幻灯片 13.1.4 空间向量的正交分解
及其坐标表示
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幻灯片 2----
幻灯片 3一、空间向量基本定理
1.定理:
条件：三个向量a,b,c_______.
结论：对空间任一向量p，存在有序实数组________,使得
___________.
不共面
{x,y,z}
p=xa+yb+zc
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幻灯片 42.基底：空间中任何_______的三个向量a,b,c都可以构成空
间的一个基底，即________.
3.基向量：空间的一个基底{a,b,c}中的向量______都叫做基
向量.
不共面
{a,b,c}
a,b,c
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幻灯片 5判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底，则a,b,c
共面.( )
(2)若a,b为空间两个不共线的向量，c=λa+μb(λ,μ∈R且
λμ≠0)，则{a,b,c}构成空间的一个基底.( )
(3)若{a,b,c}为空间一个基底，则{-a,-b,-c}也可构成空间
一个基底.( )
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幻灯片 6提示：(1)正确.若三个非零向量a,b,c不能构成空间一个基
底，则a,b,c不满足构成空间基底的条件，故必然有a,b,c共
面.
(2)错误.由c=λa+μb知c与a,b共面，故不能构成空间的一个
基底.
(3)正确.由{a,b,c}为空间一个基底知a,b,c为不共面的三个
非零向量，所以-a,-b,-c也为空间中三个不共面的非零向
量，所以{-a,-b,-c}也能构成空间的一个基底.
答案：(1)√ (2)× (3)√
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幻灯片 7二、空间向量的正交分解及坐标表示
1.单位正交基底：由三个_________的有公共起点的
_________组成的基底称为单位正交基底.
两两垂直
单位向量
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幻灯片 82.空间向量的正交分解：在空间直角坐标系Oxyz中，沿x轴、
y轴、z轴的正方向各有一个单位向量i,j,k(组成空间一个单
位正交基底________)，那么对于空间任意一个向量 可
以沿三条坐标轴的方向进行分解(如图所示)，即存在一个有
序实数组{x,y,z}，使得p=_________，这样的分解称为空间
向量的正交分解.
{i,j,k}
xi+yj+zk
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幻灯片 93.空间向量的坐标表示：
空间任一向量p作正交分解可得p=x i+y j+z k，则______称
作向量p在单位正交基底i,j,k下的坐标，记作__________，
这也是p在空间直角坐标系Oxyz中的_____.
思考：向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一吗？
提示：唯一.在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解
不变，故其坐标也不变.
x,y,z
p=(x,y,z)
坐标
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幻灯片 10【知识点拨】
1.对空间向量基本定理的理解
(1)空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中也多了一项，其解决问题的思路和步骤基本相同.
(2)空间任意三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，同时一个基底是一个向量组，而不是单指一个向量.
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幻灯片 11(3)空间向量基本定理说明，用空间不共面的三个向量e1,e2,e3可以线性表示空间的任意一个向量，而且表示的结果是惟一的；空间向量基本定理是将空间几何研究进行数量化的基础，它使空间的结果变得简单明了，整个空间被三个不共面的基本向量所确定，空间的点或向量与三维实数组{x,y,z}之间具有一一对应的关系.
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幻灯片 122.空间一点的坐标的确定方法
对空间的一点P(x,y,z)，如图(1)所示，过点P作面xOy的垂线，垂足为P′，在面xOy中，过P′分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，C，则|x|=P′C,|y|=AP′,|z|=PP′,根据点A，C，D的位置即可确定x,y,z的符号.
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幻灯片 13例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，
则A(2，0，0)，B(2，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，1)，B1(2，3，1)，C1(0，3，1)，D1(0，0，1).
如图(2)所示.
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幻灯片 143.空间直角坐标系与单位正交基底的关系
在空间选一点O和一个单位正交基底{e1,e2,e3}，以点O为原
点，分别以e1,e2,e3的方向为正方向建立三条数轴:x轴，
y轴，z轴，它们都叫坐标轴，这样我们就建立了一个空间直
角坐标系Oxyz，其中O叫原点，向量e1,e2,e3都叫坐标向量，
经过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，它们分别是xOy平
面，xOz平面，yOz平面.
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幻灯片 15类型 一 判断三个向量能否成为基底
【典型例题】
1.已知{e1,e2,e3}是空间向量的一个基底，下列向量中，能够
与向量a=e1+e2,b=e1-e2构成基底的向量的序号是______.
①e1;②e2;③e1+2e2;④e1+2e3.
2.已知{e1,e2,e3}是空间向量的一个基底，向量a=3e1+2e2+e3,
若{a,b,c}能作为空间向量的一个基
底，则实数λ满足的条件是什么？请说明理由.
