<html><title>电子备课系统教学资源-20130511214019953</title><link rel="stylesheet" href="../css/css.css" type="text/css" media="all" /><body><div id="thistop"></div>幻灯片  11.4.3　含有一个量词的命题的否定
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幻灯片  2----
幻灯片  3一、含有一个量词的全称命题的否定
∃x0∈M,¬p(x0)
特称
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幻灯片  4思考:用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗?
提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
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幻灯片  5二、含有一个量词的特称命题的否定
∀x∈M,¬p(x)
全称
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幻灯片  6判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)命题¬p的否定是p.(　　)
(2)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,¬p(x)的真假性相反.(　　)
(3)从特称命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.(　　)
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幻灯片  7提示:(1)正确.命题p与¬p互为否定.
(2)正确.特称命题p与其否定¬p一真一假.
(3)错误.尽管特称命题的否定是全称命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.
答案:(1)√　(2)√　(3)×
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幻灯片  8【知识点拨】
1.对全称命题的否定以及特点的理解
(1)全称命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”,所以全称命题的否定的等价形式就是特称命题,将全称量词调整为存在量词,就要对p(x)进行否定,这是叙述命题的需要,不能认为对全称命题进行“两次否定”,否则就是“双重否定即肯定”,所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定.
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幻灯片  9(2)对于省去了全称量词的全称命题的否定,一般要改写为含有全称量词的命题,再写出命题的否定命题.
2.对特称命题的否定以及特点的理解
(1)由于全称命题的否定是特称命题,而命题p与¬p互为否定,所以特称命题的否定就是全称命题.
(2)全称命题与特称命题以及否定命题都是形式化命题,叙述命题时要结合命题的内容和特点,灵活运用自然语言、符号语言进行描述,这样才能准确判断命题的真假.
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幻灯片  10类型 一  全称命题的否定与真假判断 
【典型例题】
1.全称命题“所有的素数都是奇数”的否定是　　　　　,这是　　　　　命题(填真、假).
2.写出下列全称命题p的否定,并判断p的否定的真假:
(1)p:∀x>0,x+  ≥2.
(2)p:所有矩形的对角线相等.
(3)p:不论m取什么实数,x2+x-m=0必有实数根.
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幻灯片  11【解题探究】1.全称命题的否定是什么命题?
2.全称命题的否定中,如何调整量词与p(x)?
探究提示:
1.全称命题的否定是特称命题.
2.全称量词调整为存在量词,并对p(x)进行否定.
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幻灯片  12【解析】1.全称命题“所有的素数都是奇数”的否定是特称命题“存在一个素数不是奇数”,这是真命题.
答案:存在一个素数不是奇数　真
2.(1)¬p:∃x0>0,x0+   <2.假命题.
(2)¬p:有的矩形的对角线不相等.假命题.
(3)¬p:存在实数m0,使x2+x-m0=0没有实数根.真命题.
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幻灯片  13【互动探究】若题2(3)变为“p:不论m取什么实数,x2+2mx+m2+1=0
都无实数根”试写出¬p,并判断其是真命题还是假命题.
【解析】¬p:存在实数m0,使x2+2m0x+m02+1=0有实数根.由于Δ=
(2m0)2-4(m02+1)=-4<0,故方程无实数根.¬p为假命题.
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幻灯片  14【拓展提升】全称命题的否定形式与判断真假的方法
(1)求全称命题的否定命题,先将全称量词调整为存在量词,再对性质p(x)否定为p(x).
(2)若全称命题为真命题,其否定命题就是假命题;若全称命题为假命题,其否定命题就是真命题.
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幻灯片  15【变式训练】1.全称命题“所有能被6整除的数都能被2整除”的否定是　　　　　　　　　　,这是　　　　命题(填真、假).
2.写出下列全称命题p的否定¬p,并判断p的真假:
(1)p:∀x>0,x2+x>0.
(2)p:所有矩形都有外接圆.
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幻灯片  16【解析】1.全称命题“所有能被6整除的数都能被2整除”的否定是“存在一个能被6整除的数不能被2整除”,这是假命题.
答案:存在一个能被6整除的数不能被2整除　假
2.(1)¬p:∃x0>0,x02+x0≤0.假命题.
(2)¬p:有的矩形没有外接圆.假命题.
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幻灯片  17类型 二  特称命题的否定与真假判断  
【典型例题】
1.(2012·安徽高考)命题“存在实数x,使x>1”的否定
是(　　)
A.对任意实数x,都有x>1
B.不存在实数x,使x≤1
C.对任意实数x,都有x≤1
D.存在实数x,使x≤1
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幻灯片  182.写出下列特称命题p的否定¬p,并判断¬p的真假:
(1)p:∃x0<0,x0+    +2<0.
(2)p:存在一个向量与任意向量平行.
(3)p:存在实数m0,x2+x+m0=0的两根都是正数.
【解题探究】1.特称命题的否定是什么命题?
2.特称命题的否定中,如何调整量词与p(x)?
