幻灯片 13.2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行关系
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幻灯片 2----
幻灯片 3一、直线的方向向量与平面的法向量的定义
1.直线的方向向量：指与这条直线___________的向量.
2.平面的法向量：
平行或共线
直线l的方向向量a
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幻灯片 4思考：直线的方向向量只有一个吗？平面的法向量只有一个吗？
提示：直线的方向向量和平面的法向量都各有无数多个，根据定义可知，只要与直线平行或共线，就是直线的方向向量，同理可知平面的法向量也有无数多个.
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幻灯片 5二、空间中平行关系的向量表示
a∥b
a⊥u
u∥v
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幻灯片 6判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反.( )
(2)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行.( )
(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.( )
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幻灯片 7提示：(1)正确.若两条直线平行，则它们的方向向量也平行，故它们的方向向量的方向相同或相反.
(2)错误.若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线可能重合，也可能平行.故此种说法错误.
(3)正确.由线面平行的判定定理知，若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.
答案：(1)√ (2)× (3)√
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幻灯片 8【知识点拨】
1.直线的方向向量的应用
利用直线的方向向量及点可以确定空间中的直线和平面.
(1)若有直线l,点A是直线l上一点,向量a是l的方向向量,在直
线l上取 则对于直线l上任意一点P,一定存在实数t,使
得 这样点A和向量a不仅可以确定l的位置,还可以具
体表示出l上的任意点.
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幻灯片 9(2)空间中平面α的位置可以由α上的两条相交直线确定,若
设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是a和b,P为平面
α上任意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对
(x,y),使得 这样点P与方向向量a,b不仅可以确定
平面α的位置,还可以具体表示出α上的任意点.
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幻灯片 102.对平面的法向量的理解
所谓平面的法向量,就是指与平面垂直的直线的方向向量,显然一个平面的法向量也有无数个,它们是共线向量.在实际应用中,根据题意可以选取单位向量或各坐标为整数的向量作为法向量.
在空间中,给定一个点A和一个向量a,那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的.
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幻灯片 113.对于空间中平行关系的向量表示的三点说明
(1)直线与直线平行：关键看直线的方向向量是否共线.
(2)直线与平面平行：关键看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直；或者看直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量是否共线.
(3)平面与平面平行：关键看两平面的法向量是否共线.
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幻灯片 12类型 一 求平面的法向量
【典型例题】
1.已知平面ABC，且A(1，2，-1)，B(2，0，-1)，C(3，-2，1)，则平面ABC的一个法向量为_________.
2.如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=1，AC=2，AA1=4，试建立适当的坐标系.
(1)求平面AB1C1的一个法向量.
(2)求平面BA1C1的单位法向量.
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幻灯片 13【解题探究】1.平面的法向量与平面内的向量有何关系？
2.什么叫做单位向量？题2中应如何建立坐标系?
探究提示：
1.平面的法向量与平面内的任何一个向量都垂直.
2.长度为一个单位长度的向量叫做单位向量，题2中可以以A为原点，以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系.
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幻灯片 14【解析】1.∵A(1，2，-1)，B(2，0，-1)，C(3，-2，1)，
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),依题意有
即
解得z=0,x=2y，令x=2,y=1,
∴平面ABC的一个法向量是n=(2，1，0).
答案：(2，1，0)(答案不唯一)
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幻灯片 152.建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，A1(0，0，4)，B(1，0，0)，
B1(1，0，4)，C1(0，2，4).
(1)
设平面AB1C1的法向量为n=(x,y,z)，则
即
令z=1，则x=-4,y=-2，
则平面AB1C1的一个法向量为n=(-4，-2，1).(答案不唯一)
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幻灯片 16(2) 设平面BA1C1的法向量为
m=(x′,y′,z′),则
所以
令z′=1,则x′=4,y′=0，
所以平面BA1C1的单位法向量为
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幻灯片 17【互动探究】在题2中，设AB的中点为E，AC的中点为F，A1C1
的中点为G，求平面EFG的一个法向量.
