幻灯片 12.4 抛 物 线
2.4.1 抛物线及其标准方程
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幻灯片 2----
幻灯片 3一、抛物线的定义
定点F
定直线l
相等
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幻灯片 4思考:定义中为什么加上条件“l不经过F”?
提示:若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线,而不是抛物线.
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幻灯片 5二、抛物线的标准方程
(- ,0)
x=
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幻灯片 6(0, )
y=
(0, )
y=
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幻灯片 7判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛物线的方程都是二次函数.( )
(2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( )
(3)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
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幻灯片 8提示:(1)错误.抛物线的方程不都是二次函数,如开口向右的抛物线的方程为y2=2px(p>0),对任一个x的值,y的值不唯一,所以不是二次函数.
(2)正确.在抛物线标准方程中,p>0,焦点到准线的距离为p.
(3)正确.一次项是x项时,p>0开口向右,p<0开口向左;一次项是y项时,p>0开口向上,p<0开口向下.
答案:(1)× (2)√ (3)√
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幻灯片 9【知识点拨】
1.对抛物线定义的理解
(1)定义条件:直线l不经过定点F.
(2)一动三定:
①“一动”,即动点P;
②“三定”,即定点F,定直线l和定值,也就是P到定点F与到定直线的距离的比值是定值1.
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幻灯片 102.抛物线标准方程的特点
(1)方程特点:抛物线的标准方程是关于x,y的二元二次方程,等号的左边是其中一个变量的平方,另一边是另一个变量的一次项.
(2)参数p:在抛物线的方程中只有一个参数p,它的几何意义是焦点到准线的距离,因此p>0,p越大,抛物线开口越开阔,反之越扁狭.
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幻灯片 11(3)四种标准方程的位置的相同点:
①原点在抛物线上;
②焦点在坐标轴上;
③准线与焦点在原点两侧,且准线与其中一条坐标轴垂直.
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幻灯片 123.抛物线的焦点及开口方向
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幻灯片 134.抛物线与二次函数的关系
二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),当b,c为0时,y=ax2
表示焦点在y轴上的抛物线,标准方程为x2= y,a>0时抛物线
开口向上,a<0时,抛物线开口向下,当抛物线的开口方向向
左或向右时,方程为y2=2px,这是一条曲线,不能称为函数.
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幻灯片 14类型 一 根据方程求焦点和准线方程
【典型例题】
1.(2013·南昌高二检测)抛物线x=-2y2的准线方程是( )
A.y= B.y=
C.x= D.x=
2.指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
(1)y= x2.
(2)x=ay2(a≠0).
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幻灯片 15【解题探究】1.求抛物线的焦点坐标和准线方程时,首先要做什么?
2.当抛物线方程中含参数时,如何求焦点和准线?
探究提示:
1.求抛物线的焦点坐标和准线方程时,首先应把所给方程化成标准形式,然后找出开口方向再求性质.
2.如果抛物线方程中含参数,要先把其化成标准方程,对参数应分类讨论.
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幻灯片 16【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=- x,
∴抛物线开口向左且p= ,∴准线方程为x= .
2.(1)抛物线y= x2的标准形式为x2=4y,
∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.
(2)抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为y2= x,
∴2p= .
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幻灯片 17①当a>0时, 抛物线开口向右,
∴焦点坐标是( ,0),准线方程是x=- ;
②当a<0时, 抛物线开口向左,
∴焦点坐标是( ,0),准线方程是x=- .
综上所述,当a≠0时,抛物线x=ay2的焦点坐标为( ,0),
准线方程为x=- .
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幻灯片 18【互动探究】题2(2)中,把方程改为x2=ay(a≠0),结果如何?
【解析】方程x2=ay是抛物线的标准形式,由方程知,其焦点
在y轴上,其焦点坐标为(0, ),准线方程为y=- .
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幻灯片 19【拓展提升】
1.求焦点坐标和准线方程的步骤
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幻灯片 202.判断焦点位置及开口方向的记忆口诀
焦点要看一次项,符号确定开口方向,
如果y是一次项,负时向下,正向上,
如果x是一次项,负时向左,正向右.
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幻灯片 21【变式训练】(2013·亳州高二检测)若抛物线y2=2px的焦点
与椭圆 的右焦点重合,则p的值为 .
