幻灯片 1第2课时 充要条件的应用
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幻灯片 2----
幻灯片 3充要条件
一般地,如果既有p⇒q,又有q___p,就记作p___q,此时,我们说,
p是q的充分必要条件,简称_________.
显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
⇒
⇔
充要条件
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幻灯片 4思考:符号“⇔”的含义是什么?
提示:符号“⇔”的含义是“等价于”,例如“p⇔q”可以理解为“p是q的充要条件”“p等价于q”“q当且仅当p”;“p⇔q”的含义还可以理解为“p⇒q且q⇒p”.
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幻灯片 5【知识点拨】
常见的四种条件与命题真假的关系
如果原命题为“若p,则q”,逆命题为“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种情形:
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幻灯片 6----
幻灯片 7类型 一 充要条件的判断
【典型例题】
1.(2012·重庆高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )
A.既不充分也不必要的条件
B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件
D.充要条件
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幻灯片 82.已知命题“若a<0,则函数f(x)=x2+2x+a有两个零点”,有下列条件:
①充要;②充分;③必要;④充分不必要;⑤必要不充分;⑥既不充分又不必要.
其中,命题的结论是条件的 条件.(将满足题意的序号都填上)
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幻灯片 9【解题探究】1.如何确定命题的真假?
2.题2中命题的条件与结论分别是什么?
探究提示:
1.对于命题“若p,则q”,由p⇒q一定成立,则为真命题,不一定成立,则为假命题,通常可举反例验证.
2.条件是“a<0”,结论是“函数f(x)=x2+2x+a有两个零点”.
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幻灯片 10【解析】1.选D.如图,由于f(x)是R上的
偶函数,当f(x)在[0,1]上为增函数时,
根据对称性知f(x)在[-1,0]上为减函数.
根据函数f(x)的周期性将f(x)在[-1,0]上的图象向右平移4个单位,即可得到f(x)在[3,4]上的图象,所以f(x)在[3,4]上为减函数;同理当f(x)在[3,4]上为减函数时,根据函数的周期性将f(x)在[3,4]上的图象向左平移4个单位即可得到f(x)在[-1,0]上的图象,此时f(x)为减函数,又根据f(x)为偶函数知f(x)在[0,1]上为增函数,所以“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件.
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幻灯片 112.函数f(x)=x2+2x+a有两个零点的充要条件为Δ=4-4a>0⇔a<1,
由于a<0⇒a<1,且a<0 a<1,所以“函数f(x)=x2+2x+a有两个
零点”是“a<0”的必要不充分条件.
答案:③⑤
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幻灯片 12【拓展提升】确定各种条件的策略
(1)要确定p是q的哪一类条件,关键是判断命题“若p,则q”及其逆命题“若q,则p”的真假.
(2)若p⇔q,则p是q的充要条件,也是充分条件.
(3)若p⇒q,且p q,则p是q的充分不必要条件,p也是q的充分条件,同时,q是p的必要不充分条件,q也是p的必要条件.
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幻灯片 13【变式训练】(2012·山东高考)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当f(x)=ax为R上的减函数时,00,此时g(x)=(2-a)x3在R上为增函数成立;
当g(x)=(2-a)x3为增函数时,2-a>0,a>0,且a≠1,即00,tanα>0”
的过程中,由sinα>0,tanα>0推出α是第一象限角是证明
的 性(填“充分”或“必要”).
2.设a,b,c为△ABC中∠A,∠B,∠C所对边,求证:
方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.
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幻灯片 15【解题探究】1.充分性与必要性分别指的是什么?
2.题2中证明充分性与必要性分别是由谁推谁?
探究提示:
1.充分性是由条件推出结论,必要性正好相反.
2.充分性是由“∠A=90°”推出“方程x2+2ax+b2=0
与x2+2cx-b2=0有公共根”,必要性正好相反.
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幻灯片 16【解析】1.由题意知:条件:sinα>0,tanα>0,结论:α是第一象限角,条件⇒结论,应为充分性.
答案:充分
2.必要性:设两个方程有公共根α,则
∴α2+(a+c)α=0.
若α=0,代入任一方程得b=0,这与已知a,b,c为△ABC的三边相矛盾.