【解析】由题2解析知，
设平面EFG的法向量为n1=(x1,y1,z1),则
则y1=1,∴n1=(2，1，0)
即平面EFG的一个法向量为n1=(2，1，0).(答案不唯一)
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幻灯片 18【拓展提升】
1.平面法向量的求解步骤
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幻灯片 192.求平面法向量的常见类型
(1)已知平面内三个点的坐标,求这三个点确定的平面的法向量.
(2)一个几何体中存在线面垂直关系,在建立空间直角坐标系后,平面的垂线的方向向量即为平面的法向量.
(3)在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行的向量,然后求平面的法向量.
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幻灯片 20【变式训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,求平面AEF的单位法向量.
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幻灯片 21【解析】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),
设平面AEF的法向量是n=(x,y,z),
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幻灯片 22取z=2,则x=4,y=-1,此时n=(4,-1,2),
即平面AEF的一个法向量是
即平面AEF的单位法向量
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幻灯片 23类型 二 利用空间向量处理线线平行问题
【典型例题】
1.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=
(-2,0,2)，则直线l1和l2的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.垂直 D.不确定
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是AB的中点，点F是AA1上靠近点A的三等分点，在线段DD1上是否存在一点G，使CG∥EF？若存在，求出点G的位置，若不存在，说明理由.
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幻灯片 24【解题探究】1. 观察题1中v1与v2的坐标，它们之间有什么关系？
2.在解决与正方体或长方体相关的问题时如何建立空间直角坐标系才最合适？
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幻灯片 25探究提示：
1.由v1与v2的坐标可以看出v2=-2v1.
2.在涉及长方体或正方体的问题中，一般以正方体或长方体下底面的一个顶点为原点，以从这个顶点出发的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且使尽可能多的顶点在坐标轴上.
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幻灯片 26【解析】1.选A.(-2，0，2)=-2(1，0，-1),故v1∥v2，又l1和
l2不重合，所以直线l1和l2的位置关系是平行.
2.存在.如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-
A1B1C1D1的棱长为1，则
假设在DD1上存在一点G，使CG∥EF， 由于点G在z
轴上，设G(0，0，z)，
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幻灯片 27
由于 所以点G在线段DD1上，其坐标为
故在线段DD1上存在一点G，使CG∥EF,点G是DD1上靠近点D1的
三等分点.
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幻灯片 28【拓展提升】
1.证明空间两直线平行的思路
(1)把证明空间两直线平行的问题转化为判断空间两直线的方向向量共线的问题.
(2)在建立空间直角坐标系后,主要问题是求出空间两直线的方向向量的坐标.
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幻灯片 292.利用空间向量证明线线平行的方法步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标.
(2)求出直线的方向向量.
(3)证明两向量共线.
(4)证明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上，即表示方向向量的有向线段不共线，即可得证.
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幻灯片 30【变式训练】如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA=AB=2，点E,F分别是BC，SD的中点，点G是SA的中点，试判断直线BG与EF的位置关系，并说明理由.
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幻灯片 31【解析】BG∥EF.如图所示，建立空间直角坐标系，
∵SA=AB=2，且E,F,G为所在棱的中点，
∴B(2，0，0)，G(0，0，1)，E(2，1，0)，F(0，1，1),
∴BG∥EF.
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幻灯片 32类型 三 利用空间向量处理线面平行与面面平行问题
【典型例题】
1.已知平面α的一个法向量是(2，3，-1)，平面β的一个法
向量是(4，λ,-2),若α∥β，则λ的值是( )
B.-6 C.6
2.已知l∥α,且l的一个方向向量为(2,m,1),平面α的一个法
向量为 则m=_________.
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幻灯片 333.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BB1，DD1的中点,
求证：(1)FC1∥平面ADE.
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
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幻灯片 34【解题探究】1.题1中平面α∥平面β，由此可以得到它们的法向量之间的关系是什么？
2.题2中，l∥α，则l的方向向量与平面α的法向量之间的关系是什么？
3.题3中要利用向量证明平行关系，第一步首先要做什么？
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幻灯片 35探究提示：
1.若两平面α∥β，则它们的法向量也平行.
2.若直线l∥α，则l的方向向量与平面α的法向量垂直.
