幻灯片 1第2课时 椭圆方程及性质的应用
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幻灯片 2----
幻灯片 3类型 一 直线与椭圆的位置关系
【典型例题】
1.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点,
则m的取值范围为 .
2.k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一
个公共点?没有公共点?
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幻灯片 4【解题探究】1.直线过定点的问题一般如何处理?当点在什么位置时,经过该点的直线总与椭圆有公共点?
2.判断直线与椭圆有几个公共点时,常用什么方法?
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幻灯片 5探究提示:
1.(1)把含参数的直线整理为两部分,一是含参数的部分,一是不含参数的部分,让两部分同时为零,即可求得直线的定点.
(2)当点在椭圆内部和在椭圆上时,经过该点的直线与椭圆总有公共点.
2.判断直线与椭圆的交点个数,往往利用判别式的符号进行判断.
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幻灯片 6【解析】1.方法一:由 消去y,整理得
(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0,
∴Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1).
∵直线与椭圆总有公共点,
∴Δ≥0对任意k∈R都成立.
∵m>0,∴5k2≥1-m恒成立,∴1-m≤0,即m≥1.
又∵椭圆的焦点在x轴上,∴00,即k> 或k<- 时,
直线和曲线有两个公共点;
当Δ=72k2-48=0,即k= 或k=- 时,
直线和曲线有一个公共点;
当Δ=72k2-48<0,即- b>0)的离心率
为 ,椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q,且|PQ|= ,
求椭圆的方程.
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幻灯片 13【解题探究】1.题1中的直线l已经具备了哪些条件?
2.直线与椭圆相交的弦长问题,一般应如何处理?
探究提示:
1.直线l已经具备了两个条件,一是此直线的斜率为1,二是此
直线上的一个点即焦点( ,0).
2.对于直线与椭圆相交的弦长问题,一般应把直线与椭圆的
方程联立方程组,应用根与系数的关系表示出x1+x2(或y1+y2)
与x1x2(或y1y2),然后再根据条件求解其他问题.
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幻灯片 14【解析】1.设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
由椭圆方程得a2=4,b2=1,c2=3,所以F( ,0),直线l的方程为
y=x- .将其代入x2+4y2=4,化简整理,得5x2-8 x+8=0,
所以x1+x2= ,x1x2= .
所以|AB|= |x1-x2|
=
=
答案:
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幻灯片 152.设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由e=
得c= a.由c2=a2-b2,得a2=4b2.
由 消去x,得2y2+8y+16-b2=0.
由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=
|PQ|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2=5(y1-y2)2
=5[(y1+y2)2-4y1y2]=10,
即5[16-2(16-b2)]=10,解得b2=9,则a2=36.
所以椭圆的方程为
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幻灯片 16【互动探究】题1中若直线过x轴上点(m,0),那么当m为何值时,弦长|AB|最长?
【解题指南】列出直线方程,与椭圆方程构建方程组.利用弦长公式建立弦长的函数,再由二次函数求最值.
【解析】由条件可知,直线l的方程可设为y=x-m.
再由 得5x2-8mx+4m2-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
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幻灯片 17则x1+x2= ,x1x2=
由Δ>0即64m2-20(4m2-4)>0得- b>0).
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幻灯片 19提醒:有时为了方便,也可联立方程组消去x,利用公式
|AB|= |y2-y1|
= 求解.
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幻灯片 202.“设而不求”的思想在求弦长时的应用
设出两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),目的不是求出点的坐标,
而是通过方程联立得到一元二次方程,借用根与系数的关系,
得到x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2.再转化求出,如
|AB|= |x2-x1|=
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幻灯片 21【变式训练】已知椭圆C中心在原点O,焦点在x轴上,其长轴长
为焦距的2倍,且过点M(1, ),F为其左焦点.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)过左焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,当|AB|= 时,
求直线l的方程.
【解题指南】(1)采用待定系数法求解.
(2)分l斜率存在和不存在讨论,当斜率存在时,利用弦长公式建立方程,解方程求出斜率,进而求出直线l的方程.
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幻灯片 22【解析】(1)由条件知:a=2c,∴b2=a2-c2=3c2,
设椭圆的标准方程为
又过点M(1, ),∴
∴c2=1,∴a2=4,b2=3,
∴椭圆的标准方程为
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幻灯片 23(2)当直线l斜率不存在时,|AB|=3,不合题意.
