幻灯片 1第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命 题
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幻灯片 2----
幻灯片 3符号
判断真假
真
假
条件
结论
命题及其相关概念
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幻灯片 4思考:陈述句一定是命题吗?
提示:不一定,命题虽然是陈述句,但陈述句不一定是命题,如“瑞雪兆丰年”,这句话表达的是一种可能性,但不具有确定性,所以不是命题.
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幻灯片 5【知识点拨】
对命题概念的两点认识
(1)命题是对一个结论的判断:
所谓判断,就是肯定一个事物是什么或不是什么,不能含糊不清.命题的实质是对某一前提条件下相应结论的一个判断,这个判断可能正确,也可能错误,所以不能认为只有真命题才是命题而假命题不是命题.
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幻灯片 6(2)命题都由条件和结论构成:
任何命题都有条件和结论,数学中,一些命题表面上看不具有“若p,则q”的形式,如“对顶角相等”,但是适当改变叙述方式,就可以写成“若p,则q”的形式,即“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”,这样,命题的条件和结论就十分清楚了.
一般地,在命题中,已知的事项为“条件”,由已知推出的事项为“结论”.
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幻灯片 7类型 一 命题的概念
【典型例题】
1.下列语句不是命题的是( )
A.0是自然数 B.正数大于负数
C.正弦函数是偶函数 D.温度是向量吗?
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幻灯片 82.指出下列语句中哪些是命题,哪些不是命题.
(1)若a=b,则ac=bc.
(2)若ac=bc,则a=b.
(3)x2-3x+2>0.
(4)素数都不是偶数吗?
(5)两条平行直线的斜率相等.
(6)平行的两个向量方向相同.
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幻灯片 9【解题探究】1.命题必须具备哪两个条件?
2.你知道一般有哪些语句不是命题吗?
探究提示:
1.命题必须具备两个条件:
①陈述句;②能判断为真或为假.
2.并非所有的语句都是命题,一般地,对于疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.
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幻灯片 10【解析】1.选D.“温度是向量吗?”是疑问句,不是命题,其余的都是命题.
2.根据命题的概念(1)(2)(5)(6)是命题,而(3)是一个含有变量的不等式,故不能判断真假,(4)是疑问句不是命题.
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幻灯片 11【拓展提升】判断命题的依据及注意点
(1)依据:命题的概念是判断一个语句是否为命题的依据.
(2)注意点:①一般地,能判断真假的陈述句是命题,而疑问句、祈使句、感叹句不是命题.
②一个命题不是真命题就是假命题,不能无法判断真假.
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幻灯片 12【变式训练】判断下列语句哪些是命题:
(1)若a>b,则ac>bc.
(2)x2+1>2x.
(3)空集是任何集合的真子集.
(4)一个整数不是偶数就是奇数.
(5)正弦函数的图象关于原点对称.
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幻灯片 13【解析】(2)是含有变量的不等式,当x=1时,不等式不成立,当x≠1时,不等式成立,由于不能判断真假,所以不是命题;其余4个都是陈述句,且分别能判断真假,所以(1)(3)(4)(5)是命题.
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幻灯片 14类型 二 命题的构成形式
【典型例题】
1.命题“若a是偶数,则a能被2整除”的条件为 ,结论为 .
2.把下列命题改写为“若p,则q”的形式,指出条件和结论:
(1)直角三角形的两个锐角互余.
(2)正弦值相等的两个角的终边相同.
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幻灯片 15【解题探究】1.对于命题“若p,则q”形式,如何区分其条件和结论?
2.要确定命题的条件和结论,关键是把命题转化为什么形式?
探究提示:
1.“若”后面的语句p为条件,“则”后面的语句q为结论.
2.关键把命题改写为“若p,则q”的形式,p为条件,q为结论.
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幻灯片 16【解析】1.命题“若a是偶数,则a能被2整除”的条件为“a是偶数”,结论为“a能被2整除”.
答案:a是偶数 a能被2整除
2.(1)“若一个三角形是直角三角形,则它的两个锐角互余”,条件是“一个三角形是直角三角形”,结论是“两个锐角互余”.
(2)“若两个角的正弦值相等,则它们的终边相同”,条件是“两个角的正弦值相等”,结论是“它们的终边相同”.
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幻灯片 17【互动探究】把题2中的命题改为以下形式:
(1)两个锐角互余的三角形是直角三角形.
(2)终边相同的两个角的正弦值相等.
求解的问题不变,结论如何?
【解析】(1)“若一个三角形的两个锐角互余,则这个三角形是直角三角形”,条件是“一个三角形的两个锐角互余”,结论是“这个三角形是直角三角形”.
(2)“若两个角的终边相同,则它们的正弦值相等”,条件是“两个角的终边相同”,结论是“它们的正弦值相等”.
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幻灯片 18【拓展提升】
1.将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原则
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幻灯片 192.命题改写中的注意事项
“若p,则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式,也有一些命题的叙述比较简洁,并不是以“若p,则q”这种形式给出的,这时,首先要把这个命题补充完整,然后确定命题的条件和结论.
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幻灯片 20类型 三 真命题与假命题
【典型例题】
1.(2012·四川高考)下列命题正确的是( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
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幻灯片 212.“正数的倒数仍是正数”是 命题(填真、假).