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幻灯片 16【解题探究】1.判定三个向量共面的依据是什么？
2.若三个向量可以作为空间的一个基底,则需具备什么条件？
探究提示：
1.依据是平面向量基本定理.
2.需具备三个向量非零，且其中任一向量均不可用其他两个向量线性表示.
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幻灯片 17【解析】1.能够构成基底，即a,b不共面，而
所以①②③均与a,b共面，不能
构成基底.
答案：④
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幻灯片 182.若向量a,b,c共面，由平面向量基本定理可知存在实数x,y
使得a=xb+yc,即 因为
向量e1,e2,e3不共面，所以 解得x=-1,
y=2,λ=0，即当λ=0时a=-b+2c,此时{a,b,c}不能作为空间向
量的一个基底，所以{a,b,c}能作为空间向量的一个基底的条
件是λ≠0.
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幻灯片 19【拓展提升】
1.空间基底的判断方法
(1)如果向量中存在零向量，则不能作为基底.
(2)如果存在两个或三个向量共线，也不能构成基底.
(3)利用平面向量基本定理，假设三个向量共面，则其中一个能用另两个来表示，然后解方程组，若有解，则构不成基底；若无解，则构成基底.
2.利用基底求参数范围的方法
根据构成基底的条件，结合平面向量基本定理求参数的范围.
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幻灯片 20【变式训练】已知O，A，B，C为空间四个点，又
为空间的一个基底，则( )
A.O,A,B，C四点共线
B.O，A，B，C四点共面
C.O，A，B，C四点中任意三点共线
D.O，A，B，C四点不共面
【解析】选D.由于 为空间的一个基底，
故 不共面，所以O，A，B，C四点不共面.
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幻灯片 21类型 二 空间向量的分解——用基底表示向量
【典型例题】
1.(2013·聊城高二检测)如图所示，点M为OA的中点，
以 为基底的向量
则(x,y,z)=______.
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幻灯片 222.如图所示，空间四边形OABC中，G,H分别是△ABC，△OBC的
重心，设 试用向量a,b,c表示向量
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幻灯片 23【解题探究】1.在空间中，用基底表示向量时一般会用到哪些法则?
2.什么是三角形的重心？三角形的重心有何性质？
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幻灯片 24探究提示：
1.在空间中用基底表示向量，一般是把空间问题转化为平面
问题来解决，在一个平面中，需要利用平行四边形法则或三
角形法则.
2.三角形中各边上中线的交点叫做三角形的重心.设△ABC的
重心为G，边BC上的中线为AD，则 其他边上的中线也
具有此性质.
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幻灯片 25【解析】1.如题干图所示，
所以
答案：
2.方法一：因为 又因为
所以
又因为
所以
即
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幻灯片 26方法二：由G，H分别为△ABC，△OBC的重心，知GH∥AO，
则
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幻灯片 27【互动探究】题2的条件不变，试用a,b,c表示向量
【解析】
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幻灯片 28【拓展提升】空间向量基本定理的应用
(1)空间中任一向量都可以用一组基底表示，且只要选定基底，表示形式是惟一的.
(2)在选择基底时，要根据具体的图形来选择，选择的标准是应用方便.
(3)在应用选定的基底来表示某一向量时，要灵活地应用平行四边形法则与三角形法则，同时要注意结合图形，恰当地利用已知图形的特点.
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幻灯片 29【变式训练】如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为
OB，AC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且
MG=2GN，试用向量 作为一组基底表示
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幻灯片 30【解析】
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幻灯片 31类型 三 空间向量(点)的坐标表示
【典型例题】
1.已知在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为
D1C1,B1C1的中点，若以 为基底，则向量 的
坐标为_______,向量 的坐标为_______，向量 的坐标
为_______.
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幻灯片 322.如图所示，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，
OA=1，OB=2，OC=3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以
方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系
Oxyz，求EF中点P的坐标.
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幻灯片 33【解题探究】1.什么是某向量在一个基底下的坐标？解决此类问题的关键是什么？
2.空间直角坐标系中，以原点为起点的向量的坐标和该向量终点的坐标有何关系？
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幻灯片 34探究提示：
1.根据空间向量基本定理，空间的任一向量都可用一个基底
表示，如空间一向量a用一组不共面的向量m,n,k表示为a=
x m+y n+z k，则(x,y,z)称之为a在基底{m,n,k}下的坐标.
因此求某向量在一个基底下的坐标，关键是用这个基底表示
出这个向量.
2.空间直角坐标系中，以原点为起点的向量的坐标就是该向
量终点的坐标.
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幻灯片 35【解析】1.
相对于基底 的坐标为
的坐标为
的坐标为(1,1,1).
