第4节 匀变速直线运动的速度与位移的关系
1．当物体做匀速直线运动时，物体的位移为x＝______.当物体做变速直线运动时，可用平均速度求解物体的位移，即x＝______.
2．匀变速直线运动的物体的位移与速度满足关系式： __________________________.
该关系式适用于匀加速和匀减速直线运动，且该公式为矢量式，在规定正方向后可用________表示x和a的方向．
3．描述一段匀变速直线运动共有5个物理量：初速度v0、末速度v、加速度a、位移x、时间t，如果问题中的已知量和未知量都不涉及时间，利用______________求解，往往会使问题变得简单、方便．
4．如图1所示，一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车行驶了18 m时的速度为________ m/s.
图1
5．现在的航空母舰上都有帮助飞机起飞的弹射系统，已知“F－A15”型战斗机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s2，起飞速度为50 m/s.若该飞机滑行100 m时起飞，则弹射系统必须使飞机具有的初速度为( )
A．30 m/s B．40 m/s
C．20 m/s D．10 m/s
6．汽车在平直公路上以20 m/s的初速度开始做匀减速直线运动，最后停止．已知加速度的大小为0.5 m/s2，求汽车通过的路程．
【概念规律练】
知识点一 利用v2－v＝2ax求位移
1．在全国铁路第六次大提速后，火车的最高时速可达250 km/h，若某列车正以216 km/h的速度匀速行驶，在列车头经路标A时，司机突然接到报告要求紧急刹车，因前方1 000 m处有障碍物还没有清理完毕，若司机听到报告后立即以最大加速度a＝2 m/s2刹车，问该列车是否发生危险？
知识点二 利用v2－v＝2ax求速度
2．一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，它到达斜面底端时的速度是 m/s，则经过斜面中点时的速度是________ m/s.
3．汽车以10 m/s的速度行驶，刹车后的加速度大小为3 m/s2，求它向前滑行12.5 m后的瞬时速度．
知识点三 位移中点速度的计算
4．一个做匀加速直线运动的物体，通过A点的瞬时速度是v1，通过B点的瞬时速度是v2，那么它通过A、B中点的瞬时速度是( )
A. B.
C. D.
【方法技巧练】
一、匀变速直线运动基本公式的应用
5．一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过3 s后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经9 s停止，则物体在斜面上的位移与水平面上的位移之比是( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．13∶1
6．物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s2，求：
(1)物体在2 s内的位移；
(2)物体在第2 s内的位移；
(3)物体在第二个2 s内的位移．
二、追及问题的解题技巧
7．小车从静止开始以1 m/s2的加速度前进，车后相距x0＝25 m处，与车运动方向相同的某人同时开始以6 m/s的速度匀速追车，问能否追上？若追不上，求人、车间的最小距离为多少？
1．物体从长为L的光滑斜面顶端开始下滑，滑到底端的速率为v.如果物体以v0＝的初速度从斜面底端沿斜面上滑，上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为( )
A. B.
C. D.L
2．物体的初速度为v0，以加速度a做匀加速直线运动，如果要使物体速度增加到初速度的n倍，则物体发生的位移为( )
A. B.
C. D.
3.
图2
如图2所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在水平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则物体在斜面上的加速度a1与在水平面上的加速度a2的大小关系为( )
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝a2 D．a1＝4a2
4．某物体做初速度为零的匀加速直线运动，当其运动速度等于其末速度的时，剩余的路程占其全程的( )
