幻灯片 1第三节 等比数列
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幻灯片 2三年18考 高考指数:★★★
1.理解等比数列的概念，了解等比数列与指数函数的关系.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
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幻灯片 31.在考试内容上常以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定.重点考查通项公式、前n项和公式，同时考查等差、等比数列的综合应用.
2.在考试形式上主要以选择题、填空题为主,考查等比数列的性质及其应用.
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幻灯片 41.等比数列的定义
(1)条件：一个数列从第2项起，_______________________都
等于同一个常数.
(2)公比：是指_____，通常用字母q表示(q≠0).
(3)定义表达式: =q(n∈N+,q≠0).
每一项与它的前一项的比
常数
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幻灯片 5【即时应用】
判断下列数列是否为等比数列.(请在括号中填“是”或“否”)
(1)数列0,0,0,0,0,… ( )
(2)数列1,1,2,4,8,16,32,… ( )
(3)数列a,a,a,a,a,… ( )
(4)数列1,-1,1,-1,1,… ( )
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幻灯片 6【解析】(1)不是.等比数列中的项不能为0.
(2)第二项与第一项的比值不等于常数2,故不是等比数列.
(3)当a=0时,不满足等比数列的概念,故不一定是等比数列.
(4)是等比数列.
答案：(1)否 (2)否 (3)否 (4)是
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幻灯片 72.等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,则其通项公式为
_____________________.
an=a1qn-1(a1≠0，q≠0)
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幻灯片 8【即时应用】
(1)等比数列 的第11项为_____.
(2)在等比数列{an}中，若a3=2,a6=16，则数列的通项公式为_______.
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幻灯片 9【解析】
(2)设等比数列的公比为q，则
答案：
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幻灯片 103.等比中项
如果在a与b中插入一个数G，使得a,G,b成等比数列，那么称G
为a，b的等比中项，且有G=______.
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幻灯片 11【即时应用】
(1)b2=ac是a、b、c成等比数列的_______条件.
(2)若等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4，则它的第5项为_______.
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幻灯片 12【解析】(1)当a=0,b=0,c=1时，满足b2=ac,但a、b、c不成等
比数列,反之，若a、b、c成等比数列，则必有b2=ac,故b2=ac是
a、b、c成等比数列的必要不充分条件.
(2)由题意知(a+1)2=(a-1)(a+4),
解得a=5,
答案：(1)必要不充分 (2)
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幻灯片 134.等比数列的前n项和公式
(1)当公比q=1时,Sn=____;
(2)当公比q≠1时,Sn=__________=________.
na1
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幻灯片 14【即时应用】
(1)在等比数列{an}中，a1=2.4,q=-1.5，则S5=______；
(2)在等比数列{an}中，a1=8, 则Sn=______;
(3)设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn，则 =______.
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幻灯片 15【解析】
答案：
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幻灯片 16 等比数列的基本运算
【方法点睛】1.等比数列运算的通法
等比数列运算问题的一般方法是设出首项和公比，然后根据通项公式或前n项和公式转化为方程组求解.
2.等比数列前n项和公式的应用
在使用等比数列的前n项和公式时，应首先判断公比q能否为1，若能，应分q=1与q≠1两种情况求解.
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幻灯片 17【提醒】在运算过程中，应善于运用整体代换的思想简化运算的过程.
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幻灯片 18【例1】(1)(2012·宿州模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,a1=3,前三项和S3=21,则a1+a4+a5=( )
(A)2 (B)33 (C)75 (D)189
(2)(2011·大纲版全国卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
【解题指南】(1)根据a1=3，S3=21求得公比q.
(2)建立关于a1和q的方程组，求出a1和q后再求an和Sn.
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幻灯片 19【规范解答】(1)选C.
设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
∵S3=21,a1=3，
∴1+q+q2=7,即q2+q-6=0，
∴q=2或q=-3(舍)，
∴a1+a4+a5=3×(1+23+24)=3×(1+8+16)=75.