∴α=-a-c.代入上面方程组中任何一个式子,均可得a2=b2+c2,∴∠A=90°.
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幻灯片 17充分性:
∵∠A=90°,∴a2=b2+c2,∴x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,
即(x+a)2-c2=0,(x+a+c)(x+a-c)=0,
∴x1=-a-c,x2=-a+c.
同理,x2+2cx-b2=0可化为x2+2cx+c2-a2=0,
即(x+c)2-a2=0,(x+a+c)(x+c-a)=0,
∴x3=-a-c,x4=a-c.
所以两个方程有公共根-a-c.
综上所述,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件
是∠A=90°.
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幻灯片 18【拓展提升】证明充要条件的注意事项
(1)由充要条件的意义可知,如果原命题与逆命题都是真命题,即p⇔q,那么p与q互为充要条件.尽管如此,在证明“p的充要条件是q”(或q是p的充要条件)时,通常将“q⇒p”作为充分性,将“p⇒q”作为必要性进行证明.
(2)一般情况下,必要性比充分性更易于证明,所以可以先证明必要性,再证明充分性.
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幻灯片 19【变式训练】1.已知x,y是非零实数,且x>y,求证:
的充要条件为xy>0.
2.求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负数根的充要条件是m≥2.
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幻灯片 20【证明】1.必要性:∵ ,
∴ <0,即 <0.
∵x>y,∴y-x<0,∴xy>0.
充分性:∵x>y,xy>0,∴ 即
∴
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幻灯片 212.必要性:设关于x的方程x2+mx+1=0有两个负数根为x1,x2,
则 即 ∴
∴m≥2.
充分性:∵m≥2,∴Δ=m2-4≥0,且x1+x2=-m≤-2<0,
又x1·x2=1>0,
∴关于x的方程x2+mx+1=0有两个负数根.
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幻灯片 22【误区警示】在证明充要条件时,因充分性、必要性区别不清易失分,原因是分不清谁是条件,谁是结论,若分不清,证明时,可不注明充分性、必要性.
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幻灯片 23 充要条件的应用
【典型例题】
1.函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )
A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a2+b2=0
2.求关于x的不等式ax2-ax+1>0对x∈R恒成立的充要条件.
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幻灯片 24【解题探究】1.求一个命题的充要条件的实质是什么?
2.题2中不等式恒成立的条件是什么?
探究提示:
1.求一个命题的充要条件,实质就是找出这个命题成立的等价
条件,即所有条件.
2.不等式ax2-ax+1>0对x∈R恒成立的条件是a=0或
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幻灯片 25【解析】1.选D.方法一(特殊值法):取a=1,b=0排除A;取a=1,
b=-1排除B;取a=2,b=2排除C.
方法二(直接解法):充分性:由a2+b2=0⇒a=0且b=0⇒f(x)=x|x|
是奇函数;
必要性:函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数
⇒-x|x+a|-b=-x|-x+a|+b
⇒x(|x+a|-|x-a|)+2b=0,取x=0,则b=0,再取x=1,
则|1+a|-|1-a|=0,
即|a+1|=|a-1|,所以a=0.所以a2+b2=0.
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幻灯片 262.当a=0时,不等式ax2-ax+1>0为1>0,不等式显然成立.
当a≠0时,要使不等式ax2-ax+1>0对x∈R恒成立,
则有
解得00,对x∈(1,2)恒成
立”,则如何求充要条件?
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幻灯片 28【解析】1.方法一:依题意,得x∈R,先求函数为奇函数的必要
条件,令f(0)=0,得loga =0⇒a= 或a=- (舍去).
当a= 时,充分性成立.
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幻灯片 29方法二:依题意,函数为奇函数的充要条件为f(-x)+f(x)=0,
得loga(x+ )+loga(-x+ )=0,
∴loga[(x+ )(-x+ )]=0,
∴loga(4a2)=0,∴4a2=1,
解得a= 或a=- (舍去).
答案:
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幻灯片 302.若a=0,不等式ax2-ax+1>0为1>0,不等式显然成立.