A. B.
C. D.
5．物体由静止做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则( )
A．第3 s内平均速度是3 m/s
B．物体的加速度是1.2 m/s2
C．前3 s内的位移是6 m
D．3 s末的速度是3.6 m/s
6．一个做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点的速度分别是v和7v，经过AB的时间是t，则下列判断中错误的是( )
A．经过A、B中点的速度是4v
B．经过A、B中间时刻的速度是4v
C．前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt
D．前位移所需时间是后位移所需时间的2倍
7．小球由静止开始运动，在第1 s内通过的位移为1 m，在第2 s内通过的位移为2 m，在第3 s内通过的位移为3 m，在第4 s内通过的位移为4 m，下列描述正确的是( )
A．小球在这4 s内的平均速度是2.5 m/s
B．小球在3 s末的瞬时速度是3 m/s
C．小球在前3 s内的平均速度是3 m/s
D．小球在做匀加速直线运动
8．一质点做匀减速直线运动，第5 s末速度为v，第9 s末速度为－v，则质点在运动过程中( )
A．第7 s末的速度为零
B．5 s内和9 s内位移大小相等，方向相反
C．第8 s末速度为－2v
D．5 s内和9 s内位移相等
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
9.时速0～100公里的加速时间是汽车基本的技术数据之一，它反映该车型加速性能的好坏，成为最能评定汽车性能的指标之一．一般以0～100 km/h加速时间是否超过10 秒来衡量汽车加速性能的优劣．据报道，一辆新款国产汽车能在8秒内把汽车从静止加速到100 km/h，则供汽车加速的平直公路长度至少为多大？
10．一辆汽车以72 km/h行驶，现因故紧急刹车并最终停止运动．已知汽车刹车过程加速度的大小为5 m/s2，则从开始刹车经过5 s，汽车通过的距离是多少？
第4节 匀变速直线运动的速度与位移的关系
课前预习练
1．vt t
2．v2－v＝2ax 正负
3．v2－v＝2ax
4．10
解析 初速度v0＝8 m/s，位移x＝18 m，加速度a＝1 m/s2，根据v2－v＝2ax，v＝＝ m/s＝10 m/s.
5．B [设弹射初速度为v0，由题意知x＝100 m，加速度a＝4.5 m/s2，末速度v＝50 m/s，根据v2－v＝2ax，v0＝＝ m/s＝40 m/s.]
6．40 m
解析 汽车的加速度a＝－0.5 m/s2，末速度v＝0，根据v2－v＝2ax
x＝ m＝40 m.
课堂探究练
1．无危险
解析 设列车从刹车开始到停止运动滑行位移为x，
则v0＝216 km/h＝60 m/s，v＝0.
取列车前进方向为正方向，则a＝－2 m/s2.
由关系式v2－v＝2ax得：
02－602＝－2×2x
x＝900 m
因x＝900 m<1 000 m
所以，该列车无危险．
2．1
解析 根据匀变速直线运动的中间位移处的瞬时速度公式v中＝ 得v中＝ m/s＝1 m/s.
3．5 m/s
解析 设汽车的初速度方向为正方向，则v0＝10 m/s，
a＝－3 m/s2，x＝12.5 m
由推导公式v2－v＝2ax得：
v2＝v＋2ax＝[102＋2×(－3)×12.5] m2/s2＝25 m2/s2
所以v1＝5 m/s，v2＝－5 m/s(舍去)
即汽车向前滑行12.5 m后的瞬时速度大小为5 m/s，方向与初速度方向相同．
点评 匀变速直线运动的基本规律都是以矢量方程表示的，选用方程后注意选取正方向，确定好各个物理量的正负，由此将矢量运算转化为标量运算．在没有特殊说明的情况下，一般以初速度的方向为正方向．
4．D [由v2－v＝2ax得
对前半程有v－v＝2a·①
对后半程有v－v＝2a·②
①②联立可得：v中＝ ]
5．C [物体在斜面上运动时，v＝3a1，平均速度1＝a1，x1＝1t1＝a1；物体在水平面上运动时，2＝，x2＝2t2＝.
所以x1∶x2＝1∶3.]
