幻灯片 1第三节 基本不等式
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幻灯片 2三年8考 高考指数:★★★
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
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幻灯片 31.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.
2.对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.
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幻灯片 41.基本不等式： ≤
(1)基本不等式成立的条件是________.
(2)等号成立的条件是：当且仅当______时取等号.
(3)其中 称为正数a,b的___________， 称为正数a，b的
___________.
a>0,b>0
a=b
算术平均数
几何平均数
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幻灯片 5【即时应用】
判断下列不等式是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R) ( )
(2)ab≤( )2(a，b∈R) ( )
(3)( )2≤ (a,b∈R) ( )
(4) ≥2(a,b均不为零) ( )
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幻灯片 6【解析】(1)由(a-b)2≥0得a2+b2-2ab≥0，
即a2+b2≥2ab，故(1)正确.
(2)由(1)可知a2+b2≥2ab，
即a2+b2+2ab≥4ab,
即(a+b)2≥4ab,
即 故(2)正确.
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幻灯片 7(3)由 ≤0,故(3)正确.
(4)若a,b异号，如a=-1,b=1,则 =-2<2,
故(4)错.
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
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幻灯片 82.利用基本不等式求最值
(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b为
正实数，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤ ，等号当且仅当
_____时成立.(简记：和定积最大)
(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b为
正实数，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥_____，等号当且仅当
_____时成立.(简记：积定和最小)
a＝b
a＝b
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幻灯片 9【即时应用】
(1)已知x+3y=2(x,y为正实数)，则xy的最大值为_______.
(2)函数f(x)= 的最大值为_______.
(3)已知m>0,n>0且mn≥81，则m+n的最小值为______.
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幻灯片 10【解析】(1)由2=x+3y≥2 ,得 ,
故xy≤ ，等号当且仅当x=1,y= 时取得.
(2)∵x≥0，①当x=0时，f(0)=0；
②当x＞0时，f(x)= ,
当且仅当 ，即x=1时取等号.
所以f(x)的最大值为 .
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幻灯片 11(3)∵m＞0,n＞0,mn≥81,
∴ ≥9,
∴m+n≥2 ≥18，
故m+n的最小值为18.
答案：(1) (2) (3)18
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幻灯片 12 利用基本不等式求最值
【方法点睛】应用基本不等式求最值应注意的类型
(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式.
(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等.
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幻灯片 13(3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.
【提醒】应用基本不等式注意不等式的条件.若多次应用基本不等式要注意等号需同时成立.
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幻灯片 14【例1】(1)若x>-3，则x+ 的最小值为_______.
(2)已知a，b为正实数且a+b=1，则(1+ )(1+ )的最小值为
_______.
【解题指南】(1)将原式等价变形构造出应用基本不等式形式
可解.
(2)将 与 中的1用a+b代换整理后利用基本不等式可求.
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幻灯片 15【规范解答】(1)由x>-3得x+3>0,
又x+ =x+3+ -3≥2 -3，等号成立的条件是
x+3= ,即x= -3.
答案：2 -3
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幻灯片 16(2)∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+ =1+ =2+ ,同理1+ =2+ ,
∴(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ )=5+2( + )≥5+4=9,等号成立
的条件为a=b= .
答案：9
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幻灯片 17【互动探究】若将本例(1)中x>-3去掉，而求x+ 的取值范
围，又将如何求解？
【解析】分情况讨论，由题意得x≠-3,
①当x>-3时，由例题可知
x+ ≥2 -3.
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幻灯片 18②当x<-3时，x+3<0，故-(x+3)>0,
x+ =x+3+ -3
=-［-(x+3)+ ］-3≤-2 -3，
等号成立的条件是x=- -3.
故x+ 的取值范围是(-∞,-2 -3］∪［2 -3,+∞).
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幻灯片 19【反思·感悟】1.利用基本不等式求最值的关键在于凑“和”或“积”为定值.
