幻灯片 1第四节 平面向量的应用
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幻灯片 2三年12考 高考指数: ★★★
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
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幻灯片 31.以向量为载体考查三角函数、解析几何等问题是考查重点，也是热点.
2.以向量为工具解决平面几何问题是难点.
3.三大题型均可能出现，客观题主要考查向量的基础知识，与三角函数、解析几何综合的题目主要以解答题出现，难度中档偏上.
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幻灯片 41.向量在平面几何中的应用
(1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.
(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧
①线平行、点共线、相似问题
利用共线向量定理：a∥b⇔____________
a=λb(b≠0)
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幻灯片 5②垂直问题
利用数量积的运算性质：a、b为非零向量,a⊥b⇔_______.
③夹角问题
利用夹角公式：cosθ=_____(θ为a、b的夹角)
④距离问题
设M(x0,y0)是平面上的一定点，它到直线l：Ax+By+C=0的距离
为d=____________.
a·b=0
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幻灯片 6(3)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
平面几何问题 向量问题 解决向量问题
解决几何问题
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幻灯片 7【即时应用】
判断下列命题的正误.(请在括号中填写“√”或“×”)
①若 则三点A、B、C共线. ( )
②在△ABC中，若 则△ABC为钝角三角形. ( )
③在四边形ABCD中，边AB与CD为对边，若 则此四边形
为平行四边形. ( )
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幻灯片 8【解析】①因 共始点A，且 故①正确；
② ∴∠B为锐角，不能判断△ABC的形
状，故②不正确；
③ 故③正确.
答案：①√ ②× ③√
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幻灯片 92.平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.
(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积.即W=F·s=|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).
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幻灯片 10【即时应用】
(1)已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力F的大小为10N，合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为______.
(2)已知a=(cosx,sinx),b=(cosx,-sinx),则函数y=a·b的最小正周期为______.
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幻灯片 11(3)如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为______N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为______.
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幻灯片 12【解析】(1)如图所示.
|F1|=|F|cos60°=10× =5(N).
(2)∵y=a·b=cos2x-sin2x
=cos2x,
(3)F1=(2,3),F2=(3,1)，
∴合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),
∴合力的大小为
答案：(1)5N (2)π (3) (5,4)
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幻灯片 13 向量在平面几何中的应用
【方法点睛】平面几何问题的向量解法
平面向量在平面几何中的应用主要体现在：利用|a|可以求线
段的长度，利用 (θ为a与b的夹角)可以求角，利
用a·b=0可以证明垂直，利用a=λb(b≠0)可以判定平行等.
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幻灯片 14【提醒】向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别，例
如：向量 并不能说明直线AB∥CD.
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幻灯片 15【例1】(2011·天津高考)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,
∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则 的最
小值为______.
【解题指南】以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数
表示出点P、C、B、A的坐标，进而表示出 ，然后转
化为函数问题求解.
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幻灯片 16【规范解答】建立平面直角坐标系如图所示.设P(0,y),C(0,b),
则B(1,b),A(2,0),则 =(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).
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幻灯片 17∴| |2=25+(3b-4y)2(0≤y≤b),
当 时，| |最小，| |min=5.
答案：5
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幻灯片 18【反思·感悟】平面几何问题的向量解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
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幻灯片 19【变式训练】已知△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB边
上任意一点，则 的最大值为______.
【解析】方法一：(坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系
如图，设P点坐标为(x,y)且0≤y≤3,0≤x≤4,则
当y=3时，取得最大值9.
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幻灯片 20方法二：(基向量法)
∵cos∠BAC为正且为定值，
∴当 最小即 =0时， 取到最大值9.
答案：9
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幻灯片 21 向量在三角函数中的应用
【方法点睛】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路
(1)以向量为载体的三角函数问题的命题形式和解题思路是：一般题目条件给出向量，其中的坐标中含有三角函数的形式，然后根据题目已知条件找出等量关系，则得到三角函数的关系式，然后考查化简恒等变形，考查三角函数的图像性质.
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幻灯片 22(2)平面向量借助三角函数考查的命题形式和解题思路是：一般给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模长或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.
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幻灯片 23【例2】(1)已知向量
则函数g(x)=|a-b|的值域为______.
(2)(2012·临川模拟)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为
a、b、c，向量p=( ),q=(cos2A,2sinA),且p∥q.
①求sinA的值；②若b=2,△ABC的面积为3，求a.
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幻灯片 24【解题指南】(1)利用向量的基本运算写出关于x的函数，然后求出值域.
(2)①利用p∥q列出关于sinA的方程；
②由sinA,b及S△ABC= bcsinA可求出c，再由余弦定理求a.
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幻灯片 25【规范解答】(1) ∵|a|=1，|b|=1，
答案：［0,2］
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幻灯片 26(2)①∵p∥q,∴ cos2A=(1-sinA)·2sinA,
∴6(1-2sin2A)=7sinA(1-sinA),
5sin2A+7sinA-6=0,
∴sinA= .(sinA=-2舍)
②由S△ABC= bcsinA=3,b=2,得c=5,
又
∴a2=b2+c2-2bccosA=4+25-2×2×5cosA=29-20cosA,
当 时,a2=13,a=
当 时，a2=45,a=
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幻灯片 27【互动探究】本例(2)中若p=(1-sinA,cosA),q=(sin2A,2sinA),且p⊥q，其他条件不变，又如何求sinA?