若a≠0,令f(x)=ax2-ax+1,要使不等式ax2-ax+1>0对x∈(1,2)
恒成立,
当a>0时,f(x)在[ ,+∞)上为增函数,从而f(x)在(1,2)上为
增函数,由于f(1)=1>0,从而a>0满足f(x)>0在x∈(1,2)上恒
成立;
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幻灯片 31当a<0时,f(x)在[ ,+∞)上为减函数,从而f(x)在(1,2)上
为减函数,依题意,得f(2)=4a-2a+1≥0,解得a≥- ,
即- ≤a<0.
综上所述,a≥-
所以关于x的不等式ax2-ax+1>0,对x∈(1,2)恒成立的充要条
件是{a|a≥- }.
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幻灯片 32【拓展提升】一元二次不等式恒成立问题的解法
(1)判别式法主要解决与一元二次不等式有关或经过转化与
一元二次不等式有关的问题.
(2)一般地,不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔
或 不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔
或
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幻灯片 33(3)一般地,不等式ax2+bx+c>0(a>0)对任意实数x∈(m,n)恒
成立,常常结合二次函数的图象,利用判别式、对称轴以及单
调性共同解决.
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幻灯片 34【规范解答】充要条件的求解问题
【典例】
【规范解答】方法一:利用一元二次方程根与系数的关系,
设方程的两根为x1,x2,使x1,x2都大于1的充要条件是
………………………………………………………3分
【条件分析】
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幻灯片 35即 ⇔
…………………………………………………………………7分
⇔ ⇔ ……………10分
解得m<-2③为所求.…………………………………………12分
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幻灯片 36方法二:利用函数思想.令f(x)=x2+(2m-1)x+m2,…………3分
依题意,函数的两个零点都大于1的充要条件为
⇔ ⇔
………………………………………………………………10分
解得m<-2③为所求.…………………………………………12分
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幻灯片 37【失分警示】
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幻灯片 38【防范措施】
1.等价转化的意识
对于不等式(组)的转化必须是等价的,否则求的就不是充要条
件.由“x1>1,x2>1⇒x1+x2>2,x1x2>1”,但反过来,
“x1+x2>2,x1x2>1 x1>1,x2>1”.例如,取x1=1,x2=3有x1+x2>2,
且x1x2>1,但没有保证两个根都大于1,所以 仅是
方程的两根都大于1的必要条件,而不是充分条件.
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幻灯片 392.整体思想的应用意识
利用一元二次方程的根与系数的关系,体现了“设而不求,整体代入”的思想和方法,如本例②处的化简即体现了这种思想.
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幻灯片 40【类题试解】求关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2的充要条件.
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幻灯片 41【解析】方法一:设关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根为
x1,x2,
依题意,得 不等式组等价于
⇔ 解得 ∴-5 ”是“2x2+x-1>0”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由2x2+x-1>0得x<-1或x> ,所以“x> ”是
“2x2+x-1>0”的充分而不必要条件.
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幻灯片 442.对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若y=f(x)是奇函数,则y=|f(x)|的图象关于y轴对称;反之不成立,比如偶函数y=f(x),满足y=|f(x)|的图象关于y轴对称,但不是奇函数,故选B.
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幻灯片 453.数列{an}满足a1=1,an+1=r·an+r(n∈N*,r∈R且r≠0),
则“r=1”是“数列{an}成等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
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幻灯片 46【解析】选A.若r=1,则an+1=an+1,故{an}成等差数列;若{an}
成等差数列,则2a2=a1+a3,得4r=1+2r2+r,即(r-1)(2r-1)=0,
∴r=1或r= ,当r=1时,an=n,故{an}是等差数列;
当r= 时,an+1= an+ ,由a1=1,得an=1,故{an}是等差数列.
所以“r=1”是“数列{an}成等差数列”的充分不必要条件.
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幻灯片 474.“sinα= ”是“cos2α= ”的 条件.
【解析】若sinα= ,则cos2α=1-2sin2α= ;
若cos2α= ,则1-2sin2α= ,∴sinα=± ,
∴“sinα= ”是“cos2α= ”的充分不必要条件.
答案:充分不必要
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幻灯片 485.下列式子:①x<1;②00,
∴当a>0时,Δ=4-4a≥0,∴a≤1,即00恒成立,所以方程恒有负实数根.
综上所述,a≤1为所求.
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