幻灯片 13.1.5 空间向量运算的坐标表示
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幻灯片 2----
幻灯片 3一、空间向量的加减和数乘运算的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)a+b=__________________.
(2)a-b=__________________.
(3)λa=________________(λ∈R).
思考：当a≠0时，λa是否可以为0？
提示：不可以，当λ=0时，λa=(0,0,0)=0，并不是0.
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
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幻灯片 4二、空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)数量积：a·b=_____________.
(2)模：
(3)夹角：cos〈a,b〉=___________
=___________________________________.
(4)垂直：若a⊥b,则有______________=0.
a1b1+a2b2+a3b3
a1b1+a2b2+a3b3
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幻灯片 5(5)平行：若b≠0，则a∥b ______ _______,_______,_______(λ∈R).
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a∥b
( )
(2)任给向量a，b，都有a·b≤｜a｜｜b｜.( )
(3)空间两向量夹角的范围与异面直线所成角的范围相
同.( )
a=λb
a1=λb1
a2=λb2
a3=λb3
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幻灯片 6提示：(1)错误.当 时，显然有a∥b，但当a∥b
时， 却不一定成立，如b=0，则不成立.
(2)正确.∵cos〈a，b〉= ≤1,且｜a｜｜b｜>0,
故a·b≤|a||b|.
(3)错误.空间两向量夹角的范围是［0,π］，而异面直线所
成角的范围为 .
答案：(1)× (2)√ (3)×
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幻灯片 7三、空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则
(1)
(2)
思考：空间向量 的坐标与点A和点B的坐标有何关系？
提示：空间向量 的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐
标，不能颠倒.
(a2-a1,b2-b1,c2-c1)
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幻灯片 8【知识点拨】
1.关于空间向量运算的坐标表示的两点说明
(1)空间向量的加法、减法、数乘运算后依然是一个向量，其结果还是向量的坐标形式.
(2)空间中相等向量的坐标是相同的，在不同的坐标系中，同一向量的坐标是不相同的.
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幻灯片 92.关于空间向量坐标的求法
(1)空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标.
(2)通过空间向量间的坐标运算求得新向量的坐标.
(3)给出条件求空间向量坐标的问题，可先设出向量的坐标，然后通过建立方程组，解方程组求其坐标.
(4)向量平移后其坐标不发生变化，变化的是向量的起点与终点的坐标.
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幻灯片 103.向量运算的坐标表示在判断直线平行、垂直及所成角中的应用
(1)应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线.
(2)判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.
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幻灯片 11(3)用向量法求两异面直线所成角时，首先依据题设取异面直线上的方向向量，然后求出两向量的夹角，若夹角为锐角则该角就是两异面直线的夹角，若向量夹角为钝角，则该角的补角就是两异面直线所成的角.
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幻灯片 12类型 一 空间向量的坐标运算
【典型例题】
1.设向量a=(-1，0，3)，b=(3，1，4).计算：
(1)2a+b=________________.
(2)
(3)(a+b)·(a-b)=_____________________.
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幻灯片 132.已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，-2，3)，B(2，1，
-1)，C(-1，0，3)，求点D的坐标(O为坐标原点)，使
(1)
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幻灯片 14【解题探究】1.进行向量坐标运算的依据是什么？
2.已知向量的起点坐标与终点坐标，如何求向量的坐标？
探究提示：
1.依据向量坐标运算的运算法则进行.
2.向量 的坐标等于它终点的坐标减去它起点的坐标.
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幻灯片 15【解析】1.(1)2a+b=2(-1,0,3)+(3,1,4)=(1,1,10).
方法二：a+b=(2，1，7)，a-b=(-4，-1，-1),
∴(a+b)·(a-b)=-8-1-7=-16.
答案：(1)(1，1，10) (3)-16
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幻灯片 162.∵A(3，-2，3)，B(2，1，-1),C(-1，0，3),
故点D的坐标为
(2)设点D的坐标为(x,y,z)，则
由(1)知
解得
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幻灯片 17【拓展提升】空间向量的加法、减法、乘法及数乘运算的方法
(1)根据已知向量的坐标，代入空间向量的加减和数乘运算的坐标表示公式进行计算.
