幻灯片 12.1.2 求曲线的方程
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幻灯片 2----
幻灯片 3一、坐标法和解析几何
1.坐标法:坐标法是指借助于_______,通过研究方程的性质
间接地来研究曲线性质的方法.
2.解析几何:解析几何是指数学中用_______研究几何图形
的知识形成的学科.
坐标系
坐标法
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幻灯片 43.解析几何研究的主要问题:
(1)曲线研究方程:根据已知条件,求出_______________.
(2)方程研究曲线:通过曲线的方程,研究___________.
思考:用坐标法研究解析几何问题的前提条件是什么?
提示:用坐标法研究解析几何问题时首先要建立适应的平面直角坐标系,这样,点有了坐标,曲线也就有了方程的形式.
表示曲线的方程
曲线的性质
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幻灯片 5二、求曲线方程的一般步骤
有序实数对(x,y)
{M|p(M)}
坐标
最简
曲线上
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幻灯片 6判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在求曲线方程时,如果点有了坐标或曲线有了方程,则说明已经建立了平面直角坐标系.( )
(2)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形.( )
(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.( )
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幻灯片 7提示:(1)正确.点有了坐标或曲线有了方程是已经建系的标志.
(2)错误.|x|=|y|化简的形式为y=±x.
(3)错误.一般情况下,化简前后方程的解集是相同的,但是在求解、化简过程中极易产生增解或漏解,检验这一步骤是应该有的,故此说法不正确.
答案:(1)√ (2)× (3)×
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幻灯片 8【知识点拨】
1.平面直角坐标系的选取原则
(1)以已知定点为原点.
(2)以已知定直线为坐标轴(x轴或y轴).
(3)以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴),以已知线段的中点为原点.
(4)以已知互相垂直的两定直线为坐标轴.
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幻灯片 9(5)如果曲线(或轨迹)有对称中心,通常以对称中心为原点.
(6)如果曲线(或轨迹)有对称轴,通常以对称轴为坐标轴(x轴或y轴).
(7)尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上,或者让尽量多的点在坐标轴上.
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幻灯片 102.对求曲线方程的五个步骤的四点说明
(1)在第一步中,如果原题中没有确定坐标系,首先要建立适当的坐标系,坐标系建立得当,可使运算过程简单,所得的方程也较简单.
(2)第二步是求方程的重要一环.要仔细分析曲线的特征,注意揭示隐含条件,抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系,列出几何等式.此步骤也可以省略,而直接将几何条件用动点的坐标表示.
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幻灯片 11(3)在化简的过程中,注意运算的合理性与准确性,尽量避免“失解”或“增解”.
(4)第五步的说明可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明.如某些点虽然其坐标满足方程,但不在曲线上,可以通过限定方程中x(或y)的取值予以剔除.
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幻灯片 123.对求曲线方程的三点说明
(1)求曲线方程时,由于建系的方法不同,求得的方程也不同.
(2)一般地,求哪个点的运动轨迹方程,就设哪个点的坐标是(x,y),而不设成(x0,y0)或(x1,y1).
(3)化简方程时,一般将方程f(x,y)=0化成关于x,y的整式形式,并且要保证化简过程的恒等性.
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幻灯片 13类型 一 直接法求曲线方程
【典型例题】
1.已知动点M到A(2,0)的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍,
则点M的轨迹方程为 .
2.(2013·珠海高二检测)已知点A(-2,0),B(2,0),直线AP与
直线BP相交于点P,它们的斜率之积为- ,求点P的轨迹方程.
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幻灯片 14【解题探究】1.从题1中的条件来看是否需要建立平面直角坐标系?
2.在什么情况下可用直接法求曲线的方程?
探究提示:
1.因题1中已知A(2,0),故不需要建立平面直角坐标系.
2.一般地,当动点满足的条件非常明显,可以很容易地建立条件等式,这时一般可采用直接法求曲线的方程.
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幻灯片 15【解析】1.设M(x,y).由题意,得 =2|x+1|,
化简得-3x2-12x+y2=0,即y2=3x2+12x.