当直线l斜率存在时,设直线l:y=k(x+1),
由
得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴x1+x2= x1x2=
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幻灯片 24∴|AB|= |x1-x2|
=
=
=
∴k2= ,即k=± ,
∴直线l的方程为x- y+1=0或x+ y+1=0.
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幻灯片 25 中点弦问题
【典型例题】
1.(2013·安阳高二检测)如果椭圆 的弦被点
(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( )
A.x-2y=0 B.x+2y-4=0
C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0
2.焦点分别为(0,5 )和(0,-5 )的椭圆截直线y=3x-2所得
椭圆的弦的中点的横坐标为 ,求此椭圆的方程.
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幻灯片 26【解题探究】1.把中点弦的两端点(x1,y1)和(x2,y2)代入椭圆方程作差,能得到什么结论?
2.在解决直线与椭圆的关系问题时,Δ的值必须验证吗?
探究提示:
1.∵x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,其中(x0,y0)为中点坐标,所以把
与 作差后能直接求得直线的斜率k.
2.一般情况下,Δ的符号都要验证,其目的是防止增根.
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幻灯片 27【解析】1.选D.设弦的两端点分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=8,y1+y2=4.又由
得
∴k=
所以弦所在的直线方程为y-2=- (x-4),
即x+2y-8=0.
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幻灯片 282.设椭圆方程为 (a>b>0),
且a2-b2=(5 )2=50, ①
由
得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0,
∵ ∴ ∴a2=3b2, ②
由①②得:a2=75,b2=25,此时Δ>0,
∴椭圆方程为
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幻灯片 29【拓展提升】解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
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幻灯片 30(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分
别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,
具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 (a>b>0)
上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点,
则 由①-②,得
变形得 即
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幻灯片 31【变式训练】(2013·大理高二检测)已知椭圆的中心在原点,
焦点为F1(0,-2 ),F2(0,2 ),且离心率
(1)求椭圆的方程.
(2)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A,B,
且线段AB中点的横坐标为- ,求直线l的斜率的取值范围.
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幻灯片 32【解析】(1)设椭圆方程为 (a>b>0),
由已知c=2 ,又 解得a=3,
所以b=1,故所求方程为
(2)设直线l的方程为y=kx+b(k≠0)代入椭圆方程整理得
(k2+9)x2+2kbx+b2-9=0.
由题意得
解得k> 或k<- ,又直线l与坐标轴不平行,
故直线l的斜率的取值范围是k> 或k<- .
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幻灯片 33 椭圆中的最值问题
【典型例题】
1.已知椭圆C: 点A(3,0),点P在椭圆C上.求|PA|
的最小值.
2.如图,点A,B分别是椭圆 长轴的左、右端点,
点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.
(1)求点P的坐标.
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的
距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d
的最小值.
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幻灯片 34【解析】1.设P(x0,y0),则
∴|PA|2=(x0-3)2+y02=(x0-3)2+9(1- )
=x02-6x0+9+9- = -6x0+18
=
∵-5≤x0≤5且-5≤ ≤5,
∴x0= 时,(|PA|2)min=
即|PA|的最小值是
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幻灯片 352.(1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0),
设点P的坐标是(x,y),则 =(x+6,y), =(x-4,y).
由已知得
消去y得2x2+9x-18=0,解得x= 或x=-6.
由于y>0,只能x= ,于是y=
故点P的坐标是( ).
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幻灯片 36(2)直线AP的方程是x- y+6=0.
设点M的坐标是(m,0),则M到直线AP的距离是
于是 =|m-6|,又-6≤m≤6,解得m=2.设椭圆上的点
(x,y)到点M的距离为d,有d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20- x2
= (x- )2+15,由于-6≤x≤6,
故当x= 时,d取最小值
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幻灯片 37【拓展提升】
1.椭圆上的点到直线的最大距离、最小距离问题的最佳解法
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幻灯片 382.解决与椭圆有关的最值问题的三种方法
(1)定义法:利用定义转化为几何问题处理.
(2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解.
(3)函数法:探求函数模型,转化为函数的最值问题来处理.