【解题指南】求出抛物线的焦点和椭圆的右焦点,建立方程求解.
【解析】抛物线的焦点是( ,0),椭圆 中,
c2=6-2=4,∴右焦点为(2,0),由 =2得p=4.
答案:4
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幻灯片 22类型 二 求抛物线的标准方程
【典型例题】
1.(2013·安阳高二检测)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( )
A.y2=-8x B.y2=8x
C.y2=-4x D.y2=4x
2.根据下列条件,求抛物线的标准方程:
(1)焦点到准线的距离是4.
(2)过点(1,2).
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幻灯片 23【解题探究】1.求抛物线的标准方程的关键是什么?
2.已知抛物线上一点时,如何确定开口方向?
探究提示:
1.求抛物线的标准方程的关键是首先明确抛物线焦点的位置.
2.若点在第一象限时,抛物线的开口向右或向上;
若点在第二象限时,抛物线的开口向上或向左;
若点在第三象限时,抛物线的开口向左或向下;
若点在第四象限时,抛物线的开口向下或向右.
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幻灯片 24【解析】1.选B.∵准线方程为x=-2,∴焦点坐标为(2,0),
故所求方程为y2=8x.
2.(1)p=4,抛物线的方程有四种形式:
y2=8x,y2=-8x,x2=8y,x2=-8y.
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幻灯片 25(2)方法一:点(1,2)在第一象限,要分两种情形:当抛物线的
焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则22=2p·1,
解得p=2,抛物线方程为y2=4x;当抛物线的焦点在y轴上时,
设抛物线的方程为x2=2py(p>0),则12=2p·2,解得p= ,
抛物线方程为x2= y.
方法二:设所求抛物线的标准方程为y2=mx或x2=ny,将点(1,2)
代入,得m=4,n= .故所求的方程为y2=4x或x2= y.
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幻灯片 26【拓展提升】
1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
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幻灯片 272.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题
(1)把握开口方向与方程间的对应关系.
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=ny,这样可以减少讨论情况的个数.
(3)注意p与 的几何意义.
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幻灯片 28【变式训练】(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C:y2=2px (p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
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幻灯片 29【解析】选C.由题意知： 准线方程为x= 则由抛物
线的定义知，xM=5- 设以ＭＦ为直径的圆的圆心为
所以圆方程为 又因为过点(0,2)，所以
yM=4，又因为点Ｍ在Ｃ上，所以16= 解得p=2或p=8，
所以抛物线Ｃ的方程为y2=4x或y2=16x.
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幻灯片 30类型 三 抛物线的实际应用
【典型例题】
1.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处,已知灯口的直径是24cm,灯深10cm,那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是 .
2.一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍,若拱宽为am,求能使卡车通过的a的最小整数值.
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幻灯片 31【解题探究】1.对于实际问题的抛物线模型,建系有什么原则?
2.解答实际问题应注意什么?
探究提示:
1.一般地,遇抛物线模型的实际问题时,要注意把抛物线建在标准位置,即顶点在坐标原点,焦点建在坐标轴上.
2.解答本类题时,一要合理画出图形;二要建立恰当的直角坐标系;三要关注点的坐标和图形中线段的对应关系.
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幻灯片 32【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示.
因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10,
所以点A的坐标是(10,12).
设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上,得122=2p×10,所以p=7.2.
所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3.6cm.
答案:3.6cm
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幻灯片 332.以拱顶为原点,拱高所在直线为y轴,
建立如图所示的直角坐标系.
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
则点B的坐标为( ),由点B在抛物线上,
∴( )2=-2p·(- ),p= ,
∴抛物线方程为x2=-ay.
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幻灯片 34将点E(0.8,y)代入抛物线方程,得y=-
∴点E到拱底AB的距离为
解得a>12.21,∵a取整数,
∴a的最小整数值为13.
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幻灯片 35【拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤
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幻灯片 36【变式训练】某隧道横断面由抛物线及矩
形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车空车
时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3m,
车与箱共高4.5m,问此车能否通过该隧道?
说明理由.
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幻灯片 37【解析】在以抛物线的顶点为坐标原点,以过顶点的水平直线为x轴建立的直角坐标系中,点A的坐标为(3,-3),
设抛物线方程为x2=-2py,
∴抛物线方程为x2=-3y.
