·山东理综卷)2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2.则等于( )
A. B.
C. D.
解析：“天宫一号”运行时所需的向心力由万有引力提供，根据G＝得线速度v＝，所以＝，故选项B正确，选项A、C、D错误．
答案：B
4．2012年6月24日，天宫神九组合体在轨飞行六天后短暂分离，并于12时成功实施首次手控对接，意味着中国完整掌握空间交会技术，具备了建设空间站的基本能力．假如“神舟九号”与“天宫一号”对接前所处的轨道如图甲所示，图乙是它们在轨道上即将对接时的模拟图．当它们处于图甲所示的轨道运行时，下列说法正确的是( )
A．“神舟九号”的加速度比“天宫一号”的大
B．“神舟九号”的运行速度比“天宫一号”的小
C．“神舟九号”的运行周期比“天宫一号”的长
D．“神舟九号”适度加速后有可能与“天宫一号”实现对接
解析：由万有引力提供向心力可知加速度a＝，对比轨道半径关系可知“神舟九号”的加速度比“天宫一号”的大，选项A正确；由运行速度v＝可知，“神舟九号”的运行速度比“天宫一号”的大，选项B错误；由运行周期T＝可知，“神舟九号”的运行周期比“天宫一号”的小，选项C错误；“神舟九号”适度加速后做离心运动有可能追上“天宫一号”实现对接，选项D正确．
答案：AD
5．地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，则由此估算地球的平均密度为( )
A. B.
C. D.
解析：在地球表面有：G＝mg，所以地球的质量为M，又因地球的体积：V＝πR3，所以地球的密度ρ＝＝.
答案：A
(2012·课标全国卷)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A．1－ B．1＋
C.2 D.2
解析：设地球的密度为ρ，地球的质量为M，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g＝.地球质量可表示为M＝πR3ρ.因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R－d)为半径的地球的质量为M′＝π(R－d)3ρ，解得M′＝3M，则矿井底部处的重力加速度g′＝，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为＝1－，选项A正确；选项B、D、D错误．
答案：A
星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法
(1)设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则mg＝G，即g＝(或GM＝gR2)
(2)若物体距星体表面高度为h，则重力mg′＝G，即g′＝＝g.
1－1：近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2.设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则( )
A.＝4/3 B.＝4/3
C.＝2 D.＝2
解析： 由＝mr知：＝，又卫星所在处重力提供向心力
mg＝m2r，可得：＝4/3，故B正确．
答案： B
(2012·福建卷)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A. B.
C. D.
解析：设卫星的质量为m′
由万有引力提供向心力，
得G＝m′ ①
m′＝m′g ②
由已知条件：m的重力为N得
N＝mg ③
由③得g＝，代入②得：R＝
代入①得M＝，故A、C、D三项均错误，B项正确．
答案：B
天体质量和密度的估算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体的半径R
由G＝mg，得M＝，
ρ＝＝＝.
(2)利用天体的卫星，已知卫星的周期T(或线速度v)和卫星的轨道半径r
建立G＝m＝mr，
则M＝
测天体的密度：将天体的质量M代入ρ＝得：
2－1：一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v.引力常量为G，则( )
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
解析：由＝＝mr得M＝＝，A对；无法计算行星的质量，B错；r＝＝＝，C对；a＝ω2r＝ωv＝v，D对．
答案：ACD
1．卫星的轨道参量随轨道半径变化的规律
动力学特征
G＝man＝m＝mω2r＝m()2r
向心加速度an
an＝G，即an∝
线速度v
v＝，即v∝
角速度ω
ω＝，即ω∝
周期T
T＝，即T∝
由上表分析可知：随卫星轨道半径的增加，卫星的向心加速度、线速度、角速度都减小，其运行周期将增加．
2．几种常见卫星
(1)近地卫星
近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度v＝＝，约为7.9 km/s，其运行周期T＝，约为84 min.
(2)同步卫星
同步卫星与地球自转同步，相对地球静止，可用作为通讯卫星，其特点如下：
①轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．
②周期一定：与地球自转周期相同，
即T＝24 h＝86 400 s.