探究提示:
1.特称命题的否定是全称命题.
2.存在量词调整为全称量词,并对p(x)进行否定.
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幻灯片  19【解析】1.选C.“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.
2.(1)¬p:∀x<0,x+   +2≥0.
由于x<0时,x+   =-(-x-   )≤-2,
当且仅当x=-1时取等号,
∴x+   +2≤0,∴¬p为假命题.
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幻灯片  20(2)¬p:任何一个向量都不与任意向量平行.假命题.
(3)¬p:对任意实数m,x2+x+m=0的两根不都是正数.
假设x2+x+m=0的两根x1,x2都是正数,则必须

           即           此不等式组无解,所以不存在

实数m0,使x2+x+m0=0的两根都是正数,命题p为假命题,
所以¬p为真命题.
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幻灯片  21【拓展提升】特称命题的否定形式与判断真假的方法
(1)求特称命题的否定命题,先将存在量词调整为全称量词,再对性质p(x)否定为¬p(x).
(2)由于命题与命题的否定一真一假,所以如果判断一个命题的真假困难时,那么可以转化为判断命题的否定的真假从而进行判断.
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幻灯片  22【变式训练】1.特称命题“有些奇数是合数”的否定是　　　　,这是　　　　命题(填真、假).
2.写出下列特称命题p的否定¬p,并判断¬p的真假:
(1)p:∃x0<0,x02<0.
(2)p:∃α0,β0∈R,cos(α0+β0)=cosα0+cosβ0.
(3)p:有些数列既是等差数列又是等比数列.
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幻灯片  23【解析】1.特称命题“有些奇数是合数”的否定是“任何一
个奇数都不是合数”,这是假命题.
答案:任何一个奇数都不是合数　假
2.(1)¬p:∀x<0,x2≥0.真命题.
(2)¬p:∀α,β∈R,cos(α+β)≠cosα+cosβ.
由于当α=   ,β=    时,cos(α+β)=cosα+cosβ=    ,
所以¬p为假命题.
(3)¬p:任何数列都不能既是等差数列又是等比数列.
由于非零常数列既是等差数列又是等比数列,所以¬p为假命题.
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幻灯片  24类型 三  含有一个量词的命题的否定的应用 
【典型例题】
1.若“∃x0∈[0,  ],sinx0cosx0>m”为假命题,则实数m的取
值范围是　　　　.
2.已知命题p(x):sinx+cosx>m,q(x):x2+mx+1>0.
如果对于∀x∈R,p(x)为假命题且q(x)为真命题,求实数m的
取值范围.
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幻灯片  25【解题探究】1.特称命题是假命题,其否定的真假如何?
2.题2中p(x)为假命题,一般应如何转化?
探究提示:
1.特称命题是假命题,其否定是真命题.
2.当含有一个量词的命题是假命题时,一般利用它与其否定命题的真假相反,即利用其否定为真命题转化解决.
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幻灯片  26【解析】1.令f(x)=sinxcosx=  sin2x,x∈[0,  ],
可知f(x)在[0,  ]上为增函数,在(   ,   ]上为减函数,
由于f(0)=0,f(  )=  ,f(  )=0,
所以0≤f(x)≤  ,
由于“∃x0∈[0,  ],sinx0cosx0>m”为假命题,其否定“∀x∈[0,  ],sinxcosx≤m”为真命题,所以m≥f(x)max=
即实数m的取值范围是[  ,+∞).
答案:[   ,+∞)
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幻灯片  272.由于命题p(x):对∀x∈R,sinx+cosx>m是假命题,则¬p(x):∃x0∈R,sinx0+cosx0≤m是真命题,
∵sinx+cosx=   sin(x+   )∈[-   ,   ],
∴m≥-   即可.
由于q(x):∀x∈R,x2+mx+1>0为真命题,
即对于∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立,
有Δ=m2-4<0,∴-2<m<2.
依题意,得-   ≤m<2.
所以实数m的取值范围是{m|-   ≤m<2}.
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幻灯片  28【互动探究】若题2中“如果对于∀x∈R,p(x)为假命题且q(x)为真命题”改为“如果对于∀x∈R,p(x)与q(x)有且仅有一个是真命题”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
【解析】∵sinx+cosx=   sin(x+   )≥-
∴当p(x)是真命题时,m<-    .
又∵对任意x∈R,当q(x)为真命题时,
即x2+mx+1>0恒成立,有Δ=m2-4<0,
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幻灯片  29∴-2<m<2.∴当p(x)为真,q(x)为假时,m<-
同时m≤-2或m≥2,即m≤-2.
当p(x)为假,q(x)为真时,m≥-   且-2<m<2,
即-   ≤m<2.
综上,实数m的取值范围是m≤-2或-   ≤m<2.
所以实数m的取值范围是{m|m≤-2或-   ≤m<2}.
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幻灯片  30【拓展提升】含有一个量词的命题与参数范围的求解策略
(1)对于全称命题“∀x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值),即a>f(x)max(或a<f(x)min).
