<html><title>电子备课系统教学资源-20130511214021359</title><link rel="stylesheet" href="../css/css.css" type="text/css" media="all" /><body><div id="thistop"></div>幻灯片  1第二节   一元二次不等式
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幻灯片  2三年11考  高考指数:★★★
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；
2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系；
3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 
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幻灯片  31.以考查一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图像与性质等知识；
2.以集合为载体，考查一元二次不等式的解法及集合的运算；
3.以函数、数列、解析几何为载体，以二次不等式的解法为手段，考查求参数的范围问题；
4.以选择题、填空题为主，有时穿插于解答题中考查，难度中等. 
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幻灯片  41.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
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幻灯片  5【即时应用】
(1)思考：①不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R的条件是什
么？
②不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为Ø的条件是什么？
提示： 
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幻灯片  6(2)不等式2x+3-x2＞0的解集是________.
【解析】原不等式等价于x2-2x-3＜0,
即(x+1)(x-3)＜0,即-1＜x＜3.
答案：(-1,3)
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幻灯片  7(3)设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|-1＜x＜   },则ab的值为_______.
【解析】由题意可知a＜0,且-1,  是方程ax2+bx+1=0的两个根.
故            解得        ∴ab=6.
答案：6
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幻灯片  8(4)函数y=          的定义域是_______.
【解析】由x2+x-12≥0,即(x+4)(x-3)≥0,
得x≤-4或x≥3.
答案：(-∞,-4]∪[3,+∞)
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幻灯片  92.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程
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幻灯片  10【即时应用】
思考：上述不等式中a＞0,若a＜0时解集的情况又将如何？
提示：若a＜0,则一般先将不等式进行转化，使x2的系数转化为正后再求解,但一定要注意转化过程中不等号的变化，Δ≤0时解集为Ø,Δ＞0时解集为{x|x1＜x＜x2}.
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幻灯片  11                  一元二次不等式、简单的高次不等式及分式不等式的解法
【方法点睛】
1.解一元二次不等式的一般步骤
(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集.
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幻灯片  12注意：也可以这样解一元二次不等式，首先将二次项系数转化为正数，再看能否因式分解，若能，则可得方程的两根，且大于号取两边，小于号取中间；若不能，当Δ≥0时，利用求根公式求解方程的根，然后写出解集.
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幻灯片  132.用“穿针引线法”解高次不等式的步骤
(1)将原不等式化为                          (或<0)的形
式；
(2)各因式中x的系数必须为正；
(3)求相应方程的根，并在数轴上从小到大排列起来；
(4)“穿针引线”，对于偶次重解，线穿而不过；对于奇次重
解，线穿而过；
(5)根据图形写出不等式的解集. 
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幻灯片  143.解分式不等式的策略
解分式不等式的思想是将分式不等式转化为等价的整式不等式(或整式不等式组)，通过解整式不等式(组)去求解.
【提醒】当不等式的系数为字母时，需要对字母进行分类讨论. 
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幻灯片  15【例1】(1)已知函数f(x)=                解不等式
f(x)>3．
(2)解不等式:(x+4)(x+5)2(2-x)<0.
(3)解不等式:             .
(4)解不等式:12x2-ax＞a2(a∈R).
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幻灯片  16【解题指南】(1)对x分x≥0、x<0进行讨论，从而把f(x)>3变成两个不等式组.(2)是一元高次不等式，可用“穿针引线法”求解.(3)可由分式不等式转化为整式不等式求解.(4)将不等式转化后进行因式分解，比较两根大小分类求解.
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幻灯片  17【规范解答】(1)因为        
所以f(x)>3⇒           或       
⇒               或         
⇒             或     
所以原不等式的解集为{x|x>1}. 
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幻灯片  18(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)>0,
可用“穿针引线法”(如图所示)


∴原不等式解集为{x|x<-5或-5<x<-4或x>2}.
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幻灯片  19(3)原不等式等价于 
⇒          ≤0⇒               ≤0
⇒            ≤0⇒            ≥0
⇒  
用“穿针引线法”可得
原不等式解集为(-∞，-2)∪［-1，2)∪［6，+∞).
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幻灯片  20(4)原不等式可化为12x2-ax-a2＞0⇔(4x+a)(3x-a)＞0,
令(4x+a)(3x-a)=0得x1=-   ,x2=   .
①a＞0时,-   ＜  ,此时不等式等价于x＜-  或x＞  .
②a=0时,此时不等式等价于x2＞0⇔x≠0.