【解析】∵p·q=(1-sinA)sin2A+cosA·2sinA=
sin2A(2-sinA)=0,
∵sinA∈(0,1］,∴2-sinA≠0,
∴sin2A=0,又A∈(0,π),
∴2A∈(0,2π),∴2A=π,A= ,∴sinA=1.
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幻灯片 28【反思·感悟】1.该类题的解题关键
把向量关系转化为向量的运算，再进一步转化为纯三角函数的运算，即该类题的解题关键是“转化思想方法的应用”.
2.向量在该类题中的作用
向量作为载体，通过向量间的平行、垂直关系转化为三角函数运算.
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幻灯片 29【变式备选】(2011·济南模拟)设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a,b,c，向量p=(a,2b),q=(sinA,1),且p∥q.
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC是锐角三角形，m=(cosA,cosB),
n=(1,sinA-cosAtanB),求m·n的取值范围.
【解析】(1)∵p=(a,2b),q=(sinA,1),且p∥q,
∴a-2bsinA=0,由正弦定理得sinA-2sinBsinA=0.
∵0＜A,B,C＜π, 得 或
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幻灯片 30(2)∵△ABC是锐角三角形，
于是
由A+C=π-B= 及0＜C＜ ,
得
结合 得
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幻灯片 31 平面向量在解析几何中的应用
【方法点睛】向量在解析几何中的作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.
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幻灯片 32(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b=0,a∥b⇔a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.
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幻灯片 33【例3】已知两点M(-1,0),N(1,0)，且点P使
成公差非负的等差数列.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若θ为 与 的夹角，求θ的最大值及此时点P的坐标.
【解题指南】(1)设P(x,y),直接求点P的轨迹方程;
(2)先求出cosθ的范围，再求θ的最大值.
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幻灯片 34【规范解答】(1)设点P坐标为(x,y),则
依题意得
∴点P的轨迹方程为x2+y2=3(x≥0).
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幻灯片 35(2) =(-1-x,-y)·(1-x,-y)
=x2+y2-1=2,
∴θ的最大值为 此时x=0,∴点P的坐标为(0,± ).
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幻灯片 36【反思·感悟】1.向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算.
2.相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须熟练掌握.
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幻灯片 37【变式训练】已知点P(0,-3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半
轴上，点M满足 当点A在x轴上移动
时，求动点M的轨迹方程.
【解析】设M(x,y)为所求轨迹上任意一点，设A(a,0),Q(0,b)(b
＞0),
则
由 =0，得a(x-a)+3y=0. ①
由
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幻灯片 38得
∴
把a=- 代入①，得
整理得
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幻灯片 39【易错误区】忽视对直角位置的讨论致误
【典例】(2012·烟台模拟)已知平面上三点A、B、C，
=(2-k,3), =(2,4).
(1)若三点A、B、C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，求k的值.
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幻灯片 40【解题指南】(1)三点A、B、C不能构成三角形，即A、B、C三点共线.
(2)对A、B、C谁为直角顶点进行分类讨论.
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幻灯片 41【规范解答】(1)由三点A、B、C不能构成三角形，得A、B、C在同一直线上，即向量 与 平行，
∵ ∥ ,∴4(2-k)-2×3=0,解得
(2)∵ =(2-k,3),
∴ =(k-2,-3),
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幻灯片 42∵△ABC为直角三角形，
则当∠BAC是直角时， ⊥ ,即 · =0，
∴2k+4=0，解得k=-2;
当∠ABC是直角时， ⊥ ，即 · =0，
∴k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1;
当∠ACB是直角时， ⊥ ，即 · =0，
∴16-2k=0，解得k=8.
综上得k∈{-2,-1,3,8}.
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幻灯片 43【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到如下误区警示和备考建议：
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幻灯片 44----
幻灯片 451.(2012·豫南四校联考)已知△ABD是等边三角形，且
那么四边形ABCD的面积为( )
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幻灯片 46【解析】选B.如图所示，
解之得
又
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=
故选B.
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幻灯片 472.(2012·衡阳模拟)如图，已知
点P是圆C：x2+(y- )2=1上的一
个动点，点Q是直线l:x-y=0上的
一个动点，O为坐标原点，则向量
在向量 上的投影的最大值
是( )
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幻灯片 48【解析】选A.设点P在OQ上的投影为点N，则PN⊥OQ，设直线PN
交y轴于M(0,yM),lPN:x+y=n,当向量 在 上的投影最大
时，lPN为圆C的一条切线，所以 解得 或
(舍去)，则lPN:x+y= ,yM= ,|ON|=yMcos45°=3，故选A.
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幻灯片 493.(2012·北京模拟)在△ABC中，
(1)求△ABC的边AB的长;
(2)求 的值.
【解析】
∴b2+c2-a2=2,a2+c2-b2=6⇒c2=4⇒c=2,
即AB=2.
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幻灯片 50∴acosB=3bcosA,
∴sinAcosB=3sinBcosA.
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幻灯片 51----
幻灯片 52----
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