专题一　力和运动第4讲　圆周运动　万有引力与航天  体系构建  考向分析 圆周运动相关知识是历年高考热点中的热点，它没有缺席过任何一年的高考，考试题型既有选择题，也有计算题，也可以在实验题中出现。内容有圆周运动各个基本量的关系考查，有向心力定律F＝m＝mω2r的直接应用，有圆周运动拱桥、凹桥、轨道内壁、双层轨道的最高点和最低点向心力定律的基本模型考查，有天体的圆周运动，很多时候作为压轴题，将有形和无形的轨道置于重力场、电场、磁场组成的组合场、复合场中，来考查带电体的圆周运动。  热点例析 热点一　天体的圆周运动 【例1】某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示。该行星与地球的公转半径之比为（　　）。  A． B．[来源:学&科&网] C． D． 举一反三1（2012·安庆高三模拟考试）美国宇航局在2011年12月5日宣布，他们在太阳系外发现了一颗类似地球的、可适合人类居住的行星——“开普勒－22b”，该行星环绕一颗类似于太阳的恒星运动的周期为290天，它距离地球约600光年，体积是地球的2.4倍。已知万有引力常量 和地球表面的重力加速度，假定该行星环绕这颗类似于太阳的恒星运动的轨迹为圆轨道，根据以上信息，下列推理中正确的是（　　）。 A．若已知该行星的轨道半径，可求出该行星所受的万有引力 B．若已知该行星的轨道半径，可求出该类似于太阳的恒星的密度 C．若该行星的密度与地球的密度相等，可求出该行星表面的重力加速度 D．根据地球的公转周期与轨道半径，可求出该行星的轨道半径 热点二　竖直平面内的圆周运动 1．常用的规律方法 （1）机械能守恒定律：通常用来解决只有重力（或弹力）做功情况下的竖直平面内圆周运动的问题。 （2）动能定理：可以用来解决有摩擦力做功、变力做功等情况下，物体在竖直面内圆周运动的速度、下落的高度等问题。[来源:学&科&网] （3）圆周运动中最高点（或最低点）的临界问题。 2．解题的关键点 对于竖直平面内的圆周运动，在最高点或最低点物体的受力分析是解题的突破点，向心力由物体所受合外力提供，临界条件是解决问题的关键。 如：竖直平面内的圆周运动在高考中常有轻绳、轻杆两种基本模型，这两种模型的具体处理方法如下表所示： 轻绳模型 轻杆模型  模型图示    最高点[来源:学.科.网][来源:Zxxk.Com] 受力 [来源:Z。xx。k.Com]    动力学方程 mg＋FN＝m 或mg＝m mg＋FN＝m或 mg＝m或mg－FN＝m  【例2】2012·安徽名校联考）如图所示，质量为m的小球置于立方体的光滑盒子中，盒子的棱长略大于球的直径。某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间作用力恰为mg，则（　　）。  A．该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于π B．该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于π C．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于3mg D．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能大于3mg 规律小结解决圆周运动问题的一般步骤 （1）首先明确研究对象。 （2）对其受力分析，明确向心力的来源。 （3）确定轨道所在的平面，圆心的位置、半径。 （4）结合牛顿第二定律和向心力表达式列方程，求解相关问题。 举一反三2如图所示，一只小球在固定的竖直平面内的圆环内侧连续做圆周运动，当它第4次经过最低点时速率为7 m/s，第5次经过最低点时速率为5 m/s，那么当它第6次经过最低点时速率应该为（在所研究的过程中小球始终没有脱离圆周轨道）（　　）。  A．一定是3 m/s B．一定是1 m/s C．一定大于1 m/s D．一定小于1 m/s 热点三　复合场内的圆周运动 带电体在复合场中的圆周运动，一定要根据运动性质和类型，分析清楚带电体的受力个数，再根据牛顿第二定律，把握临界条件，利用向心力定律和动能定理等列出方程式求解。 【例3】（2012·黄山高三“七校联考”）如图所示，用绝缘细绳系带正电小球在竖直平面内运动，已知绳长为L，重力加速度为g，小球半径不计，质量为m，电荷量为q。不加电场时，小球在最低点时绳的拉力是球重的9倍。（1）求小球在最低点时的速度大小；（2）如果在小球通过最低点时，突然在空间加上竖直向下的匀强电场，若使小球在后面的运动中，绳出现松软状态，求电场强度可能的大小。  误区警示 1．误将向心力作为物体受到的某个力进行分析。 【易错题例】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径略小于细管内径的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要求此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足什么关系？ 