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幻灯片  21③a＜0时,-  ＞  ,此时不等式等价于x＜  或x＞-  .
综上所述,当a＞0时,不等式的解集为(-∞,-   )∪(  ,+∞);
当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);
当a＜0时,不等式的解集为(-∞,  )∪(-  ,+∞).
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幻灯片  22【互动探究】若本例(1)中函数解析式不变，不等式变为f(x)<3x+2，又该如何求解？
【解析】f(x)<3x+2
⇒             或         
⇒             或    
⇒           或      ⇒
0≤x<2或x<0⇒x<2.
所以原不等式的解集为{x|x<2}.
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幻灯片  23【反思·感悟】1.对于本例(4)中分类讨论后,在写不等式解集时,也可以将a=0的情况与a＞0或a＜0结合起来写.如可写为a≥0时不等式的解集为(-∞,-  )∪(  ,+∞),a＜0时不等式的解集为(-∞,  )∪(-  ,+∞).
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幻灯片  242.含参数的不等式解法：
解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次，一般按下列次序进行讨论：(1)根据二次项系数的符号进行分类，(2)根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，(3)若根存在时，根据根的大小进行分类讨论.讨论时对字母的范围需要做到不重不漏.
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幻灯片  25【变式备选】解下列不等式：
(1)10x-1≥25x2
(2)(1-ax)2＜1
(3)(x2-1)(x2-6x+8)≥0
【解析】(1)原不等式等价于25x2-10x+1≤0⇔(5x-1)2≤0,
∴只有当5x-1=0，即x=  时，不等式成立.
故不等式的解集为{x|x=  }.
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幻灯片  26(2)由(1-ax)2<1得
a2x2-2ax+1<1,即ax(ax-2)<0.
①当a=0时，不等式转化为0<0，故无解.
②当a<0时，不等式转化为x(ax-2)>0,
即x(x-  )<0.∵  <0,
∴不等式的解集为{x|  <x<0}.
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幻灯片  27③当a>0时，原不等式可化为x(ax-2)<0,又  >0,
∴原不等式的解集为{x|0<x<  }.
综上所述，当a=0时，原不等式的解集为Ø；
当a<0时，原不等式的解集为{x|  <x<0};
当a>0时，原不等式的解集为{x|0<x<  }.
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幻灯片  28(3)方法一：由(x2-1)(x2-6x+8)≥0可得
        
 或
由①解得x≥4或1≤x≤2或x≤-1,
由②解得x∈Ø.
∴原不等式解集为{x|x≤-1或1≤x≤2或x≥4}.
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幻灯片  29方法二：将原不等式变形为
(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)≥0.
令f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)=0,
各因式解依次为-1，1，2，4，
结合图形，可得原不等式的解集为{x|x≤-1或1≤x≤2或x≥4}.
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幻灯片  30                  一元二次不等式恒成立问题
【方法点睛】恒成立问题及二次不等式恒成立的条件
(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.
(2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.
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幻灯片  31(3)一元二次不等式恒成立的条件
①ax2+bx+c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2-4ac＜0(x∈R).
②ax2+bx+c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2-4ac
＜0(x∈R).
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幻灯片  32【例2】已知不等式mx2-2x-m+1＜0，
(1)若对任意实数x不等式恒成立,求m的取值范围.
(2)若对一切m∈[-2,2]不等式恒成立,求x的取值范围.
【解题指南】(1)讨论m的情况,结合二次函数图像求解.
(2)变换主元将其看成关于m的一元一次不等式,利用其定义范围[-2,2]求参数x的取值范围.
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幻灯片  33【规范解答】(1)不等式mx2-2x-m+1＜0恒成立,
即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图像全部在x轴下方.
当m=0时,不等式变为1-2x＜0，对任意实数x不恒成立,故m＝0
不满足；
当m≠0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足图像开口
向下且方程mx2-2x-m+1＝0无解,                  则m无解.
综上可知不存在符合条件的m使不等式恒成立.
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幻灯片  34(2)设g(m)=(x2-1)m+(1-2x),
当x2-1=0时，即x=±1,检验得x=1时符合题意,
当x2≠1时,则其为一个以m为自变量的一次函数,其图像是直线,
由题意知该直线当-2≤m≤2时在x轴下方,∴         
即
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幻灯片  35解①,得x＜       或x＞        ,
解②,得      ＜x＜      .
由①②,得       ＜x＜      ,且x≠1,
综上得x的取值范围为{x|       ＜x＜      }.
