幻灯片 1第五节 同角三角函数的基本关系式
与两角和与差的三角函数
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幻灯片 2三年6考 高考指数:★★
1.理解同角三角函数的基本关系式.
2.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
3.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
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幻灯片 31.同角三角函数间的关系式可能在与解析几何、数列、解三角形等知识的交汇处命题.
2.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简求值是高考常考的内容.尤其是对asinx+bcosx的化简是每年高考必考内容.
3.在选择题、填空题、解答题中都可以考查,题目属中低档题.
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幻灯片 41.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:________________；
(2)商数关系: __________(α≠kπ+ ,k∈Z).
sin2α+cos2α=1
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幻灯片 5【即时应用】
(1)设sin(π-α)= 且α∈ 则tanα=______.
(2)已知sinx=2cosx,则sin2x+1=______.
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幻灯片 6【解析】(1)∵sin(π-α)=sinα= 且α∈( )，
(2)∵sin2x+cos2x=1，
答案：
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幻灯片 72.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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幻灯片 8【即时应用】
(1)判断下列式子的正误.(请在括号内打“√”或“×”)
①cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30° ( )
②sin15°=sin(45°-30°)
=cos45°sin30°-sin45°cos30° ( )
③cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45° ( )
④cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°-sin60°sin45° ( )
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幻灯片 9(2)计算sin72°cos18°+cos72°sin18°=______.
(3)计算cos72°cos12°+sin72°sin12°=______.
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幻灯片 10【解析】(1)cos15°=cos(45°-30°)
=cos45°cos30°+sin45°·sin30°,故①错误；sin15°=sin(45°-30°)
=sin45°·cos30°-cos45°sin30°，故②错误;③正确，cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°,故④错误.
(2)原式=sin(72°+18°)=sin90°=1.
(3)原式=cos(72°-12°)=cos60°= .
答案：(1)①× ②× ③√ ④× (2)1 (3)
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幻灯片 11 同角三角函数关系式的应用
【方法点睛】同角三角函数关系式的应用及注意问题
(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化，
利用 可以实现角α的弦切互化.
(2)应用sin2α+cos2α=1求sinα或cosα时，特别注意角α的
三角函数值的符号.符号规律：“一全正，二正弦，三正切，
四余弦.”
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幻灯片 12【例1】已知α是三角形的内角,且
(1)求tanα的值;
(2)把 用tanα表示出来,并求其值.
【解题指南】(1)由同角三角函数平方关系公式及已知，列方程组求出sinα，cosα的值,然后求出tanα即可.
(2)利用“1”的逆用，把原式化为关于sinα，cosα的齐次式，转化为关于tanα的代数式，代入求值.
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幻灯片 13【规范解答】(1)方法一：联立方程
由①得cosα= -sinα，将其代入②，整理得
25sin2α-5sinα-12=0.
∵α是三角形的内角，∴sinα＞0,
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幻灯片 14方法二:∵sinα+cosα= ,∴(sinα+cosα)2=( )2，
即1+2sinαcosα= ,∴2sinαcosα=
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=
∵sinαcosα= <0且0<α<π,
∴sinα>0,cosα<0,∴sinα-cosα>0,
∴sinα-cosα=
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幻灯片 15----
幻灯片 16【反思·感悟】1.应用同角公式时注意方程思想的应用：对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.
2.注意公式逆用及变形应用：1=sin2α+cos2α，sin2α=
1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
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幻灯片 17【变式训练】(1)已知 且α为第二象限角，求tanα;
(2)已知 求tanα;
(3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.
【解析】(1) α为第二象限角，
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幻灯片 18(2) ∴α为第一或第二象限角.
当α为第一象限角时，
当α为第二象限角时，由(1)知，
(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),
(当α为一、四象限角时取正号，
当α为二、三象限角时取负号).
∴当α为一、四象限角时
当α为二、三象限角时
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幻灯片 19 三角函数的求值
【方法点睛】三角函数的求值的两种主要类型
(1)给角求值的解题思路是正确地选用公式，把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值的解题思路是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得函数值代入，从而达到解题的目的.
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幻灯片 20【例2】已知
求sin(α+β)的值.
【解题指南】先求 再将sin(α+β)变换为
求解.
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幻灯片 21【规范解答】
又
又
∴sin(α+β)=-sin［π+(α+β)］
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幻灯片 22【反思·感悟】解答有限制条件的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，即用已知角来表示未知角，或把未知角向已知角方向转化.
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幻灯片 23【变式训练】已知0<β< <α<π，且
求cos(α+β)的值.
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幻灯片 24【解析】∵0<β< <α<π,
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幻灯片 25【变式备选】已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求
的值.
【解析】方法一：由题设：
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幻灯片 26方法二：令
即
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幻灯片 27 三角函数的给值求角
【方法点睛】
1.三角函数的给值求角问题的一般思路
(1)求出该角的某一三角函数值;
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出角.