如果此车能通过隧道,卡车和集装箱应处于以y轴为对称轴的对称位置,
∴把点(x,-0.5)代入x2=-3y得x2=-3×(-0.5),
∴x≈±1.22.
因此,高度为4.5m处,允许的宽度约为2×1.22=2.44<3,
∴此车不能通过该隧道.
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幻灯片 38 与抛物线有关的轨迹问题
【典型例题】
1.(2013·唐山高二检测)已知定点A(0,1),直线l1:y=-1,记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为 .
2.(2013·瑞金高二检测)点M到点F( ,0)的距离比到直线
x=- 的距离小1,求点M满足的方程.
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幻灯片 39【解析】1.根据条件可知,动圆的圆心C到点(0,1)的距离与
到直线y=-1的距离相等,所以满足抛物线的定义,这里 =1,
焦点为(0,1),所以动点C的轨迹方程为x2=4y.
答案:x2=4y
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幻灯片 402.∵点M到点F( ,0)的距离比到直线x=- 的距离小1,
∴点M到点F( ,0)的距离与到直线x=- 的距离相等,
∴点M轨迹为以F( ,0)为焦点,x=- 为准线的抛物线,
设抛物线方程为y2=2px(p>0),则由题意知:p=3,
∴所求抛物线的方程为:y2=6x.
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幻灯片 41【拓展提升】定义法求抛物线方程的关键
抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以转化为抛物线的定义求解.后者的关键是找到条件满足动点到定点的距离等于到定直线的距离,有时需要依据条件进行转化.
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幻灯片 42【易错误区】求抛物线焦点和弦长时的误区
【典例】(2013·南昌高二检测)从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为 .
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幻灯片 43【解析】∵抛物线方程为y2=4x,则准线方程为x=-1.①
令P点坐标为P(x0,y0),由图可知,
|PM|=x0+1=5.②∴x0=4.把x0=4代入y2=4x,解得y0=±4,
∴△MPF的面积为 |PM|×|y0|= ×5×4=10.
答案:10
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幻灯片 44【误区警示】
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幻灯片 45【防范措施】
1.准确记住抛物线的焦点和准线
在抛物线方程中,一次项系数与焦点的横或纵坐标间是“4倍关系”,要牢记公式,不能失误,如本例中准线方程为x=-1.
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幻灯片 462.加强图形之间的联系与直观性
在解析几何的解题中,要加强图形的直观,对结论性的知识应利用图形加强记忆,避免运算中使用错误结论,如本例中PM的长可表示为x0+1=5.
3.注意抛物线定义的应用
抛物线的定义比较灵活,要注意灵活应用,往往是“看到焦点,想到准线;看到准线,想到焦点”,这有利于问题的解决.
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幻灯片 47【类题试解】(2013·新课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛
物线C：y2= 的焦点，P为C上一点，若|PF|= 则
△POF的面积为( )
【解析】选C.设P(x1,y1)，则|PF|= 解
得 因为P为C上一点，则 得|y1|= 所以S△POF=
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幻灯片 481.抛物线x=4y2的准线方程是( )
A.y= B.y=-1 C.x=- D.x=
【解析】选C.抛物线的标准方程是y2= x,这里p= ,
所以准线方程为x=- .
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幻灯片 492.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】选C.抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2,所以焦点到准线的距离为4.
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幻灯片 503.点P为抛物线y2=2px上任一点,F为焦点,则以P为圆心,以|PF|为半径的圆与准线l( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.位置由F确定
【解析】选B.根据抛物线的定义,|PF|等于点P到准线l的距离,即圆心P到直线l的距离等于半径|PF|,所以半径为|PF|的圆P与准线l相切.
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幻灯片 514.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是2,则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.由y2=4x可知,点P在y轴的右侧,且准线方程为x=-1,∵P到y轴的距离为2,∴P到准线的距离为3,根据定义可知,P到焦点的距离是3.
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幻灯片 525.若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则实数a= .
【解析】把y2=4x的焦点坐标(1,0)代入ax-y+1=0得a+1=0,即a=-1.
答案:-1
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幻灯片 536.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点
M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.
【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p>0),
则焦点F(- ,0),由题意可得
解得 或 故所求的抛物线方程为
y2=-8x.∴m的值为±2 .
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