答案：
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幻灯片 362.令Ox,Oy，Oz轴方向上的单位向量分别为i,j,k,
∴P点的坐标为
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幻灯片 37【拓展提升】
1.空间向量坐标表示的步骤
(1)观图形：分析几何图形的特征.
(2)建坐标系：选择三个两两垂直的向量为正交基底建系.
(3)向量的运算：综合利用向量的加减法及数乘运算.
(4)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来并确定
坐标.
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幻灯片 382.空间直角坐标系中一些特殊点的坐标
在空间直角坐标系中，x轴上点的坐标形式为(x,0,0),y轴上点的坐标形式为(0,y,0)，z轴上点的坐标形式为(0,0,z)；坐标平面xOy内点的坐标形式为(x,y,0)，坐标平面yOz内点的坐标形式为(0,y,z)，坐标平面xOz内点的坐标形式为(x,0,z).
若点P的坐标为(x,y,z)，则点P关于x轴对称的点的坐标为(x,-y,-z)，关于y轴对称的点的坐标为(-x,y,-z)，关于z轴对称的点的坐标为(-x,-y,z).
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幻灯片 39【变式训练】在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标是
(1，2，-1)，且向量 与向量 关于坐标平面xOy对称，
向量 与向量 关于x轴对称，求向量 的坐标.
【解题指南】利用对称性，先求出点的坐标，再求向量的坐
标.
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幻灯片 40【解析】过点A作AM⊥xOy平面于M，并延长到点C，使AM=CM，
则A点与C点关于平面xOy对称，且C(1，2，1)，此时
(1，2，1)，该向量与 关于xOy平面对称.作AN⊥x
轴于N，并延长到点B，使得AN=BN，则A点与B点关于x轴对
称，且B(1，-2，1)，此时 该向量与 关于x轴
对称，即
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幻灯片 41 向量在不同基底下的坐标
【典型例题】
1.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底，向量{a+b,a-b,c}是
空间的另一个基底，一个向量p在基底{a,b,c}下的坐标为
(1,2,3)，则p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为______.
2.向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(3，2，-1).试求p在基
底 下的坐标.
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幻灯片 42【解析】1.设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则
a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc，
故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标
为
答案：
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幻灯片 432.由题意知p=3a+2b-c，
设
由向量分解的惟一性，
有
∴p在基底 下的坐标为
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幻灯片 44【拓展提升】向量在不同基底下的坐标的求法
(1)根据已知(或所确定)的基底，结合图形运用三角形法则、平行四边形法则表示出所求向量；或根据向量的运算法则，用基底表示出所求向量.
(2)三个基向量的系数组成的有序实数组就是向量在基底下的坐标.
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幻灯片 45【易错误区】求向量的坐标时建系不当致误
【典例】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知△ABC
的边长为1，三棱柱的高为2，建立如图所示的
空间直角坐标系，则 的坐标为______,
的坐标为______, 的坐标为______.
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幻灯片 46【解析】如图所示,则
所以
答案：
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幻灯片 47【误区警示】
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幻灯片 48【防范措施】
确定点的坐标的策略
在确定点的坐标时，要先从特殊的点的坐标开始求起，巧妙地利用垂直、对称等几何性质求解，如本例求B1点坐标时，可利用BB1⊥平面ABC的条件.
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幻灯片 49【类题试解】在三棱锥A-BCD中，AB，AC，AD两两垂直，且
AB=AC=AD=2，设BD的中点为E，AC的中点为F，建立如图所示
的空间直角坐标系，则向量 的坐标为______.
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幻灯片 50【解析】根据题意，得B(2,0,0),D(0,0,2),A(0,0,0),
C(0,2,0),
答案：(-1,1,-1)
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幻灯片 511.下列各组向量能构成一个基底的是( )
A.长方体ABCD-A1B1C1D1中的向量
B.三棱锥A-BCD中的向量
C.三棱柱ABC-A1B1C1中(E是A1C1的中点)的向量
D.四棱锥S-ABCD中的向量
【解析】选B.根据题意可知，A，C，D中的向量都共面，只
有B中的三个向量不共面，可构成一个基底.
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幻灯片 522.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴,z轴正方向上
的单位向量，且向量 则p的坐标为_______.
【解析】根据题意,{i,j,k}是空间直角坐标系中的单位正交基
底，又
答案：
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幻灯片 533.已知四面体ABCD中， 棱AC，BD的
中点分别为E，F，则
【解析】如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，
则
答案：3a+3b-5c
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幻灯片 544.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设 与
B1D1的交点为E，则
【解析】如图所示，
答案：
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幻灯片 555.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4,点E是AB的中
点，点F是A1D1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，
求 的坐标.
【解析】A(0,0,0),B(2,0,0),A1(0,0,4),D1(0,2,4),
C1(2,2,4),∴E(1,0,0),F(0,1,4),
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