3.利用向量证明平行关系，第一步首先要建立合适的空间直角坐标系.
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幻灯片 36【解析】1.选C.由两平面α∥β得对应两平面的法向量也平
行，由两向量平行的关系得 所以λ的值为6.
2.∵l∥α，∴l的方向向量与平面α的法向量垂直，
答案：-8
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幻灯片 373.建立如图所示空间直角坐标系，则有D(0，0，0)，A(2，
0，0)，B1(2，2，2)，C1(0,2,2),E(2，2，1)，F(0，0，
1)，所以
设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面ADE与平面B1C1F的
法向量,
令y1=1得n1=(0,1,-2)，同理可得n2=(0,1,-2).
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幻灯片 38(1)因为
所以
所以FC1∥平面ADE.
(2)因为n1=n2=(0,1,-2),
所以平面ADE∥平面B1C1F.
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幻灯片 39【拓展提升】
1.利用空间向量证明线面平行的方法
方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示.
方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.
方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
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幻灯片 402.利用空间向量证明两个平面平行的思路方法
(1)直接证明法:建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,证明两个法向量平行.
(2)间接证明法:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面平行转化为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明.
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幻灯片 41【易错误区】混淆直线与平面平行和向量与平面平行的含义
致误
【典例】(2013·四平高二检测)已知u是平面α的一个法向
量，a是直线l的一个方向向量，若u=(4，1，5)，a=(2，-8，
0)，则l与α的位置关系是__________.
【解析】∵u·a=4×2+1×(-8)+5×0=8-8=0，
∴u⊥a,
答案：
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幻灯片 42【误区警示】
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幻灯片 43【防范措施】
注意区分直线平行与向量平行
两直线平行时，其方向向量一定平行；但两直线的方向向量平行时，两直线平行或重合，对于本例题中判断直线与平面的位置关系也是这样.
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幻灯片 44【类题试解】若直线a的一个方向向量为a=(1，-3，4)，直线
b的一个方向向量是b=( )，则直线a与b的位置关
系是____________.
【解析】
∴a=-3b，即a与b共线，∴a∥b或a与b重合.
答案：平行或重合
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幻灯片 451.已知向量n=(-1，0，3)是平面α的一个法向量，则下列向
量中能作为平面α法向量的是( )
A.a=(0，-1，3) B.b=(1，0，3)
D.d=(-2，0，3)
【解析】选C.∵n=-2c，∴n∥c，即n与c都与平面α垂直，则
c可作为平面α的一个法向量.
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幻灯片 462.直线l的一个方向向量和平面β的一个法向量分别是m=
(-1，1，3)，n=( ),则直线l与平面β的位置关系是
( )
A.l∥β B.l⊥β
D.无法判断
【解析】选C.
∴m⊥n，故
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幻灯片 473.对于任意空间向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),给出下列
三个命题：
①a∥b
②若a1=a2=a3=1,则a为单位向量；
③a⊥b a1b1+a2b2+a3b3=0.
其中真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.若b1，b2，b3的值只要有一个为0，则①式无意
义；a=(1，1，1)不是单位向量，其长度|a|= ；③正确.
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幻灯片 484.在三棱锥S-ABC中，CS,CA,CB两两垂直，CA=CB=3，CS=2，
在如图所示的坐标系中，下列向量中是平面SAB的法向量的
是( )
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幻灯片 49【解析】选B.C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，3，0)，S(0，
0，2),
设平面SAB的法向量为n=(x,y,z),
∴令z=1，则x=y=
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幻灯片 505.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,各棱对应的向量可作为面A1B1C1D1的法向量的个数为________.
【解析】可作为面A1B1C1D1的法向量的有:
共8个.
答案：8
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幻灯片 516.直线AB与CD的一个方向向量分别为
则直线AB与CD的位置关系是_______.
【解析】
故直线AB与CD平行或重合.
答案：平行或重合
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幻灯片 527.如图所示，V为矩形ABCD所在平面外一点，且
求证VA∥平面PMN.
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幻灯片 53【证明】
由题意可知
所以 所以 是共面向量，又VA平
面PMN，所以VA∥平面PMN.
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