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幻灯片  31(2)对于特称命题“∃x0∈M,a>f(x0)(或a<f(x0))”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值),即a>f(x)min(或a<f(x)max).
(3)若全称命题为假命题,通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决,同理,若特称命题为假命题,通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决.
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幻灯片  32【变式训练】已知命题p:∀x∈[1,3],x2-a≥0,命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”,若命题“¬p或¬q”是假命题,求实数a的取值范围.
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幻灯片  33【解析】由“¬p或¬q”是假命题,所以“p且q”是真命题,则p为真命题,q也为真命题.
若p为真命题,a≤x2恒成立,
∵x∈[1,3],∴x2∈[1,9],∴a≤1.
若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,
Δ=4a2-4(2-a)≥0,
即a≤-2或a≥1,
综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-2或a=1}.
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幻灯片  34【易错误区】因忽视函数与方程思想的应用导致无法转化
【典例】若“∃x0∈[0,  ],sinx0+   cosx0<m”为假命题,
则实数m的取值范围是　　　　.
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幻灯片  35【解析】令f(x)=sinx+   cosx=2sin(x+   ),x∈[0,  ],
可知f(x)在[0,  ]上为增函数,在(   ,  ]上为减函数,
由于f(0)=   ,f(  )=2,f(  )=1,所以1≤f(x)≤2,
由于“∃x0∈[0,  ],sinx0+   cosx0<m”为假命题,则其否定
“∀x∈［0,  ］,sin x+    cosx≥m”为真命题①,
所以m≤f(x)min=1.
答案:(-∞,1]
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幻灯片  36【误区警示】
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幻灯片  37【防范措施】
注意命题之间的等价转化的两种形式
一是原命题与逆否命题之间的等价关系,二者真假性相同;二是命题与命题的否定之间的等价转化,表现在:若已知命题p为假,常常转化为¬p为真进行解题.另外本例也可以间接求得参数m的取值范围:若原命题为真命题,只需m>f(x)min=1,所以原命题为假命题的参数m的取值范围是m≤1.
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幻灯片  38【类题试解】若“∀x∈[0,  ],sinx+   cosx<m”为假命题,
则实数m的取值范围是(　　)
A.m<1　　　B.m≤1　　　C.m≤2　　　D.1≤m≤2
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幻灯片  39【解析】选C.令f(x)=sinx+   cosx=2sin(x+   ),x∈[0,  ],
可知f(x)在[0,  ]上为增函数,在(  ,  ]上为减函数,
由于f(0)=   ,f(  )=2,f(  )=1,所以1≤f(x)≤2,
由于“∀x∈[0,  ],sinx+   cosx<m”为假命题,则其否定
“∃x0∈[0,  ],sinx0+   cosx0≥m”为真命题,
所以m≤f(x)max=2.
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幻灯片  401.命题“∀x∈R,ex>x”的否定是(　　)
A.∃x0∈R,   <x0　　　　　B.∀x∈R,ex<x
C.∀x∈R,ex≤x	      D.∃x0∈R,   ≤x0
【解析】选D.全称命题:“∀x∈M,p(x)”的否定为特称命题“∃x0∈M,¬p(x0)”.
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幻灯片  412.关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的叙述正确的是(　　)
A.¬p:∃x0∈R,x02+1≠0
B.¬p:∀x∈R,x2+1=0
C.p是真命题,¬p是假命题
D.p是假命题,¬p是真命题
【解析】选C.命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是
“∃x0∈R, x02+1=0”.所以p是真命题,¬p是假命题.
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幻灯片  423.“∃x0∈R,sinx0<0”的否定为(　　)
A.∃x0∈R,sinx0>0	   B.∃x0∈R,sinx0≥0
C.∀x∈R,sinx<0	   D.∀x∈R,sinx≥0
【解析】选D.特称命题“∃x0∈M,p(x0)”的否定为全称命题“∀x∈M,¬p(x)”.
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幻灯片  434.命题“有的直线没有斜率”的否定是　　　　.
【解析】命题“有的直线没有斜率”的否定是“任何一条直线都有斜率”.
答案:任何一条直线都有斜率
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幻灯片  445.若命题“∃x0<2 013,x0>a”是假命题,则实数a的取值范围是　　　　.
【解析】由于命题“∃x0<2 013,x0>a”是假命题,则其否定命题“∀x<2 013,x≤a”是真命题,所以a≥2 013.
答案:[2 013,+∞)
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幻灯片  456.写出下列命题p的否定¬p,并判断命题¬p的真假:
(1)p:∀x∈R,x2+x+1>0.
(2)p:∃x0,y0∈R,         +(y0+1)2=0.
【解析】(1)¬p:∃x0∈R,x02+x0+1≤0.
由于x2+x+1=(x+  )2+   ≥   ,所以¬p为假命题.
(2)¬p:∀x,y∈R,        +(y+1)2≠0.
当x=-y=1时,        +(y+1)2=0,所以¬p为假命题.
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