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幻灯片  36【反思·感悟】解决不等式恒成立问题,通常有两种思路：
(1)转化成含有参数的不等式,借助对应函数图像,找到满足题目要求的条件,构造含参数的不等式(组)，求得参数范围；
(2)分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围.
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幻灯片  37【变式训练】已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.
【解析】方法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图像的对称轴为直线x=a.
①当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,
f(x)min=f(-1)=2a+3.
要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2a+3≥a,解得
-3≤a＜-1.
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幻灯片  38②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,
要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2-a2≥a,
解得-1≤a≤1.
综上所述,a的取值范围为[-3,1].
方法二：令g(x)=x2-2ax+2-a,
由已知得x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立,
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幻灯片  39即Δ=4a2-4(2-a)≤0,
即a2+a-2≤0，得-2≤a≤1.
或           即            得-3≤a<-2.
综上得-3≤a≤1,即实数a的取值范围是[-3,1].
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幻灯片  40                 一元二次不等式的实际应用
【方法点睛】解不等式应用题的一般步骤
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幻灯片  41【例3】汽车在行驶中,由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.
在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象？
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幻灯片  42【解题指南】由题意只需利用刹车距离与车速的关系，与实际刹车距离构建不等关系求解即可.
【规范解答】由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2＞12,即x2+10x-1 200＞0,
解得x＞30,或x＜-40(不合实际意义,舍去).
这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过
12 m,由此估计甲车车速没有超过限速40 km/h.
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幻灯片  43对于乙车,有0.05x+0.005x2＞10,
即x2+10x-2 000＞0,
解得x＞40,或x＜-50(不合实际意义,舍去).
这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.
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幻灯片  44【反思·感悟】不等式应用题多是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题,本题即是利用一元二次不等式解决现实生活中常见的交通事故责任调查与取证的问题,其关键是正确确定不等关系.
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幻灯片  45【变式训练】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每销售收入100元纳税8元(称税率为8个百分点，即8%).为了减轻农民负担，决定降低税率.根据市场规律，税率降低x(x>0)个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
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幻灯片  46【解析】设税率调低后的税收总收入为y元，则
y=2 400m(1+2x%)×(8-x)%
=-   m(x2+42x-400).
由题意知，0<x≤8,要使税收总收入不低于原计划的78%，有y≥2 400m×8%×78%,
整理得x2+42x-88≤0,解得-44≤x≤2,
又0<x≤8,∴0<x≤2,所以x的取值范围是(0,2］. 
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幻灯片  47【创新探究】一元二次不等式在二元二次方程中的应用 
【典例】(2011·浙江高考)设x、y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是________.
【解题指南】由题意可设出方程2x+y=t,则此方程所表示的直线应与4x2+y2+xy=1所表示的曲线有交点，即联立方程消元后有解,从而可得t的范围,从而本题获解.
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幻灯片  48【规范解答】设2x+y=t,∴y=t-2x，代入4x2+y2+xy=1整理得6x2-3tx+t2-1=0,则此方程应有解,
即Δ=9t2-4×6×(t2-1)≥0,
即t2≤  ,解得：
则2x+y的最大值为
答案： 
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幻灯片  49【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨与备考建议：
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幻灯片  50----
幻灯片  511.(2011·山东高考)设集合M＝{x|(x+3)(x-2)＜0},N={x|1≤
x≤3},则M∩N=(   )
(A)[1,2)          (B)[1,2]
(C)(2,3]          (D)[2,3]
【解析】选A.由集合M＝{x|(x+3)(x-2)＜0}={x|-3＜x＜2},集合N＝{x|1≤x≤3},∴M∩N={x|1≤x＜2},即为[1,2).
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幻灯片  522.(2011·江西高考)若集合A＝{x|-1≤2x+1≤3},B＝{x|
≤0},则A∩B＝(    )
(A){x|-1≤x＜0}		(B){x|0＜x≤1}
(C){x|0≤x≤2}		(D){x|0≤x≤1}
【解析】选B.∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0＜x≤2},
∴A∩B={x|0＜x≤1}.
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幻灯片  533.(2011·福建高考)若关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(   )
(A)(-1,1)
(B)(-2,2)
(C)(-∞,-2)∪(2,+∞)
(D)(-∞,-1)∪(1,+∞)
【解析】选C.∵方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根,
∴Δ=m2-4＞0,∴m＞2或m＜-2.
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幻灯片  544.(2012·长春模拟)已知不等式x2+ax+4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________.
【解析】由题意可得Δ=a2-16>0，即a>4或a<-4.
答案：{a|a>4或a<-4}
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幻灯片  55----
幻灯片  56----
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