正确解答：首先画出小球运动到最高点和最低点的受力分析图，如图所示。A球在圆管最低点必受向上的弹力FN1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力FN2，且FN1＝FN2。  据牛顿第二定律A球在圆管的最低点，有 FN1－m1g＝m1① 同理B球在最高点，有：m2g＋FN2＝m2② B球由最高点到最低点机械能守恒 m2g·2R＋m2v＝m2v③ 又FN1＝FN2④ 由式①～④解得v0＝ 2．弄不清公式的使用条件和来龙去脉，以至于死记硬背、乱套公式。 【易错题例】我国发射的“嫦娥”一号探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化，卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内，卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。 正确解答：如图，设O和O′分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A是地月连心线OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点。根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点。卫星在运动时发出的信号被遮挡。  设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有 G＝m（）2r① G＝m0（）2r1② 式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期。由①②式得（）2＝（）3③ 设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，应有＝④ 式中，α＝∠CO′A，β＝∠CO′B。由几何关系得 rcos α＝R－R1⑤ r1cos β＝R1⑥ 由③④⑤⑥式得t＝⑦  1．（2012·安徽芜湖一中高三模拟）一根长为l的轻杆下端固定一个质量为m的小球，上端连在光滑水平轴上，轻杆可绕水平轴在竖直平面内运动（不计空气阻力）。当小球在最低点时给它一个水平初速度v0，小球刚好能做完整的圆周运动。小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，则下列判断正确的是（　　）。 A．小球能做完整的圆周运动，经过最高点的最小速度为 B．小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大 C．小球在最低点对轻杆的作用力先增大后减小 D．小球在运动过程中所受合外力的方向始终指向圆心 2．（2012·淮北高三模拟）如图所示，a是地球赤道上的一点，t＝0时刻在a的正上空有b、c、d三颗轨道均位于赤道平面的地球卫星，这些卫星绕地球做匀速圆周运动的运行方向均与地球自转方向（顺时针转动）相同，其中c是地球同步卫星。设卫星b绕地球运行的周期为T，则在b运行T时，这些卫星相对a的位置最接近实际的是（　　）。   3．（2012·安徽安庆高三模拟）如图所示，AB为倾角θ＝37°的斜面轨道，轨道的AC部分光滑，CB部分粗糙。BP为圆心角等于143°、半径R＝1 m的竖直光滑圆弧形轨道，两轨道相切于B点，P、O两点在同一竖直线上，轻弹簧一端固定在A点，另一自由端在斜面上C点处，现有一质量m＝2 kg的物块在外力作用下将弹簧缓慢压缩到D点后（不拴接）释放，物块经过C点后，从C点运动到B点过程中的位移与时间的关系为x＝12t－4t2（式中x单位是m，t单位是s），假设物块第一次经过B点后恰能到达P点，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。试求：  （1）若CD＝1 m，试求物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功； （2）B、C两点间的距离x。 4．（2012·安徽马鞍山高三教学质量检测）如图所示，在地面附近，坐标系xOy在竖直平面内的空间中存在着沿水平方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在x＜0的空间内还有沿x轴负方向的匀强电场，电场强度为E。一个带正电的油滴经图中x轴上的M点，始终沿着与水平方向成θ＝30°角的斜向下做直线运动，进入x＞0区域。要使油滴进入x＞0的区域后能在竖直平面内做匀速圆周运动，需要在x＞0区域加一个匀强电场E′。若带电油滴做匀速圆周运动通过x轴上的N点，且MO＝NO，g取10 m/s2。求：  （1）油滴运动速度大小； （2）在x＞0空间内所加电场强度大小和方向； （3）油滴从x轴上的M点开始运动到达N点所用的时间。 参考答案 精要例析·聚焦热点 热点例析 【例1】B　解析：对地球有：＝m1r1，对行星有：＝m2r2，由两式可得：＝，由题意可知：－＝1，即＝，所以，＝＝，选项B正确。 