<html><title>电子备课系统教学资源-20130511214021125</title><link rel="stylesheet" href="../css/css.css" type="text/css" media="all" /><body><div id="thistop"></div>幻灯片  1第二节  等差数列 
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幻灯片  2三年12考  高考指数:★★★
1.理解等差数列的概念，了解等差数列与一次函数的关系；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
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幻灯片  31.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点；
2.运用归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、函数的性质解决等差数列问题是重点，也是难点；
3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合则以解答题为主.
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幻灯片  41.等差数列的定义
(1)条件：一个数列从______起，每一项与前一项的差是同一
个常数.
(2)公差：是指常数，通常用字母d表示.
(3)定义表达式：_______________(n∈N+).
第2项
an+1-an=d(常数)
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幻灯片  5【即时应用】
判断下列数列是否为等差数列.(请在括号中填写“是”或
“否”)
(1)数列0，0，0，0，0，…                       (   )
(2)数列1，1，2，2，3，3，…                    (   )
(3)数列           …                           (   )
(4)数列a,2a,3a,4a，…                          (   )
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幻灯片  6【解析】(1)(4)中从第二项开始，每一项与前一项的差为同一常数；而(2)(3)中从第二项开始,每一项与前一项的差并不是同一常数，故(1)(4)为等差数列，(2)(3)不是.
答案：(1)是  (2)否  (3)否  (4)是
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幻灯片  72.等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为
an=__________.
a1+(n-1)d
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幻灯片  8【即时应用】
(1)思考：公差d与数列{an}的单调性有什么关系？
提示：当d>0时，{an}为递增数列；当d<0时，{an}为递减数列；当d=0时，{an}为常数列.
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幻灯片  9(2)在等差数列{an}中，a5=10,a12=31,则数列的通项公式为________.
【解析】∵a5=a1+4d,a12=a1+11d,

∴an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)×3=3n-5.
答案：an=3n-5
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幻灯片  10(3)等差数列10，7，4，…的第20项为_____.
【解析】由a1=10,d=7-10=-3,n=20,得
a20=10+(20-1)×(-3)=-47.
答案：-47
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幻灯片  113.等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么__叫
作a与b的等差中项.
A
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幻灯片  12【即时应用】
(1)       是a，A，b成等差数列的________条件.
(2)若等差数列{an}的前三项依次为a,2a+1,4a+2,则它的第五项为________.
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幻灯片  13【解析】(1)若         可知2A=a+b,可推出A-a=b-A,所以
a,A,b成等差数列；反之，若a,A,b成等差数列，则        故
        是a，A，b成等差数列的充要条件.
(2)由题意知2a+1是a与4a+2的等差中项，即2a+1= 
解得a=0,故数列{an}的前三项依次为0，1，2，则a5=0+4×1=4.
答案：(1)充要   (2)4 
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幻灯片  144.等差数列的前n项和公式
(1)已知等差数列{an}的首项a1和第n项an,则其前n项和公式
Sn=_________.
(2)已知等差数列{an}的首项a1与公差d，则其前n项和公式
Sn=_____________.
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幻灯片  15【即时应用】
(1)在等差数列{an}中，a1=5,an=95,n=10,则Sn=_______.
(2)在等差数列{an}中，a1=100,d=-2,n=50,则Sn=______.
(3)在等差数列{an}中，d=2,n=15,an=-10,则Sn=________.
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幻灯片  16【解析】(1)
(2)
=50×(100-49)=2 550.
(3)由an=a1+(n-1)d得,
-10=a1+(15-1)×2,解得a1=-38,


答案：(1)500     (2)2 550     (3)-360 
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幻灯片  17                  等差数列的基本运算
【方法点睛】1.等差数列运算问题的通法
等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
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幻灯片  182.等差数列前n项和公式的应用方法
等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n、首项a1和第n
项an，则利用             如果已知项数n、首项a1和公差d，
则利用                在求解等差数列的基本运算问题时，
有时会和通项公式结合使用.
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幻灯片  19【例1】(1)(2011·广东高考)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=______.
(2)(2011·湖北高考)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_____升.
(3)(2011·福建高考)已知等差数列{an}中，a1=1,a3=-3.
①求数列{an}的通项公式；
②若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.
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幻灯片  20【解题指南】(1)根据S9=S4求公差d，利用ak+a4=0求k.
(2)转化为关于a1,d的方程组，先求a1,d,再求a5，或直接转化为关于a5,d的方程组求解.
(3)求出公差d后直接写出an，求出Sn，根据Sk=-35求k的值.
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幻灯片  21【规范解答】(1)∵S4=S9,