【解题探究】1.判断命题真假的根据是什么?
2.什么是真命题?什么是假命题?
探究提示:
1.真命题是在具备条件p的前提下,结论q一定成立.
假命题是在具备条件p的前提下,结论q不一定成立或一定不成立.
2.判断为真的命题为真命题,判断为假的命题为假命题.
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幻灯片 22【解析】1.选C.对于选项A,以圆锥为例,母线和底面所成的角相等,而母线所在的直线不平行;对于选项B,若一个平面内有三个点(共线或分别在另一个平面的两侧)到另一个平面的距离相等,这两个平面可能相交;对于选项C,由线面平行的性质和判定定理,若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行,是真命题;对于选项D,结合教室内的相邻墙面和水平地面垂直可知,若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行是假命题.
2.非零实数与其倒数的符号相同,所以“正数的倒数仍是正数”是真命题.
答案:真
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幻灯片 23【拓展提升】命题真假判断的四种常用方法
方法一:对于常见命题直接判断.
方法二:根据已学过的定义、公理、定理证明.
方法三:根据已知的正确结论推证.
方法四:要说明一个命题是假命题,只要举出在条件具备的情况下,结论不成立的例子即可.
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幻灯片 24【变式训练】1. (2013·天津高考)已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的 则其体积缩小到原来的
②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2= 相切.
其中真命题的序号是( )
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
2.“常数列是等差数列”是 命题,“常数列是等比数列”
是 命题.(填真、假)
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幻灯片 25【解析】1.选C.命题①由球的体积公式可知，当一个球的半径
缩小到原来的 则其体积缩小到原来的 正确；命题②两组
数据的平均数相等,如果其离散程度不同，则它们的标准差也
不相等，故该命题错误；命题③直线x+y+1=0到圆心(0,0)的距
离 与圆x2+y2= 的半径相等，故直线与圆相
切，该命题正确.
2.“常数列是等差数列”是真命题,“常数列是等比数列”是
假命题.
答案:真 假
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幻灯片 26【易错误区】忽视命题的条件以及平面向量的运算而致误
【典例】设p:平面向量a,b,c互不共线,q表示下列不同的结论:
(1)|a+b|<|a|+|b|.(2)a·b=|a|·|b|.
(3)(a·b)c-(a·c)b与a垂直.(4)(a·b)c=a(b·c).
其中,使命题“若p,则q”为真命题的所有序号是 .
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幻灯片 27【解析】由于p:平面向量a,b,c互不共线,则必有|a+b|<|a|+|b|,(1)正确;
由于a·b=|a||b|cosθ<|a||b|,(2)不正确;
由于［(a·b)c-(a·c)b］·a=(a·b)(c·a)-(a·c)(b·a)=0①，
所以(a·b)c-(a·c)b与a垂直,(3)正确;
由于平面向量的数量积不满足结合律,且a,b,c互不共线,
故(a·b)c≠a(b·c)②，(4)不正确.
综上可知真命题的序号是(1)(3).
答案:(1)(3)
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幻灯片 28【误区警示】
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幻灯片 29【防范措施】
1.注意命题的条件与结论
若一个命题具备所给的条件,一定能得到所给的结论,它就是真命题;若一个命题具备所给的条件,不一定能或一定不能得到所给的结论,那么就是假命题,如本例命题的条件是三个互不共线的平面向量,故首先都不是零向量,这是判断命题的结论是否成立的重要前提.
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幻灯片 302.平面向量的概念与运算要明确
平面向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称为线性运算,结果仍是向量;平面向量的数量积运算,结果是实数,且三个平面向量不满足结合律,要把向量的运算与实数的运算区分开来,尤其是与实数运算的不同,这是避免判断命题真假出错的关键,如本例(4)是错误的,数量积不满足结合律.
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幻灯片 31【类题试解】在 上填上适当的语句,使其成为真命题:
(1)若 ,则a+b>0.
(2)若a·b=0,则 .
【解析】(1)若a>0,b>0(或a>-b),则a+b>0.
(2)若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b.
答案:(1)a>0,b>0(或a>-b)(填一种情形即可)
(2)a=0或b=0或a⊥b(三种情形必须填全面)
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幻灯片 321.“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗,在这4句诗中,可作为命题的诗句为( )
A.红豆生南国 B.春来发几枝
C.愿君多采撷 D.此物最相思
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幻灯片 33【解析】选A.因为命题是能判断真假的陈述句,首先我们要凭借语文知识判断这4句诗哪句是陈述句,然后再看能否判定其真假.“红豆生南国”是陈述句,意思是“红豆生长在中国南方”,这在唐代是事实,故本语句是命题;“春来发几枝”中的“几”是概数,无法判断其真假,故不是命题;“愿君多采撷”是祈使句,所以不是命题;“此物最相思”不能判断真假,故不是命题.
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幻灯片 342.下列为真命题的是( )
A.-2 014不是偶数
B.0和负数没有对数
C.正比例函数是增函数
D.无理数的平方是有理数
【解析】选B.-2 014是偶数;0和负数没有对数;正比例函数不一定是增函数;无理数π的平方是无理数.
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幻灯片 353.下列命题是真命题的是( )
A.若 ,则x=y B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则 D.若x
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