答案:y2=3x2+12x
2.设点P(x,y),
直线AP的斜率kAP= (x≠-2),
直线BP的斜率kBP= (x≠2),
根据已知,有: (x≠±2),
化简得: +y2=1(x≠±2).
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幻灯片 16【拓展提升】
1.直接法求点的轨迹方程的两个关键
关键一:建立恰当的平面直角坐标系.
关键二:找到所求动点满足的关系式.
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幻灯片 172.“轨迹方程”与“轨迹”的辨析
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幻灯片 18【变式训练】已知点M到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍,求点M的轨迹方程.
【解析】设动点M的坐标为(x,y),则点M到x轴、y轴的距离分别为|y|,|x|.由题意知
|y|=2|x|,整理得y=±2x.
∴点M的轨迹方程为y=±2x.
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幻灯片 19类型 二 代入法求曲线的方程
【典型例题】
1.设圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,则所作弦的中点的轨迹方程是 .
2.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.
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幻灯片 20【解题探究】1.若已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则线段P1P2中点P的坐标是什么?
2.题2哪些点的坐标已知,哪些点满足已知曲线的方徎,借助什么方法可用这些点表示点P的坐标?
探究提示:
1.据中点坐标公式知中点P的坐标为( ).
2.从题目的已知条件可知,点M与点O的坐标已知,点N满足已知曲线的方程,可借助中点坐标公式,OP的中点坐标与MN的中点坐标相同表示出点P的坐标.
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幻灯片 21【解析】1.设OQ为过O的一条弦,P(x,y)为其中点,
Q(x1,y1),
则 ⇒
又∵(x1-1)2+y12=1,∴(2x-1)2+4y2=1(00),求直角顶点C的轨迹方程.
【解题探究】1.过圆外一点向圆引两切线,切线长的关系是什么?
2.到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么?
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幻灯片 29探究提示:
1.从圆外一点引圆的两条切线,则切线长相等.
2.到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,以定长为半径的圆.
【解析】1.如图.|PA|=|PB|,连接PO.
则∠OPB=30°.∵|OB|=1.
∴|PO|=2.
∴P点的轨迹是以O为圆心以2为半径的圆,即x2+y2=4.
答案:x2+y2=4
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幻灯片 302.如图,以AB所在直线为x轴,以线段AB的垂直
平分线为y轴建立直角坐标系,则A(-a,0),
B(a,0).
设C(x,y)是平面内的任意一点,连接CO,则由
直角三角形的性质知:|OC|= |AB|= ×2a=a.
因而点C的轨迹是以坐标原点为圆心,以a为半径的圆(除去与x轴的交点),其轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).
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幻灯片 31【拓展提升】
1.适用定义法求轨迹的特点
如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可依据定义写出轨迹方程.
2.定义法求轨迹方程的策略
(1)要熟悉各种常见的曲线的定义.
(2)要善于利用数形结合的方法,利用图形具有的相关几何性质寻找等量关系.
(3)根据等量关系和曲线的定义确定动点的轨迹方程.
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幻灯片 32【变式训练】长为2的线段AB的两端点分别在两条互相垂直的直线上滑动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
【解题指南】根据直角三角形的性质可知,斜边上的中线等于斜边的一半,则点M到一定点的距离等于定长,由此可知点M的轨迹是圆,建立适当的坐标系即可求得其方程.
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幻灯片 33【解析】如图,以这两条直线为坐标轴,建立直角坐标系,
设M(x,y).
由题意知,|OM|= |AB|=1,
∴点M的轨迹是以O为圆心,1为半径的圆,
∴点M的轨迹方程是x2+y2=1.
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幻灯片 34 参数法求曲线方程
【典型例题】
1.动点P(x,y)满足 (t为参数),则点P的轨迹方程为 .
2.在平面直角坐标系中,O为原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足
其中t∈R,则点C的轨迹方程
是 .
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幻灯片 35【解析】1.∵ ∴
由①-②得x2-y2=4.
∴点P的轨迹方程为x2-y2=4.
答案:x2-y2=4
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幻灯片 362.设C(x,y),∵
∴(x,y)=(1,0)+t(1,2),
∴ 消去t得2x-y-2=0,
故点C的轨迹方程为2x-y-2=0.