答案：10
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幻灯片  22(2)方法一：设自上第一节竹子容量为a1,依次类推，数列{an}为等差数列.
又a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,
a7+a8+a9=3a1+21d=4,解得
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幻灯片  23方法二：设自上第一节竹子容量为a1，依次类推,则第九节容量为a9,且数列{an}为等差数列.
a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,
即4a5-10d=3		①
3a5+9d=4		②
联立①②解得a5=
答案：
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幻灯片  24(3)①设等差数列{an}的公差为d，
由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3，解得d=-2.
从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.
②由①知an=3-2n,

由Sk=-35得2k-k2=-35.
即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5.
又k∈N+,故k=7.
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幻灯片  25【互动探究】本例(3)中，若将“a1=1,a3=-3”改为“a1=31,
S10=S22”，试求
①Sn;
②这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值.
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幻灯片  26【解析】①∵S10=a1+a2+…+a10,
S22=a1+a2+…+a22，又S10=S22，
∴a11+a12+…+a22=0，
              即a11+a22=2a1+31d=0,
又a1=31,∴d=-2,
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幻灯片  27②方法一：由①知Sn=32n-n2,
∴当n=16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256.
方法二：由Sn=32n-n2=n(32-n),欲使Sn有最大值，应有1<n<32,
从而
当且仅当n=32-n，即n=16时，Sn有最大值256.
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幻灯片  28方法三：a1=31,d=-2,
an=31+(n-1)×(-2)
=31-2n+2=33-2n.
设前n项和最大,则
15.5≤n≤16.5,
∴n=16时,Sn有最大值.
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幻灯片  29【反思·感悟】1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1,an,d,n,Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程解决问题的思想.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
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幻灯片  30【变式备选】在等差数列{an}中，
(1)已知a15=33,a45=153,求a66;
(2)已知S8=48,S12=168,求a1和d；
(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.
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幻灯片  31【解析】(1)方法一：设首项为a1,公差为d，依题意条件得

∴a66=-23+(66-1)×4=237.
方法二：由
由an=am+(n-m)d,得
a66=a45+(66-45)×4=237.
(2)∵Sn=na1+
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幻灯片  32(3)∵a6=10,S5=5,

∴a8=a1+7d=-5+7×3=16,
S8=8a1+28d=8×(-5)+28×3=44.
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幻灯片  33                   等差数列的判定
【方法点睛】等差数列的判定方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N+)成立；
(3)通项公式法：验证an=pn+q；
(4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.
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幻灯片  34【提醒】判定方法中的(1)(2)可作为证明等差数列的方法，(3)(4)只能作为定性判断等差数列的方法. 
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幻灯片  35【例2】已知数列{an}中，              (n≥2,n∈N+),数列
{bn}满足        (n∈N+).
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.
【解题指南】利用定义法证明数列{bn}是等差数列；先求bn，再求an,最后利用函数的单调性求最大项和最小项.
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幻灯片  36【规范解答】(1)∵          (n≥2,n∈N+)，





∴数列{bn}是以   为首项，以1为公差的等差数列.
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幻灯片  37(2)由(1)知
设              则f(x)在区间(-∞,  )和(   +∞)上为减函
数.
∴当n=3时，an取得最小值-1，当n=4时，an取得最大值3.故最
大项为a4,最小项为a3.
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幻灯片  38【反思·感悟】本例中在用定义法证明{bn}是等差数列时，不论用bn+1-bn还是用bn-bn-1,需要考虑运算中是否包含了b2-b1这一运算,这是容易被忽视的问题.
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幻灯片  39【变式训练】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn-1
=0(n≥2),a1=   求证：{   }是等差数列.
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幻灯片  40【证明】∵an=Sn-Sn-1,且an+2Sn·Sn-1=0(n≥2)，
∴Sn-Sn-1+2Sn·Sn-1=0(n≥2)，
又Sn≠0，