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幻灯片 39【规范解答】平面向量在椭圆求解中的应用
【典例】
【条件分析】
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幻灯片 40【规范解答】(1)由已知可设椭圆C2的方程为
①,其离心率为 ,故 ,则a=4,
故椭圆C2的方程为 ……………………………4分
(2)方法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由
及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此
可设直线AB的方程为y=kx② ,………………………………6分
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幻灯片 41将y=kx代入椭圆方程 +y2=1得(1+4k2)x2=4,所以
…………………………………………………8分
将y=kx代入 中,得(4+k2)x2=16,所以
…………………………………………………9分
又由 得xB2=4xA2③ ,即 解得
k=±1,………………………………………………………11分
故直线AB的方程为y=x或y=-x.……………………………12分
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幻灯片 42方法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由
及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB
的方程为y=kx②,……………………………………………6分
将y=kx代入椭圆方程 得(1+4k2)x2=4,所以
xA2= ,故 ………………………………7分
由 得 ③,……………9分
将xB2,yB2代入椭圆C2的方程 中,整理得
即4+k2=1+4k2,解得k=±1,…………………………………11分
故直线AB的方程为y=x或y=-x.……………………………12分
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幻灯片 43【失分警示】
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幻灯片 44【防范措施】
1.合理设出方程
在解题时,根据题目条件合理设出方程是解题的关键,往往对
解题起到很大的简化作用,如本例中,由题意可设出C2的方程
为 (a>2).
2.向量式的应用关键
在解析几何中,向量相等,往往是通过对应坐标相等来实现的,
这是使用向量式的关键,要在平时解题中落实.
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幻灯片 45【类题试解】(2013·天津高考)设椭圆 (a>b>0)的左
焦点为F,离心率为 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的
线段长为
(1)求椭圆的方程.
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与
椭圆交于C,D两点.若 =8,求k的值.
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幻灯片 46【解题指南】(1)由离心率及过点F且与x轴垂直的直线被椭圆
截得的线段长求出a，b，c的值，写出椭圆方程.
(2)写出过点F且斜率为k的直线方程，与椭圆方程联立，利用
根与系数的关系表示 求解.
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幻灯片 47【解析】(1)设F(－c,0),由 过点F且与x轴
垂直的直线为x=－c,代入椭圆方程有 解得
解得 又a2-c2=b2，从而
a= c=1，
所以椭圆的方程为
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幻灯片 48(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为
y=k(x+1),
由方程组 消去y，整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2
－6=0.
所以x1+x2=
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幻灯片 49因为A( ,0),B( ,0),所以
=(x1+ ,y1)·( －x2,－y2)+(x2+ ,y2)·( －x1,－y1)
=6－2x1x2－2y1y2=6－2x1x2－2k2(x1+1)(x2+1)=6－(2+2k2)x1x2
－2k2(x1+x2)－2k2=
由已知得
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幻灯片 501.直线y=x+1被椭圆 所截得的弦的中点坐标是
( )
A.( , ) B.( , )
C.(- , ) D.(- ,- )
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幻灯片 51【解析】选C.由 得3x2+4x-2=0,
∴x1+x2=- ,
∴弦中点的横坐标
纵坐标
故选C.
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幻灯片 522.过椭圆 的一个焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦,
则此弦长为( )
A. B.3 C.2 D.
【解析】选B.c2=a2-b2=4-3=1,
∴椭圆的焦点坐标为(±1,0).
把x=1或x=-1代入 得
∴y=± .所以此弦长为 -(- )=3.
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幻灯片 533.过椭圆 的左焦点且斜率为1的弦AB的长是 .
【解析】椭圆的左焦点为(-4,0),由 得34x2+200x+175=0,∴x1+x2=- ,x1x2= .
∴|AB|=
=
答案:
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幻灯片 544.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+ y+4=0
有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为 .
【解析】设椭圆方程为 (a>b>0).
由
得(a2+3b2)y2+8 b2y+16b2-a2b2=0,
由Δ=0及c=2,可得a2=7,∴2a=2
答案:2
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幻灯片 555.已知椭圆 过点P(2,1)作一弦,使弦在这点被平分,
求此弦所在直线的方程.
【解析】方法一:由题意可知所作的弦所在直线的斜率存在,设所求直线的方程为y-1=k(x-2).
代入椭圆方程并整理,
得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,
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幻灯片 56又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上面方程的两个根,则x1+x2=
由P为弦AB的中点,知2=
解得k=- ,故所求直线的方程为x+2y-4=0.
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幻灯片 57方法二:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
由P为弦AB的中点,知x1+x2=4,y1+y2=2,
由A,B在椭圆上,知x12+4y12=16,x22+4y22=16,两式相减,
得(x12-x22)+4(y12-y22)=0,
即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
则 即kAB=- .
故所求直线方程为y-1=- (x-2),
即x+2y-4=0.
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