2.使用基本不等式时容易忽视的是不等式成立的条件.
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幻灯片 20【变式备选】1.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是
___________．
【解析】xy=2x+y+6≥2 +6,令xy=t2(t>0),可得t2-2 t
-6≥0，注意到t＞0，解得t≥3 ,故xy的最小值为18.
答案：18
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幻灯片 212.求函数y= (x＞-1)的最小值.
【解析】设x+1=t,则x=t-1(t>0)，
∴y=
=t+ +5≥2 +5=9，
当且仅当t= 即t=2时,取等号，且此时x=1，
∴ymin=9.
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幻灯片 22 基本不等式的实际应用
【方法点睛】基本不等式实际应用题的解法
(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
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幻灯片 23【例2】某造纸厂拟建一座平面图形为
矩形且面积为162平方米的三级污水处
理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.
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幻灯片 24【解题指南】(1)由题意设出未知量，构造函数关系式，变形转化利用基本不等式求得最值，得出结论；
(2)先由限制条件确定自变量的范围，然后判断(1)中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论.
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幻灯片 25【规范解答】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为 米.
则总造价
f(x)=400×(2x+ )+248×2x+80×162
=1 296x+ +12 960
=1 296(x+ )+12 960
≥1 296×2 +12 960=38 880(元)，
当且仅当x= (x>0),即x=10时取等号.
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为
38 880元.
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幻灯片 26(2)由限制条件知 ∴10 ≤x≤16.
设g(x)=x+ (10 ≤x≤16),
由函数性质易知g(x)在［10 ，16］上是增函数，
∴当x=10 时(此时 =16),
g(x)有最小值，即f(x)有最小值
1 296×(10 + )+12 960=38 882(元).
∴当长为16米，宽为10 米时，总造价最低，为38 882元.
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幻灯片 27【反思·感悟】1.本例(2)中由于条件限制应用基本不等式结果不成立，从而转化为应用函数的单调性求解，这也是此部分内容的常规解法.
2.应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键,涉及到等式能否成立，因而在实际解题时要特别注意定义域的取值范围.
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幻灯片 28【变式训练】某种汽车，购车费用为10万元，每年的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元.这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
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幻灯片 29【解析】由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2
万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元
为公差的等差数列，因此，汽车使用x年时总的维修费用为
万元.
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幻灯片 30设汽车的年平均费用为y万元，则有
y=
=1+ ≥1+2 =3,
当且仅当 ，即x=10时，y取得最小值.
答：汽车使用10年时，它的年平均费用最少.
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幻灯片 31 基本不等式与其他知识的综合应用
【方法点睛】基本不等式在其他数学知识中的应用
以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值，是本部分中常见题型，且在高考中也时常出现，其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件.
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幻灯片 32【例3】(1)设x,y∈R，a>1,b>1，若ax=by=4且a+b=2 ,则
的最大值为_________.
(2)已知函数f(x)=log2［k(x+4)+2］+1恒过定点P，且点P在直
线 =2(a,b∈R+)上，则3a+2b的最小值为__________.
【解题指南】(1)用a,b表示x，y代入后，再利用基本不等式可
求.
(2)求得点P坐标代入直线方程，再用“1”的代换转化为基本
不等式求解.
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幻灯片 33【规范解答】(1)由ax=by=4得x=loga4,y=logb4,
故 = =log4a+log4b=log4ab.
又∵a>1,b>1,a+b=2 ,
故log4ab≤log4( )2=log42= ,
∴ ≤ ,当且仅当a=b= ,
即x=y=4时等号成立.
∴ 的最大值为 .
答案：
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幻灯片 34(2)由函数f(x)=log2［k(x+4)+2］+1可知，
当x=-4时，f(x)=2,即点P坐标为(-4，2)，
又点P在直线 =2(a,b∈R+)上，
故 =2，即 =1,
∴3a+2b=(3a+2b)( )=8+ ≥8+2 =8+4 ,
当且仅当3a2=4b2，即a=2+ ,b= +1时等号成立.