6．(1)2 m (2)1.5 m (2)6 m
解析 2 s内的位移是前2 s内的位移，第2 s内的位移是第1 s末到第2 s末这1 s内的位移；第二个2 s内的位移是第2 s末到第4 s末这2 s内的位移．
由匀变速直线位移公式x＝v0t＋at2
(1)x1＝at＝×1×22 m＝2 m
(2)第1 s末的速度(第2 s初的速度)v1＝v0＋at＝1 m/s，故第2 s内位移x2＝v1t＋at2＝(1×1＋×1×12) m＝1.5 m
(3)第2 s末的速度v2＝v0＋at′＝1×2 m/s＝2 m/s，也是物体第二个2 s的初速度，故物体在第2个2 s内的位移x3＝v2t′＋at′2＝(2×2＋×1×22) m＝6 m
7．见解析
解析 解法一：物理法
人的速度只要大于车的速度，两者的距离就越来越小；人的速度小于车的速度，两者的距离就越来越大，那么，当两者速度相等时，是人追上车的临界条件．两者速度相等时，有v＝at，t＝＝ s＝6 s，人的位移：x1＝vt＝6×6 m＝36 m，车的位移x2＝＝ m＝18 m．x2＋x0＝18 m＋25 m＝43 m>x1＝36 m，因此人追不上车．最小距离为：Δx＝x2＋x0－x1＝43 m－36 m＝7 m.
解法二：图象法
作出人与车的v－t图象，如右图所示，可以看出人追车的最大距离就是图中有斜线部分的三角形的面积，该面积所对应的位移x＝ m＝18 m<25 m，说明人追不上车，人与车的最小距离Δxmin＝x0－x＝25 m－18 m＝7 m.
课后巩固练
1．C
2．A [设位移为x，由题意知末速度为nv0
由v2－v＝2ax得：
x＝＝＝.
选项A正确．]
3．B 4.D
5．ABD [第3 s内的平均速度＝＝ m/s＝3 m/s，A正确；前3 s内的位移x3＝at，前2秒内的位移x2＝at，故Δx＝x3－x2＝at－at＝3 m，即a·32－a·22＝3 m，解得a＝1.2 m/s2，选项B正确；将a代入x3得x3＝5.4 m，C错误；v3＝at3＝1.2×3 m/s＝3.6 m/s，D亦正确．]
6．A [平均速度AB＝＝4v，即中间时刻的瞬时速度．
中点位移处的速度v＝ ＝5v.
由Δx＝a()2和7v＝v＋at，可以判断C对．
由＝t1和＝·t2得t1＝2t2.]
7．A [由初速度为零的匀加速直线运动的规律知，第1 s内，第2 s内，第3 s内，…第n s内通过的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，而这一小球的位移分别为1 m,2 m,3 m，…所以小球做的不是匀加速直线运动，匀加速直线运动的规律也就不适用于这一小球，所以B、D选项不正确．至于平均速度，4 s内的平均速度
v1＝＝＝2.5 m/s，所以A选项正确；3 s内的平均速度
v2＝＝＝2 m/s，所以C选项不正确．]
8．AD
9．111.2 m
解析 汽车的初速度v0＝0，末速度v＝100 km/h＝27.8 m/s，t＝8 s
a＝＝ m/s2＝3.475 m/s2，根据v2－v＝2ax得
x＝＝ m＝111.2 m.
本题还有两种方法，即根据x＝t或x＝at2来解，试试看，比较一下哪种方法最简单．
10．40 m
解析 本题应先分析清楚，汽车在5 s内是正在刹车还是已经停车．若正在刹车，可用位移公式直接求；若停车时间t<5 s，则刹车过程的距离即是所求的距离．
设汽车由刹车开始至停止运动所用的时间为t0，v0＝72 km/h＝20 m/s
由v＝v0＋at0得：t0＝＝ s＝4 s.
可见，该汽车刹车后经过4 s就已经静止，后1 s是静止的．因为汽车最终静止，可直接利用0－v＝2ax求出刹车距离
即x＝＝ m＝40 m.
若用基本位移公式x＝v0t＋at2求，时间t应取4 s而不是5 s.
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