(2)熟练应用有关的乘法公式：
①(a+b)2=a2+2a·b+b2;
②(a-b)2=a2-2a·b+b2;
③(a+b)·(a-b)=a2-b2.
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幻灯片 18【变式训练】已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),
有下列等式：
①(a+b)·c=a·(b+c);②(a+b+c)2=a2+b2+c2;
③(a·b)·c=a·(b·c)，其中正确的有( )
A.0个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】选B.
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幻灯片 19----
幻灯片 20类型 二 距离(线段长度)与夹角的求法
【典型例题】
1.设A(1-t,1-t,t),B(2,t,t)，则 的最小值是_______.
2.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.
(1)求 与 所成角的余弦值.
(2)求 的长度.
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幻灯片 21【解题探究】1.向量的模(大小)的公式是什么？
2.计算两个向量的夹角或其余弦值，要先计算哪些量？
探究提示：
1.设向量a=(x,y,z)，则向量a的大小
2.要先计算这两个向量的模及这两个向量的数量积.
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幻灯片 22【解析】1.根据题意得
∴ 的最小值为
答案：
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幻灯片 232.建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，
C(0，1，0),
∴ 与 所成角的余弦值为
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幻灯片 24【互动探究】若题1中的向量 与向量 的夹角为
锐角，则实数t的取值范围是什么？
【解题指南】若两向量的夹角为锐角，则其数量积大于零，
可求t的取值范围.
【解析】由题意得：
=2(1+t)+2t-1+0=4t+1>0，
解得
又∵ 不共线，∴实数t的取值范围为
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幻灯片 25【拓展提升】
1.空间两点间的距离(线段长度)的求法
空间两点可以确定一个向量，通过求向量的模或根据两点间的距离公式求出两点间的距离.
2.关于两直线夹角的求法
(1)通过建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量的坐标，然后计算两直线的方向向量的夹角.
(2)空间两条直线夹角的范围与向量夹角的范围不同，当所求两向量夹角为钝角时，则两直线夹角是与此钝角互补的锐角.
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幻灯片 26【变式训练】(2013·成都高二检测)若向量a=(1,λ,2),
b=(2,-1,1),且a与b的夹角的余弦值为 则λ等于____
_________.
【解析】a·b=2-λ+2=4-λ,|a|= ,|b|=
即λ2+16λ-17=0,解得λ=-17或λ=1.
答案：-17或1
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幻灯片 27类型 三 空间向量的垂直与平行的判断
【典型例题】
1.已知空间四点A(-8，-6，3)，B(x,-1,2),C(1,-2,z),D(4,
-1,1),若 则xz=_________.
2.已知A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，
设
(1)若 求c.
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k的值.
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幻灯片 28【解题探究】1.题1中 首先需要求出哪些量？
2.题2中 的坐标为多少？由c∥ ，如何设出c的坐标？
探究提示：
1.利用空间向量坐标的求法首先求出向量 的坐标.
2.由B,C两点的坐标，可求出 =(-2，-1，2)，又由
c∥ ，可设c=(-2λ,-λ,2λ).
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幻灯片 29【解析】1.由已知得
因为
则有
解得
所以
答案：
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幻灯片 302.(1)由题意可知
∴λ=±1,
∴c=(-2,-1,2)或c=(2，1，-2).
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幻灯片 31(2)由题意可知，a=(1,1,0),b=(-1,0,2),
∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),
又(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,
∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=k2+k-2+k2-8=0,
即2k2+k-10=0,∴k=2或
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幻灯片 32【拓展提升】向量平行与垂直问题的三种题型
题型1：空间向量平行与垂直的判断
利用空间向量平行与垂直的条件进行判断.
题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题
即平行与垂直的应用，解题时要注意：
①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a=λb)，建立关于参数的方程；
②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
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幻灯片 33题型3：利用向量坐标处理空间中的平行与垂直
①向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；
②向量关系代数化：写出向量的坐标；
③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解.
