幻灯片 11.2 充分条件与必要条件
第1课时 充分条件与必要条件
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幻灯片 2----
幻灯片 3充分条件与必要条件的概念
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充分条件
必要条件
必要条件
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幻灯片 4判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.( )
(2)若p是q的充分条件,则¬p是¬q的充分条件.( )
(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( )
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幻灯片 5提示:(1)正确.若p是q的必要条件,即p⇐q,所以q是p的充分条件.
(2)错误.若p是q的充分条件,即p⇒q,其逆否命题为¬p⇐¬q,所以¬p是¬q的必要条件.
(3)错误.“对顶角相等”的逆否命题为“不相等的两个角不是对顶角”,所以“两角不相等”是“两角不是对顶角”的充分条件.
答案:(1)√ (2)× (3)×
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幻灯片 6【知识点拨】
1.对充分条件的理解
充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.例如,x=6⇒x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,所以“x=6”是“x2=36成立”的充分条件.
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幻灯片 72.对必要条件的理解
(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的.真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.
(2)“p是q的必要条件”的理解:推出关系为q⇒p,若有q,则必须有p;而具备了p,则不一定有q.
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幻灯片 8类型 一 充分条件与必要条件的判断
【典型例题】
1.命题“已知n∈Z,若a=4n,则a是偶数”中,“a是偶数”
是“a=4n”的 条件,“a=4n”是“a是偶数”
的 条件(用充分、必要填空).
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幻灯片 92.下列“若p,则q”形式的命题中:
①若lgx=0,则2x=2;
②若sinx= ,则x= ;
③已知n∈N+,若an=2n,则{an}是等差数列.
其中,p是q的充分条件的是 ,q是p的必要条件的是 ,p不是q的充分条件的是 ,q不是p的必要条件的是 .(将符合题意的所有序号都填上)
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幻灯片 10【解题探究】1.判断充分条件与必要条件的依据是什么?
2.判断充分条件与必要条件的实质是什么?
探究提示:
1.判断充分条件与必要条件的依据是定义.
2.判断充分条件与必要条件的实质是判断命题的真假.
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幻灯片 11【解析】1.命题“已知n∈Z,若a=4n,则a是偶数”是真命题,所以“a是偶数”是“a=4n”的必要条件,“a=4n”是“a是偶数”的充分条件.
答案:必要 充分
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幻灯片 122.①若lgx=0,则2x=2,真命题;
②若sinx= ,则x= ,假命题;
③已知n∈N+,若an=2n,则{an}是等差数列,真命题.
所以,p是q的充分条件的是①③,q是p的必要条件的是①③,p不是q的充分条件的是②,q不是p的必要条件的是②.
答案:①③ ①③ ② ②
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幻灯片 13【拓展提升】
1.真命题与充分条件、必要条件的关系
(1)根据四种命题的概念与关系,命题的条件和结论是相对的,确定p是否为q的充分条件,关键是判断命题“若p,则q”是真命题还是假命题.
(2)如果命题“若p,则q”为真命题,那么条件p是结论q的充分条件,同时,结论q是条件p的必要条件.如果命题“若p,则q”为假命题,那么条件p是结论q的不充分条件,同时,结论q也是条件p的不必要条件.
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幻灯片 142.充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法:由充分条件、必要条件的概念进行判断,即判断由已知和结论构成的命题及其逆命题的真假,亦同命题真假的判定方法.
(2)推出法:此法主要适应于抽象命题的判定,其表现形式为利用推出符表示其关系.
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幻灯片 15【变式训练】1.下列所给的p,q中,q是p的必要条件的个
数是( )
①p:x>1,q:lgx>0;
②p:x>1,q:x-1<1;
③p:x=3,q:sinx>cosx;
④p:直线a,b不相交,q:a∥b.
A.1 B.2 C.3 D.4
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幻灯片 16【解析】选C.①由于p:x>1⇒q:lgx>0,
所以q是p的必要条件;
②由于p:x>1⇒q:x-1<1,所以q是p的必要条件;
③由于p:x=3⇒q:sinx>cosx,所以q是p的必要条件;
④由于p:直线a,b不相交⇒q:a∥b,所以q不是p的必要条件.
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幻灯片 172.“x2=2x”是“x=0”的 条件,“x=0”是“x2=2x”的 条件(用充分、必要填空).
【解题指南】解答本题关键是弄清充分条件与必要条件与集合间的关系.
【解析】由于x=0⇒x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件,“x=0”是“x2=2x”的充分条件.