∴数列{   }是以2为首项，2为公差的等差数列.
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幻灯片  41                  等差数列的性质及应用
【方法点睛】等差数列的常见性质
(1)若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak.
(2)若{an},{bn}都是等差数列，k,m∈R,数列{kan+mbn}仍为等
差数列.
(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍为等差数列.
(4)am=an+(m-n)d⇔d=       (m≠n).
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幻灯片  42(5)项数为偶数2n的等差数列{an}:
①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1).
②S偶-S奇=nd,
(6)项数为奇数(2n+1)的等差数列{an}:
①S2n+1=(2n+1)an+1.②
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幻灯片  43【例3】(1)(2011·辽宁高考)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1,则a5=________.
(2)(2012·宝鸡模拟)等差数列{an}的前17项和S17=51，则a5-a7+a9-a11+a13=________.
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn=324(n>6),求数列{an}的项数及a9+a10.
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幻灯片  44【解题指南】(1)根据S2=S6，先求a4+a5的值，再求a5.
(2)根据性质知a1+a17=a7+a11=a5+a13=2a9求解.
(3)根据前6项与最后6项的和求出a1+an,再求n及a9+a10.
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幻灯片  45【规范解答】(1)∵S2=S6，
∴S6-S2=a3+a4+a5+a6=0，
∴2(a4+a5)=0,即a4+a5=0，
∴a5=-a4=-1.
答案：-1
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幻灯片  46(2)∵数列{an}为等差数列，且S17=51，
∴          =51,即a1+a17=6，
∴a5-a7+a9-a11+a13
=(a5+a13)-(a7+a11)+a9
=6-6+3=3.
答案：3
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幻灯片  47(3)由题意知a1+a2+…+a6=36      ①
an+an-1+an-2+…+an-5=180         ②
①+②得
(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216，∴a1+an=36,
又
∴18n=324,∴n=18.
∴a1+a18=36,
∴a9+a10=a1+a18=36.
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幻灯片  48【互动探究】若本例(1)条件不变，改为求此等差数列的前多少项的和最大，并求出最大值.
【解析】在本例(1)中已求解出a5=-1,
又a4=1,得公差d=-2,∴前4项的和最大,且S4=1+3+5+7=16.
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幻灯片  49【反思·感悟】1.在等差数列{an}中，若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak是常用的性质，本例(1)、(2)、(3)题都用到了这个性质，在应用此性质时，一定要观察好每一项的下标规律，不要犯a2+a5=a7的错误.
2.本例(2)也可先求a1与d的关系，然后求解,但不如用性质简单.
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幻灯片  50【变式备选】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am-1+am+1-am2
=0,S2m-1=38, 求m的值.
【解析】∵am-1+am+1=2am,
∴am-1+am+1-am2=2am-am2=0，
解得am=0或am=2.
又∵a1+a2m-1=2am,

∴am≠0,am=2,
∴2m-1=19,解得m=10. 
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幻灯片  51【满分指导】等差数列主观题的规范解答
【典例】(12分)(2012·广州模拟)已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令         (n∈N+)，求数列{bn}的前n项和Tn.
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幻灯片  52【解题指南】分析题意知，对本题(1)可列方程组求解；
(2)将an代入bn后，表示出bn是解题关键.
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幻灯片  53【规范解答】(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a3=7，a5+a7=26，所以有

解得a1=3,d=2，………………………………………………3分
所以an=3+2(n-1)=2n+1, 
                       ………………………………… 6分
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幻灯片  54(2)由(1)知an=2n+1，
所以
              ………………………………………………9分
所以
                     ……………………………………11分
即数列{bn}的前n项和              ……………………12分
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幻灯片  55【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片  56----
幻灯片  571.(2011·大纲版全国卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=(    )
(A)8		(B)7		(C)6		(D)5
【解析】选D.∵Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2+(2k+1)×2=24，∴k=5.
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幻灯片  582.(2011·天津高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，n∈N+,若a3=16,S20=20,则S10的值为________.
【解析】由题意知


答案：110
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幻灯片  593.(2011·重庆高考)在等差数列{an}中，a3+a7=37,则a2+a4+
a6+a8=_____.
【解析】∵a2+a8=a4+a6=a3+a7=37，
∴a2+a4+a6+a8=37×2=74.
答案：74
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幻灯片  604.(2012·郑州模拟)f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
(1)求f(  )和f(  )+f(    )(n∈N+)的值;
(2)数列{an}满足：an=f(0)+f(  )+f(  )+…+f(    )+f(1)，
数列{an}是等差数列吗？请给予证明;
(3)令                                       试比较Tn与
Sn的大小.
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幻灯片  61【解析】(1)因为
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幻灯片  62

两式相加得2an=［f(0)+f(1)］+［f(  )+f(    )］+…+
［f(1)+f(0)］=
所以
又
故数列{an}是等差数列.
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幻灯片  63(3)





所以Tn≤Sn.
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幻灯片  64----
幻灯片  65----
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