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幻灯片 20(2)设{an}的公比为q，由题意得
当a1=3,q=2时，an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1);
当a1=2,q=3时，an=2×3n-1,Sn=3n-1.
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幻灯片 21【互动探究】本例(2)中,若将“a2=6,6a1+a3=30”改为“a1+a2=12,a2a4=1”，试求an和Sn.
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幻灯片 22【解析】设等比数列{an}的公比为q，
由题意知
当a1=9,q= 时,an=9×( )n-1=33-n,
Sn= (27-33-n).
当a1=16,q= 时,an=16×( )n-1=(-1)n-143-n,
Sn= ［64-(-1)n×43-n］.
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幻灯片 23【反思·感悟】1.本例(2)有两组解，在求解过程中，要注意根据题意确定解的个数.
2.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.
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幻灯片 24【变式备选】1.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn=93，
an=48，公比q=2，则项数n=_______.
【解析】由Sn=93，an=48，公比q=2，根据等比数列的前n项和
公式和通项公式可得
答案：5
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幻灯片 252.已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.
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幻灯片 26【解析】方法一：设前2个数分别为a，b,则第3、4个数分别为
36-b,37-a，则
所以这四个数分别为12,16,20,25或者
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幻灯片 27方法二：设第2、3个数分别为b,c，则第1个数为2b-c，第4个
数为 则
所以这四个数分别为12,16,20,25或者
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幻灯片 28方法三：设第1、3个数分别为a,c，则第2、4个数分别为
然后根据题意可知
从而解得这四个数分别为12,16,20,25或者
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幻灯片 29 等比数列的判定与证明
【方法点睛】等比数列的判定方法
(1)定义法：若 (q为非零常数,n∈N+)或 (q为非
零常数且n≥2,n∈N+)，则{an}是等比数列.
(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且an+12=an·an＋2
(n∈N+)，则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c·qn(c，q均是不
为0的常数，n∈N+)，则{an}是等比数列.
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幻灯片 30(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列.
【提醒】前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.
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幻灯片 31【例2】设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列.
(2)在(1)的条件下证明{ }是等差数列,并求an.
【解题指南】(1)利用Sn+1=4an+2，寻找bn与bn-1的关系.
(2)先求bn，再证明数列{ }是等差数列，最后求an.
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幻灯片 32【规范解答】(1)由a1=1,及Sn+1=4an+2,
有a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,
∴b1=a2-2a1=3.
由Sn+1=4an+2 ①
知当n≥2时，有Sn=4an-1+2 ②
①-②得an+1=4an-4an-1，
∴an+1-2an=2(an-2an-1).
又∵bn=an+1-2an，∴bn=2bn-1,
∴{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.
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幻灯片 33(2)由(1)可得bn=an+1-2an=3·2n-1,
∴数列{ }是首项为 公差为 的等差数列.
an=(3n-1)·2n-2.
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幻灯片 34【反思·感悟】在证明本题时，首先利用转化的思想，把
Sn+1=4an+2转化为an+1与an的关系，然后作商
在作商时，无论使用 还是 都要考虑比值中是否包含
了 这一项，这是很容易被忽视的地方.
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幻灯片 35【变式训练】数列{an}的前n项和为Sn，若an+Sn=n,cn=an-1，求证:数列{cn}是等比数列.
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幻灯片 36【证明】∵an+Sn=n,
∴a1+S1=1,得a1=
∴c1=a1-1=
又an+1+Sn+1=n+1,
∴2an+1-an=1,即2(an+1-1)=an-1,
∴数列{cn}是以 为首项，以 为公比的等比数列.