【举一反三1】C　解析：设此行星的质量为m1，行星的半径为R1，密度为ρ1，行星表面重力加速度为g1，绕类似太阳恒星做匀速圆周运动的周期为T1，轨道半径为r1，此类似太阳的恒星质量为M1；设此地球的质量为m2，地球的半径为R2，密度为ρ2，地球表面重力加速度为g2，地球绕太阳做匀速圆周运动的周期为T2，轨道半径为r2，太阳的质量为M2。 行星所受的万有引力可以直接用行星m1和类似太阳恒星M1之间的引力公式来求，也可以利用行星m1绕M1的向心力公式来求，F＝＝m1ω2r1＝m1r1，但都必须知道行星的质量m1，选项A错误；利用＝m1r1，可以求出恒星的质量M1，但是要想求出此恒星的密度，还必须知道此恒星的半径，选项B错误；设地球表面上某物体m，地球表面重力加速度为g，利用＝mg2，再利用密度公式ρ2＝，可求出地球密度ρ2＝，同理可求出行星的密度ρ1＝，当行星m1和地球密度相等ρ1＝＝ρ2＝，g2已知，行星体积又已知为地球的2.4倍，＝2.4×，因此可求出行星表面的重力加速度g1＝g2，选项C正确；由于地球和行星不绕同一中心天体做匀速圆周运动，从公式＝m1r1和＝m2r2可以看出，只知道地球绕太阳的轨道半径和周期求出的量和此行星没有关系，选项D错误。 【例2】B　解析：要使在最高点时盒子与小球之间作用力恰好为mg，则盒子顶部对小球必然有向下的弹力mg，则有mg＋mg＝，解得该盒子做匀速圆周运动的速度v＝，该盒子做匀速圆周运动的周期为T＝＝π，选项A错误，选项B正确；在最低点时，盒子与小球之间的作用力和小球重力的合力提供小球运动的向心力，由F－mg＝，解得F＝3mg，选项C、D错误。 【举一反三2】C　解析：因为圆周运动的速度减小，所以FN减小，所以Ff减小。故Ek4－Ek5＞Ek5－Ek6，解得v6＞1 m/s。所以本题只有选项C正确。 【例3】答案：（1）　（2）见解析 解析：（1）由题意，在最低点时FT＝9mg。设此时速度为v1，则FT－mg＝m 解出：v1＝ （2）如果绳出现松弛，则小球不能通过最高点： 由动能定理，恰过最高点时有：mg2L＋Eq2L＝－ 且：Eq＋mg＝m　则：E≥ 小球也不可以低于O点所在水平面，小球恰运动到与O点等高的点时有 mgL＋EqL＝　则：E≤ 所以：≥E≥ 创新模拟·预测演练 1．B　解析：小球固定在轻杆上在竖直平面内做圆周运动，小球恰好过最高点时速度可以为零，选项A错。小球在最高点时， N＋mg＝m，N是杆对小球的作用力，当v＝时，杆和小球之间没有作用力；当v＜时，杆对小球为竖直向上的支持力，速度越小，支持力越大；当v＞时，杆对小球为竖直向下的拉力，速度越大，拉力越大。由于杆和小球组成的系统在小球从最低点运动到最高点时机械能守恒，因此当小球在最低点的速度增加时，小球到达最高点的速度也在增大，所以到达最高点的速度由零逐渐增大到，此过程中杆对小球的支持力逐渐减小，当小球在最高点的速度超过并逐渐增大时，杆对小球向下的拉力也逐渐增大。由于杆对球的作用力和球对杆的作用力相等，因此小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大，选项B正确，选项C错误。由于小球从最低点运动到最高点速度逐渐减小，不是匀速圆周运动，小球在运动的过程中受到的合外力并不指向圆心，选项D错误。 2．C　解析：由＝mr，知轨道半径越大卫星的周期也越大，因此当卫星b运行t＝T时，卫星c没有运行周期，卫星d比卫星c运行得更慢，只有选项C才符合实际情况。 3．答案：（1）156 J　（2）m 解析：（1）由x＝12t－4t2知，物块在C点速度为v0＝12 m/s 设物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功为W，由动能定理得：W－mgsin 37°·CD＝mv 代入数据得：W＝mv＋mgsin 37°·CD＝156 J （2）由x＝12t－4t2知，物块从C运动到B过程中的加速度大小为a＝8 m/s2 设物块与斜面间的动摩擦因数为μ，由牛顿第二定律得 mgsin θ＋μmgcos θ＝ma　代入数据解得μ＝0.25 物块在P点的速度满足mg＝ 物块从B运动到P的过程中机械能守恒，则有mv－mv＝mg（R＋Rsin 53°） 物块从C运动到B的过程中有v－v＝－2ax 由以上各式解得x＝ m 4．答案：（1）　（2）　方向竖直向上　（3） 解析：（1）由平衡条件有qvBcos 30°＝mg① qvBsin 30°＝qE② 解得v＝③ （2）由①②得mg＝qE④ 粒子在磁场中做匀速圆周运动，要求mg＝qE′　E′＝⑤ 场强方向竖直向上 （3）设粒子从M到P点的时间为t1，从P点到N点的时间为t2，粒子做匀速圆周运动的轨道半径为R。过P点作MP的垂线交x轴与O′，由几何知识有  O′P＝tan 30°＝·OM⑥ O′N＝ON－O′Psin 30°＝·OM⑦ qvB＝⑧ 由几何知识MP＝Rcot 30°⑨ t1＝⑩ t2＝·? tMN＝t1＋t2? tMN＝?
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