答案:2x-y-2=0
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幻灯片 37【拓展提升】参数法的定义及消参法
(1)参数法的定义
求曲线方程时,若x,y的关系不明显或难以寻找,可借助中间量(即参数)使x和y建立起联系,然后再从式子中消去参数得到曲线方程,这种方法叫做参数法求曲线的方程.
(2)消去参数的常见方法
用参数表示动点坐标后,消参时可灵活应用式子的加、减、乘、除、平方等运算,最后注意参数的值对动点坐标范围的限制.
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幻灯片 38【规范解答】直接法在求点的轨迹中的应用
【典例】
【条件分析】
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幻灯片 39【规范解答】如图,过M作圆的切线MN,N为切点,设M(x,y).
由题意知|MN|=|MQ|+|ON|.…………………………………3分
由于|MN|= ①，
|MQ|= |ON|=1，,
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幻灯片 40∴ (1)………………………6分
两边平方整理得2x-3= ② (2)
再两边平方整理得3x2-y2-8x+5=0.② (3)
即:9(x- )2-3y2=1. ………………………………………10分
∵2x-3= 中2x-3≥0② ,∴x≥
∴点M的轨迹方程为9(x- )2-3y2=1(x≥ )③ …………12分
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幻灯片 41【失分警示】
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幻灯片 42【防范措施】
1.数形结合的意识
在解决平面几何问题时,要注意数形结合思想的使用,如本例中切线长的表示.
2.隐含条件的挖掘
在对方程的化简整理过程中要注意隐含条件的挖掘,确保变形
的每步都为恒等变形,如本例中的限制条件x≥ .
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幻灯片 43【类题试解】已知△ABC的周长为18,|AB|=8,求顶点C的轨迹
方程.
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幻灯片 44【解析】以线段AB的中点O为原点,线段AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,如图所示.
∵|AB|=8,∴A(-4,0),B(4,0).
设C(x,y),则|AC|+|BC|=10,
∴
整理,得9x2+25y2=225.
∵点C不在x轴上,∴y≠0,∴顶点C的轨迹方程为9x2+25y2=225(y≠0).
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幻灯片 451.已知点A(-1,0),B(1,0),动点P(x,y)满足
则点P的轨迹方程是( )
A.x+y2=1 B.x-y2=1
C.x2+y2=1 D.x2-y2=1
【解析】选C.由题意得 =(-1-x,-y), =(1-x,-y),
由 得(-1-x)(1-x)+(-y)2=0.即x2+y2=1.
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幻灯片 462.到A(2,-3)和B(4,-1)的距离相等的点M的轨迹方程是( )
A.x-y-1=0 B.x-y+1=0
C.x+y-1=0 D.x+y+1=0
【解析】选C.设动点M(x,y).由|MA|=|MB|得
整理得x+y-1=0.
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幻灯片 473.直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程
是( )
A.|x|-|y|=1 B.|x-y|=1
C.||x|-|y||=1 D.|x±y|=1
【解析】选C.设动点(x,y),由题意知|x|-|y|=1或|y|-|x|=1,即||x|-|y||=1.
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幻灯片 484.点P是曲线2x2+y2=2上的动点,O为坐标原点,M是OP的中点,则点M的轨迹方程是 .
【解析】设M(x,y),P(x0,y0),则x0=2x,y0=2y.
∵点P在2x2+y2=2上,∴2x02+y02=2,代入整理得4x2+2y2=1.
答案:4x2+2y2=1
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幻灯片 495.已知两点A(-2,0),B(6,0),△ABC的面积为16,则C点的轨迹方程为 .
【解析】A,B两点都在x轴上,∵△ABC的面积为16,
∴ ×|AB|×h=16,解得h=4.
∴点C在平行于x轴且与x轴距离为4的直线上,即轨迹方程为y=±4.
答案:y=±4
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幻灯片 506.已知△ABC的两个顶点坐标分别为A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动.求△ABC的重心的轨迹方程.
【解析】设重心坐标为(x,y),顶点C(x0,y0),
依题意有 解得 ①
因为点C在y=3x2-1上移动,所以y0=3x02-1.②
将①代入②,得y=9x2+12x+3,即为重心的轨迹方程.
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