∴3a+2b的最小值为8+4 .
答案：8+4
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幻灯片 35【互动探究】若本例(2)中函数改为f(x)=2k(x+1)+1,其余条件不变，又将如何求解?
【解析】由f(x)=2k(x+1)+1可知图像恒过定点P(-1，2)，
依题意，P在直线 =2(a,b∈R+)上，
故 =2,即 =1,
∴3a+2b=(3a+2b)( )= ≥ ,
等号当且仅当a= ,b= +1时取得.
所以3a+2b的最小值为
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幻灯片 36【反思·感悟】解决与其他知识综合的基本不等式题目，难点
在于如何从已知条件中寻找基本关系.本例(1)中其关键是构建
x,y与a,b的关系得到x=loga4，y=logb4，从而将 成功转化
为a,b的关系，再利用基本不等式求解，而本例(2)中其关键点
是确定图像过的定点，确定了这一定点后问题就迎刃而解了.
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幻灯片 37【变式备选】设x,y满足约束条件 若目标函数
z=abx+y(a＞0,b＞0)的最大值为8，则a+b的最小值为_______.
【解析】已知x,y满足约束条件
其可行域是一个四边形，四个顶点是(0,0)，(0，2)，
( ，0)，(1，4)，易见目标函数z=abx+y(a＞0,b＞0)在
(1，4)取最大值8，
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幻灯片 38所以8=ab+4，即ab=4，
∴a+b≥2 =4,
当且仅当a=b=2时，等号成立.
所以a+b的最小值为4.
答案：4
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幻灯片 39【易错误区】忽视题目的隐含条件导致误解
【典例】(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，过坐标
原点的一条直线与函数f(x)= 的图像交于P、Q两点，则线段
PQ长的最小值是______.
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幻灯片 40【解题指南】由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设
出交点代入两点间距离公式，整理后应用基本不等式求解即可.
【规范解答】由题意可知f(x)= 的图像关于原点对称，而与
过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点
分别为P(x, )与Q(-x,- )，
由两点间距离公式可得
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幻灯片 41|PQ|= ≥4
等号当且仅当x2=2，即x=± 时取得.
答案：4
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幻灯片 42【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：
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幻灯片 43----
幻灯片 441.(2011·福建高考)若a>0,b>0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在
x=1处有极值，则ab的最大值等于( )
(A)2 (B)3 (C)6 (D)9
【解析】选D.由题意得f′(x)=12x2-2ax-2b,
∵函数f(x)在x=1处有极值，
∴f′(1)=0,∴12-2a-2b=0,即a+b=6.
又∵a>0,b>0，由基本不等式得：ab≤( )2=( )2=9，故ab
的最大值是9.
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幻灯片 452.(2011·重庆高考)已知a>0,b>0,a+b=2,则 的最小
值是( )
(A) (B)4 (C) (D)5
【解析】选C.由a+b=2,得 =1,
∴ (等号当且仅当b=
2a时取得).
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幻灯片 463.(2011·北京高考)某车间分批生产某种产品，每批的生产准
备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为 天，且
每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产
准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
(A)60件 (B)80件 (C)100件 (D)120件
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幻灯片 47【解析】选B.平均每件产品的费用为
y= ，
当且仅当 ,即x=80时取等号.所以每批应生产产品80
件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最
小.
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幻灯片 484.(2011·天津高考)已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为_________.
【解析】由log2a+log2b≥1得log2(ab)≥1即ab≥2(a>0,b>0),∴3a+9b=3a+32b≥2· ，
当且仅当a=2b时取等号，
又a+2b≥ ≥4，等号当且仅当a=2b时取得.
即当a=2b时，3a+9b≥2·32=18.
答案：18
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幻灯片 49----
幻灯片 50----
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