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幻灯片 37 等比数列的性质及应用
【方法点睛】等比数列的常见性质
(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N+),则am·an=ap·aq=ak2;
(2)通项公式的推广：an=am·qn-m(m,n∈N+);
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan},
{ },{an2},{an·bn},{ }(λ≠0)仍然是等比数列;
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数
列，即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列，公比为qk;
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幻灯片 38(5)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为-1时，Sn,
S2n-Sn,S3n-S2n不一定构成等比数列.
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幻灯片 39【例3】(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1·a2·a3=
5,a7·a8·a9=10，则a4·a5·a6=( )
(A) (B)7 (C)6 (D)
(2)已知等比数列{an}满足an＞0，n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n
(n≥3)，则log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于( )
(A)n(2n-1) (B)(n+1)2
(C)n2 (D)(n-1)2
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幻灯片 40【解题指南】(1)利用a1·a2·a3,a4·a5·a6,a7·a8·a9成等比
数列求解.
(2)根据a5·a2n-5=an2先求an，再代入求解.
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幻灯片 41【规范解答】(1)选A.∵a1·a2·a3,a4·a5·a6,a7·a8·a9成等比数列,
∴(a4·a5·a6)2=(a1·a2·a3)(a7·a8·a9)=50,
又an＞0,∴a4·a5·a6=
(2)选C.∵a5·a2n-5=an2=22n且an＞0,
∴an=2n,∴a2n-1=22n-1,∴log2a2n-1=2n-1,
∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+5+…+(2n-1)=n2.
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幻灯片 42【互动探究】若本例第(1)题条件改为“a1+a2+a3=40,a4+a5+
a6=20”,求数列{an}的前9项之和.
【解析】∵(a1+a2+a3),(a4+a5+a6),(a7+a8+a9)成等比数列,
∴a7+a8+a9=40×( )2=10,
∴S9=40+20+10=70.
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幻灯片 43【反思·感悟】1.解答本例(1)时,也可用整体代入的方法求解,但不如用等比数列的性质简单.
2.利用等比数列的性质解决问题时,一定要注意每一项的下标,不要犯a2·a5=a7的错误.
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幻灯片 44【变式备选】在等比数列{an}中，an＞0，若(2a4+a2+a6)a4
=36，则a3+a5=_____.
【解析】∵{an}是等比数列,an＞0,
∴a3+a5=6.
答案：6
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幻灯片 45【创新探究】等比数列与三角函数相结合的创新题
【典例】(2011·福建高考)已知等比数列{an}的公比q=3,前3
项和S3=
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若函数f(x)=Asin(2x+φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x= 处取得
最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式.
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幻灯片 46【解题指南】(1)先求a1，再求an.
(2)先求出a3，从而A可知，再根据f(x)的图像过点( A),求
φ.
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幻灯片 47【规范解答】(1)由
解得a1=
∴an= ×3n-1=3n-2.
(2)由(1)知an=3n-2,∴a3=3.
∵函数f(x)的最大值为3,所以A=3.
∵当x= 时,f(x)取得最大值,
∴sin(2× +φ)=1.
又0＜φ＜π,∴φ=
∴函数f(x)的解析式为f(x)=3sin(2x+ ).
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幻灯片 48【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨和备考建议：
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幻灯片 49----
幻灯片 501.(2011·辽宁高考)若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为
( )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
【解析】选B.因为等比数列{an}满足anan+1=16n ①
所以an+1an+2=16n+1 ②
②÷①得q2=16.又因为anan+1=16n＞0,所以q=4.
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幻灯片 512.(2011·广东高考)已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4，则此数列的公比q=______.
【解析】由a4-a3=4得a2q2-a2q=4,
又a2=2,∴2q2-2q=4,
即q2-q-2=0.
又{an}是递增等比数列,∴q＞1,∴q=2.
答案：2
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幻灯片 523.(2011·北京高考)在等比数列{an}中，若a1= ,a4=-4，则
公比q=_______;|a1|+|a2|+…+|an|=________.
【解析】∵
∴
∴
答案：
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幻灯片 53----
幻灯片 54----
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