幻灯片 1第一节 数列(含函数特性)
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幻灯片 2三年2考 高考指数:★
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)；
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.
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幻灯片 31.根据数列的递推关系求通项公式和已知前n项和Sn求an是高考考查的重点.
2.多在解答题中出现，属中档题目.
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幻灯片 41.数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义
①数列：按照_________排列的一列数.
②数列的项：数列中的_________.
一定次序
每一个数
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幻灯片 5(2)数列的分类
有限
无限
>
<
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幻灯片 6(3)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与__之间的函数关系可以用一个式子表
示成an=f(n),那么这个式子叫作这个数列的通项公式.
n
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幻灯片 7【即时应用】
(1)思考：数列的通项公式是唯一的吗？
提示:不惟一，如数列-1,1,-1,1，…的通项公式可以是
an=(-1)n(n∈N+)，也可以是
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幻灯片 8(2)判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
①数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}. ( )
②数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列.
( )
③数列{ }的第k项为1＋ ( )
④数列0,2,4,6,…可记为{2n}. ( )
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幻灯片 9【解析】由数列的定义可知①、②错误；数列{ }的第k项
为 故③正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为an＝
2n－2，故④错．综上知，③正确；①,②,④错误.
答案：①× ②× ③√ ④×
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幻灯片 10(3)若数列{an}的通项公式为 那么这个数列是____数
列.(填“递增”、“递减”、“摆动”)
【解析】令f(x)= 则f(x)= 在(0，+∞)上是增函
数，则数列{an}是递增数列.
答案：递增
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幻灯片 11(4)数列9，99，999，…的通项公式an=_____.
【解析】9=10-1，99=102-1，999=103-1，…,
∴an=10n-1.
答案：10n-1
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幻灯片 122.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则
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幻灯片 13【即时应用】
(1)数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=________.
(2)数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,Sn=nan,则an=______.
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幻灯片 14【解析】(1)当n=1时，a1=S1=2;
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+1)-［(n-1)2+1］
=n2-(n-1)2=2n-1,
将n=1代入an=2n-1得a1=1≠2.
(2)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1,
∴an=an-1(n≥2),∴an=1.
答案：
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幻灯片 15 已知数列的前几项，归纳数列的通项公式
【方法点睛】求数列的通项时，要抓住以下几个特征
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；
(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.
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幻灯片 16【例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.
(1)-1,7,-13,19,…
(2)0.8,0.88,0.888,…
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幻灯片 17【解题指南】(1)从各项符号和各项绝对值的关系两方面考虑.
(2)从考虑数列0.8,0.88,0.888,…和数列0.9,0.99,0.999,…的关系着手.
(3)分子规律不明显，从考虑分子与分母的关系着手.
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幻灯片 18【规范解答】(1)符号可通过(-1)n表示，后面的数的绝对值总
比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5).
(2)数列变为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),…,
∴an= (1- ).
(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4
项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为
原数列化为
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幻灯片 19【反思·感悟】1.解答本题(3)时有两个困惑：一是首项的符号，二是各项分子规律不明显.解答时从分子与分母的关系入手，是求解的关键.
2.归纳通项公式应从以下四个方面着手：
(1)观察项与项之间的关系；
(2)符号与绝对值分别考虑；
(3)分开看分子、分母，再综合看分子、分母的关系；
(4)规律不明显时适当变形.
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幻灯片 20【变式训练】根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式.
(1)3,5,7,9，….
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幻灯片 21【解析】(1)各项减去1后为正偶数,∴an=2n+1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，
24，…,∴
(3)各项负正相间，故通项公式中含有因式(-1)n，各项绝对值
的分母组成数列{n},分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项
为3,即奇数项为2-1，偶数项为2+1.
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幻灯片 22【变式备选】根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式.
(1)2，5，8，11；
(2)1，4，9，16.
【解析】(1)∵a1=3×1-1=2,
a2=3×2-1=5,a3=3×3-1=8,
a4=3×4-1=11,∴an=3n-1.
(2)∵a1=12,a2=22=4,a3=32=9,
a4=42=16,∴an=n2.
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幻灯片 23 已知Sn求an
【方法点睛】已知Sn求an时应注意的问题
(1)应重视分类讨论思想的应用，分n=1和n≥2两种情况讨论,
特别注意an=Sn-Sn-1中需n≥2.
(2)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时，a1也适合“an式”，则需统
一“合写”.
(3)由Sn-Sn-1=an推得an，当n=1时，a1不适合“an式”，则数列
的通项公式应分段表示(“分写”)，即
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幻灯片 24【例2】已知数列{an}的前n项和Sn，分别求它们的通项公式.
(1)Sn=2n2+3n；(2)Sn=3n+1.
【解题指南】解决本题的关键是明确通项公式与前n项和Sn的
关系，利用
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幻灯片 25【规范解答】(1)由题可知，
当n=1时，a1=S1=2×12+3×1=5，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-［2(n-1)2+3(n-1)］=4n+1.
当n=1时，4×1+1=5=a1,∴an=4n+1.