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幻灯片 282.三角函数给值求角时应注意的问题
求角的某一三角函数值时,尽量选择在该角所在范围内是单调
的函数，这样,由三角函数值才可以唯一确定角.一般规律如下:
(1)若角的范围是 选正、余弦皆可;
(2)若角的范围是(0,π),选余弦较好;
(3)若角的范围为 选正弦较好.
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幻灯片 29【例3】(2012·芜湖模拟)如图，在平面直
角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角
α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A、B
两点，已知A、B的纵坐标分别为
(1)求α+β;(2)求tan(α-β)的值.
【解题指南】先由坐标系求出sinα,sinβ,cosα,cosβ的值.
(1)利用角α+β的某个三角函数值求出α+β,注意α+β的范围.
(2)求出tanα,tanβ,再由tan(α-β)的公式求解.
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幻灯片 30【规范解答】由条件得
∵α、β为锐角，
(1)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
又α,β为锐角，所以α+β∈(0,π)，故
(2)由条件可知
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幻灯片 31【反思·感悟】此类题是给值求角题,步骤如下:①求所求角的某一个三角函数值,②确定所求角的范围,此类题常犯的错误是对角的范围把握不准,使角的范围过大或过小,会使求出的角不合题意或者漏解,同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值.
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幻灯片 32【变式训练】已知
(1)求sinα的值；(2)求β的值.
【解析】
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幻灯片 33(2)∵0<α< ,
又0<α< <β<π,∴0<β-α<π.
由cos(β-α)= 得sin(β-α)=
∴sinβ=sin［(β-α)+α］=sin(β-α)cosα+
cos(β-α)·sinα
由 <β<π得
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幻灯片 34【变式备选】已知 α、β、γ均为
锐角.求α+β+γ的值.
【解析】
且α为锐角，
同理
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幻灯片 35 三角函数的综合应用
【方法点睛】三角函数公式和三角函数性质的关系
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为y =Asin(ωx+φ)的形式,再进一步探讨定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.
(2)注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用，主要考查基本运算能力．
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幻灯片 36【例4】已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间［ ］上的最大值和最小值.
【解题指南】先利用诱导公式和倍角公式进行恒等变换，再求三角函数的性质.
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幻灯片 37【规范解答】(1)∵f(x)=2sin(π-x)cosx
=2sinxcosx=sin2x,∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由
∴f(x)在区间［ ］上的最大值为1，最小值为
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幻灯片 38【反思·感悟】利用三角函数公式进行三角恒等变形，要求熟练掌握公式和变换技巧，强化运算能力.以基本三角函数的性质为基础求y=Asin(ωx+φ)的性质，有时给出角的范围时要注意ωx+φ的范围的变化.
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幻灯片 39【变式训练】设函数 (其中
ω＞0,a∈R),且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为
(1)求ω的值；
(2)如果f(x)在区间［ ］上的最小值为 求a的值.
【解析】
依题意得
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幻灯片 40(2)由(1)知，
又当x∈［ ］时，
故 从而f(x)在区间［ ］上的最小值为
故
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幻灯片 41【变式备选】已知函数
(1)求函数f(x)的最小正周期和图像的对称轴方程;
(2)求函数f(x)在区间［ ］上的值域.
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幻灯片 42【解析】
∴周期
由 得
∴函数图像的对称轴方程为
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幻灯片 43 在区间［ ］上单调递增，在区间
［ ］上单调递减，
∴当 时，f(x)取最大值1.
又
∴当 时，f(x)取最小值
∴函数f(x)在区间［ ］上的值域为［ ］.
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幻灯片 44【满分指导】三角函数主观题的规范解答
【典例】(12分)(2011·广东高考)已知函数
x∈R.
(1)求 的值;
(2)设
求cos(α+β)的值.
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幻灯片 45【解题指南】(1)把 代入解析式直接求解；(2)由题目条
件可求出sinα及cosβ的值，然后利用同角三角函数关系，求
出cosα及sinβ的值，再利用两角和的余弦公式求解.
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幻灯片 46【规范解答】
…………………………………………………………………3分
(2)由 得 即
…………………………………………………………………6分
由 得 从而 ……………8分
…………………………………………………………………10分
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幻灯片 47∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
…………………………………………………………………12分
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幻灯片 48【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 49----
幻灯片 501.(2011·福建高考)若tanα=3，则 的值等于( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
【解析】选D.
的值等于6.
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幻灯片 512.(2011·福建高考)若α∈( )，且sin2α+cos2α=
则tanα的值等于( )
【解析】选D.∵sin2α+cos2α=
∴sin2α+(1-2sin2α)=
又
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幻灯片 523.(2011· 浙江高考)若
则 ( )
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幻灯片 53【解析】选C.由
可得
由 及
可得
所以
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幻灯片 544.(2011·辽宁高考)设 则sin2θ=( )
【解析】选A.将 展开得
两边平方得 所以
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幻灯片 555.(2011·江苏高考)已知 则 的值为______.
【解析】由 可得
答案：
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幻灯片 56----
幻灯片 57----
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