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幻灯片 34【变式训练】1.(2013·金华高二检测)若a=(0，1，-1)，b=(1，1，0)，且(a+λb)⊥a，则实数λ的值是( )
A.-1 B.0 C.1 D.-2
【解析】选D.a+λb=(0,1,-1)+(λ,λ,0)=(λ,λ+1,-1),
∵(a+λb)⊥a,
∴(a+λb)·a=(λ,λ+1,-1)·(0,1,-1)
=0+λ+1+1=λ+2=0,
∴λ=-2.
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幻灯片 352.已知向量a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),c=(2,x,-4).
(1)判断a与b的位置关系.
(2)若a∥c,求|c|.
(3)若b⊥c,求c在a方向上的投影.
【解析】(1)∵a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),
∴b=(-2,-4,4)=-2(1,2,-2)=-2a,∴a∥b.
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幻灯片 36(2)∵a∥c,∴设a=λc(λ为实数).
∴(1，2，-2)=λ(2，x，-4),
解得
∴c=(2,4,-4),
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幻灯片 37(3)∵b⊥c,∴b·c=0,
∴(-2,-4,4)·(2,x,-4)=-4-4x-16=0,
∴x=-5,∴c=(2,-5,-4).
∵c在a方向上的投影为|c|·cos〈a,c〉,
即c在a方向上的投影为0.
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幻灯片 38【易错误区】忽视向量的数量积符号与其夹角的范围的关系致误
【典例】(2013·东莞高二检测)已知向量a=(2，3，-1)，b=(-2，m，1)，若a与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围为____________________.
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幻灯片 39【解析】由已知a·b=2×(-2)+3m-1=3m-5.
∵a与b的夹角为钝角，∴a·b<0,
若a与b的夹角为π①，则存在λ<0，使a=λb(λ<0),
即(2，3,-1)=λ(-2,m,1),
∴m=-3,
故m的取值范围是
答案：
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幻灯片 40【误区警示】
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幻灯片 41【防范措施】
隐含或限制条件的挖掘
对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含或限制条件，对题目条件进行等价转化，对于公式中的特殊情形要记清，不要漏掉，如本例中夹角为钝角要在a·b<0中剔除夹角为π的情况.
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幻灯片 42【类题试解】已知a=(5,3,1),b=(-2,t, )，若a与b的夹角
为钝角，则实数t的取值范围为___________.
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幻灯片 43【解析】由已知
∵a与b的夹角为钝角，∴a·b＜0.
若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0,使a=λb(λ＜0),
即(5,3,1)=λ(-2，t, ),
故t的范围为
答案：
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幻灯片 441.已知向量 点A的坐标是(1，2，0)，则点B的坐
标是( )
A.(1,1,4) B.(3,5,4) C.(-1,1,-4) D.(3,6,3)
【解析】选B.设B(x,y,z)，则
解得x=3,y=5,z=4，所以点B的坐标为(3，5，4).
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幻灯片 452.若向量a=(1，1，x)，b=(1，2，1)，c=(1，1，1)，满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x的值为( )
A.2 B.-2 C.0 D.1
【解析】选A.因为c-a=(0，0，1-x)，
所以(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2，解得x=2.
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幻灯片 463.已知a=(-2，3，3)，则下列向量中与a平行的是( )
A.(1，1，2) B.(2，3，3)
D.(-3，2，2)
【解析】选C.
故向量 与a平行.
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幻灯片 474.若向量m=(2，t，3)与n=(1,2,4)垂直，则｜m｜=_____
___.
【解析】∵m⊥n,
∴m·n=2t+14=0,
∴t=-7,故m=(2,-7,3)，则
答案：
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幻灯片 485.已知向量a=(3，1，0)，b=(1，-1，1)，则｜2a-3b｜=___
_______,cos〈a,b〉=_______.
【解析】∵2a-3b=(3,5,-3),
∴｜2a-3b｜=
答案：
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幻灯片 496.已知 若|a|=1,
求a.
【解析】设a=(x,y,z),∵|a|=1,∴x2+y2+z2=1 ①
解由①②③组成的方程组得
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