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幻灯片 26(2)当n=1时，a1=S1=3+1=4，
当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1.
当n=1时，2×31-1=2≠a1，
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幻灯片 27【反思·感悟】解答此类题目易犯的错误是没有分n=1和n≥2两种情况求解，而是直接根据an=Sn-Sn-1求得an.
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幻灯片 28【变式训练】已知数列{an}前n项和为Sn，求下列条件下数列的通项公式.
(1)Sn=2×5n-2;
(2)Sn=2×3n-1-1.
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幻灯片 29【解析】(1)当n=1时，
a1=S1=2×5-2=8.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2×5n-2-2×5n-1+2
=8×5n-1.
∴当n=1时,8×5１-１=8=a1，故an=8×5n-1.
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幻灯片 30(2)当n=1时，a1=S1=1,
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2×3n-1-1-(2×3n-2-1)=2×3n-1-2×3n-2
=2×3n-2×(3-1)=4×3n-2.
当n=1时，4×31-2= ≠a1,故数列{an}的通项公式为：
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幻灯片 31 由递推公式求数列的通项公式
【方法点睛】1.“累加法”求an
已知a1且an-an-1=f(n)(n≥2)，可以用“累加法”，即an-an-1
=f(n),an-1-an-2=f(n-1),…,a3-a2=f(3),a2-a1=f(2),所有等式
左右两边分别相加，代入a1得an.
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幻灯片 322.“累乘法”求an
已知a1且 =f(n)(n≥2),可以用“累乘法”，
即
所有等式左右两边分别相乘，代入a1得an.
【提醒】在求解出通项公式后，记得验证a1是否满足公式.
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幻灯片 33【例3】根据下列条件，确定数列{an}的通项公式.
(1)a1=2,an+1=an+ln(1+ );
(2)a1=1,nan+1=(n+1)an.
【解题指南】(1)求an-an-1，累加求和并验证n=1的情形.
(2)求 累乘求积并验证n=1的情形.
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幻灯片 34【规范解答】(1)∵an+1=an+ln(1+ )，
∴an-an-1=ln(1+ )= (n≥2)，
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
又a1=2适合上式，故an=2+lnn(n∈N+).
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幻灯片 35(2)∵a1=1,nan+1=(n+1)an,
又a1=1适合上式,故an=n(n∈N+).
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幻灯片 36【互动探究】将本例(1)中“ ”改为
“ ”,如何求解？
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幻灯片 37【解析】
当n=1时，a1=2也适合上式，故an=3- (n∈N+).
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幻灯片 38【反思·感悟】解答此类题目应注意两个方面的问题：一是何时应用“累加”或“累乘”法，可从所给递推公式的结构上分析.二是如何“累加”或“累乘”，这是求通项公式an的关键，应注意对“累加”式或“累乘”式的变形.
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幻灯片 39【变式备选】求出满足条件a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N+)的数列的通项公式.
【解析】由题意得，an-an-1=2n-3(n≥2),∴an=a1+(a2-a1)+…
+(an-an-1)=0+1+3+…+(2n-5)+(2n-3)=(n-1)2，又a1=0适合上式，所以数列的通项公式为an=(n-1)2.
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幻灯片 40【易错误区】忽视数列的项数n的范围致误
【典例】(2012·大连模拟)已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,
则 的最小值为_______.
【解题指南】先用“累加法”求出an，再根据 的单调性求最
小值.
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幻灯片 41【规范解答】∵an+1-an=2n，∴an-an-1=2(n-1)，
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(2n-2)+(2n-4)+…+2+33=n2-n+33(n≥2)，
又a1=33适合上式，∴an=n2-n+33，
令f(x)=x+ -1(x>0),则f′(x)=1-
令f′(x)=0得x=
∴当0 时，f′(x)>0，
即f(x)在区间(0， )上递减,在区间( +∞)上递增.
∴当n=6时， 有最小值
答案：
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幻灯片 43【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：
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幻灯片 44----
幻灯片 451.(2012·珠海模拟)设数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则a7的值为
( )
(A)13 (B)14 (C)15 (D)16
【解析】选B.a7=S7-S6=(72+7)-(62+6)=14.
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幻灯片 462.(2012·中山模拟)数列 的第10项是( )
【解析】选C.由已知得数列的通项公式
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幻灯片 473.(2012·杭州模拟)已知数列{an}，若a1=b(b>0),
an+1 则能使an=b成立的n的值可能是( )
(A)14 (B)15 (C)16 (D)17
【解析】选C.∵
故数列{an}是以3为周期的数列.
∴a16=a1=b.
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幻灯片 484.(2012·合肥模拟)数列{an}中，a1=1,an+1= (n∈N+)，
则a5=( )
【解析】选B.
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幻灯片 495.(2011·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn满足：
Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a10=( )
(A)1 (B)9 (C)10 (D)55
【解析】选A.∵Sn+Sm=Sn+m,
∴令n=9,m=1,得S9+S1=S10，即S1=S10-S9=a10=1,∴a10=1.
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幻灯片 50----
幻灯片 51----
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