答案:必要 充分
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幻灯片 18类型 二 充分条件与必要条件的应用
【典型例题】
1.若“x>1”是“x>a”的充分条件,则实数a的取值范围
是( )
A.a>1 B.a≥1 C.a<1 D.a≤1
2.若“x=2”是“x2-2x+c=0”的充分条件,则c= .
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幻灯片 19【解题探究】1.p是q的充分条件对应的真命题是什么?
2.题2中对应的真命题的条件和结论分别是什么?
探究提示:
1.p是q的充分条件对应若p,则q为真命题.
2.对应的真命题是“若x=2,则x2-2x+c=0”,其中“x=2”是条件,“x2-2x+c=0”是结论.
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幻灯片 20【解析】1.选D.若“x>1”是“x>a”的充分条件,
则x>1⇒x>a,于是{x|x>1}⊆{x|x>a},得a≤1.
2.若“x=2”是“x2-2x+c=0”的充分条件,则“x=2”是方程“x2-2x+c=0”的根,代入,解得c=0.
答案:0
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幻灯片 21【互动探究】若题1中的“充分条件”改为“必要条件”,则实数a的取值范围如何?
【解析】若“x>1”是“x>a”的必要条件,即x>a⇒x>1,
∴a≥1.所以a的取值范围是[1,+∞).
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幻灯片 22【拓展提升】
1.从集合的包含关系看充分条件、必要条件
若不等式p,q对应的集合分别为P,Q,利用集合间的包含关系来判断充分条件、必要条件为:
①若P⊆Q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
②若p是q的充分条件,即p⇒q,相当于P⊆Q,即:要使x∈Q成立,只要x∈P就足够了——有它就行;为使x∈P成立,必须要使x∈Q——缺它不可.
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幻灯片 232.充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤:首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系,然后构建满足条件的不等式(组),再进行求解.
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幻灯片 24【易错误区】由充分条件、必要条件求参数取值或取值范围时忽略讨论致误
【典例】已知p:x2-x-2≤0,q:x2-3mx+2m2≤0,若p是q的必要条件,则实数m的取值范围是 .
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幻灯片 25【解析】由p是q的必要条件,得q⇒p,其中,p:{x|-1≤x≤2}.
不等式x2-3mx+2m2≤0,即(x-m)(x-2m)≤0,
当m=0时，解得x=0①,符合题意;
当m＞0时，解得m≤x≤2m①,依题意,得 所以0b C.ab<0 D.a>0,b<0
【解析】选D.由a>0,b<0,可得
即a>0,b<0⇒
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幻灯片 302.使不等式a2>b2成立的必要条件是( )
A.ab C.|a|>|b| D.ab>0
【解析】选C.由a2>b2,可得|a|>|b|,
即a2>b2⇒|a|>|b|.
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幻灯片 313.下列说法不正确的是( )
A.a∥b是a=b的必要条件
B.a∥b是a=b的不充分条件
C.θ>0是sinθ>0的充分条件
D.θ>0是sinθ>0的不必要条件
【解析】选C.由于a=b⇒a∥b,a∥b⇒a=b,所以a∥b是a=b
的不充分条件,a∥b是a=b的必要条件.
由于θ>0⇒sinθ>0,sinθ>0⇒θ>0,所以θ>0是sinθ>0的不
充分条件,也是不必要条件.
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幻灯片 324.a为素数 a为奇数的充分条件(填是或不是).
【解析】由于2是偶数,不是奇数,故a为素数⇒a为奇数,
所以a为素数不是a为奇数的充分条件.
答案:不是
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幻灯片 335.若“x2+ax+2=0”是“x=1”的必要条件,则a= .
【解析】由“x2+ax+2=0”是“x=1”的必要条件,得x=1⇒x2+ax+2=0,即x=1是方程x2+ax+2=0的根,代入解得a=-3.
答案:-3
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幻灯片 346.分别判断下列“若p,则q”的命题中,p是否为q的充分条件或必要条件,并说明理由.
(1)若α≠β,则sinα≠sinβ.
(2)若m>2,则方程x2+mx+1=0有实数根.
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幻灯片 35【解析】(1)由于α=β⇒sinα=sinβ,sinα=sinβ⇒α=β,
由逆否命题的真假性相同,得sinα≠sinβ⇒α≠β,
α≠β⇒sinα≠sinβ,
所以α≠β是sinα≠sinβ的不充分条件,α≠β是sinα≠
sinβ的必要条件.
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幻灯片 36(2)由方程x2+mx+1=0有实数根,得
Δ=m2-4≥0⇔m≤-2或m≥2.
由于m>2⇒Δ>0⇒方程x2+mx+1=0有实数根,而反推不成立,
所以m>2是方程x2+mx+1=0有实数根的充分条件,m>2是方程x2+mx+1=0有实数根的不必要条件.
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