③角速度一定：与地球自转的角速度相同．
④高度一定：据G＝mr得r＝＝4.24×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)．
⑤速率一定：运动速度v＝2πr/T＝3.08 km/s(为恒量)．
⑥绕行方向一定：与地球自转的方向一致．
(2012·安徽卷)我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则( )
A．“天宫一号”比“神舟八号”速度大
B．“天宫一号”比“神舟八号”周期长
C．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大
D．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大
解析：由题知“天宫一号”运行的轨道半径r1大于“神舟八号”运行的轨道半径r2，天体运行时万有引力提供向心力．
根据G＝m，得v＝.因为r1>r2，故“天宫一号”的
运行速度较小，选项A错误；根据G＝m2r得T＝2π，故“天宫一号”的运行周期较长，选项B正确；根据G＝mω2r，得ω＝，故“天宫一号”的角速度较小，选项C错误；根据G＝ma，得a＝，故“天宫一号”的加速度较小，选项D错误．
答案：B
利用万有引力定律解决卫星运动的方法是：一个模型两条思路
模型：人造天体的运动看做绕中心天体做匀速圆周运动，它受到的万有引力提供向心力．
思路：
(1)当天体运动时，由万有引力提供向心力G＝m＝mω2r＝mr2.这是万有引力定律这一章的主线索．
(2)在地面附近万有引力近似等于物体的重力，G＝mg.这是万有引力定律这一章的副线索．
3－1：如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是( )
A．a、b的线速度大小之比是 ∶1
B．a、b的周期之比是1∶2
C．a、b的角速度大小之比是3∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4
解析：两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向，向心力选不同的表达形式分别分析，由＝m得＝＝＝，A错误；由＝mr2得＝＝，B错误；由＝mrω2得＝＝，C正确；由＝ma得＝＝，D正确．
答案：CD
卫星变轨的实质
若＝，供求平衡——卫星做匀速圆周运动，稳定运行；
若<，供不应求——卫星做离心运动；
若>，供过于求——卫星做近心运动；
在同一椭圆轨道上，近地点速度大于远地点速度；不管在哪一个轨道上，由a＝知，同一点加速度相同．
“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面200 km的P点进行第一次变轨后被月球捕获，先进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示．之后，卫星在P点又经过两次变轨，最后在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动．对此，下列说法正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅲ上运动的速度小于月球的第一宇宙速度
B．卫星在轨道Ⅲ上运动周期比在轨道Ⅰ上短
C．卫星在轨道Ⅲ上运动的加速度大于沿轨道Ⅰ运动到P点时的加速度
D．Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种轨道运行相比较，卫星在轨道Ⅲ上运行的机械能最小
解析：卫星在轨道Ⅲ上的轨道半径大于近月卫星的轨道半径，故其运行的速度小于月球的第一宇宙速度，A正确．
根据开普勒第三定律知B正确．
卫星在轨道Ⅲ与轨道Ⅰ上的P点时，根据牛顿第二定律有G＝ma，故加速度a相等，C错误．
卫星在P点变轨时，卫星的重力势能不变，动能减小，所以卫星在轨道Ⅲ上的机械能最小，D对．
答案：ABD
◎ 双星问题的处理方法
在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星．星体在万有引力提供向心力的情况下做匀速圆周运动，具有以下三个特点：
(1)两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在m1、m2两颗行星上．
(2)由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的，所以两颗行星的运行周期就必须相等，即T1＝T2.
(3)由于圆心在两颗行星的连线上，所以r1＋r2＝L.
宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起．设二者的质量分别为m1和m2，二者相距为L.求：
(1)双星的轨道半径之比；
(2)双星的线速度之比；
(3)双星的角速度．
解析：这两颗星必须各以一定速率绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，所以两天体间距离L应保持不变，二者做圆周运动的角速度ω必须相同．如图所示，设二者轨迹圆的圆心为O.圆半径分别为R1和R2.
由万有引力提供向心力有：
G＝m1ω2R1 ①
G＝m2ω2R2 ②
(1)①②两式相除，得＝.
(2)因为v＝ωR，所以＝＝.
(3)由几何关系知：R1＋R2＝L③
联立①②③式解得：
ω＝.
答案： (1)m2∶m1 (2)m2∶m1
(3)
1．由于通信和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的( )
A．质量可以不同
B．轨道半径可以不同
C．轨道平面可以不同
D．速率可以不同
解析：同步卫星运行时，万有引力提供向心力，＝mr＝m，故有＝，v＝，由于同步卫星运行周期与地球自转周期相同，故同步卫星的轨道半径大小是确定的，速度v也是确定的，同步卫星的质量可以不同．要想使卫星与地球自转同步，轨道平面一定是赤道平面．故只有选项A正确．
答案：A
2．(2012·重庆卷)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的( )
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍
D．向心力大小约为卡戎的7倍
解析：本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m1、r1、v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m2、r2、v2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、D均错；由G＝m1ω2r1＝m2ω2r2(L为两星间的距离)，因此＝＝，＝＝＝，故A对，C错．
答案：A
3.(2012·江苏卷)2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的( )
A．线速度大于地球的线速度
B．向心加速度大于地球的向心加速度
C．向心力仅由太阳的引力提供
D．向心力仅由地球的引力提供
解析：飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，所以ω飞＝ω地，由圆周运动线速度和角速度的关系v＝rω得v飞＞v地，选项A正确；由公式a＝rω2知，a飞＞a地，选项B正确；飞行器受到太阳和地球的万有引力，方向均指向圆心，其合力提供向心力，故C、D选项错．
答案：AB
4．地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估计地球的平均密度为( )
A. B.
C. D.
解析：忽略地球自转的影响，对于处于地球表面的物体，有mg＝G，又地球质量M＝ρV＝πR3ρ.
代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝.
答案：A
5．如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )
A．该卫星在P点的速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度
D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
解析：环绕地球的人造卫星第一宇宙速度是7.9 km/s，故A正确．环绕地球的人造卫星，最大的运行速度是7.9 km/s，故B错误．P点比Q点离地球近些，故在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度；卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，故C、D正确．
答案： ACD
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