幻灯片 1第七节 数学归纳法
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幻灯片 2三年3考 高考指数:★★
1.了解数学归纳法的原理；
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
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幻灯片 31.归纳——猜想——证明仍是高考的重点；
2.常与函数、数列、不等式、平面几何等知识结合，在知识交汇处命题；
3.题型以解答题为主，难度中等偏上.
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幻灯片 41.数学归纳法
数学归纳法是用来证明某些与_________有关的数学命题的一
种方法.它的基本步骤是：
(1)验证：____时,命题成立；
(2)在假设当__________时命题成立的前提下，推出当______
时，命题成立.
根据(1)(2)可以断定命题对____________都成立.
正整数n
n=1
n=k(k≥1)
n=k+1
一切正整数n
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幻灯片 5【即时应用】
判断下列各说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
(1)用数学归纳法验证第一个值n0,则n0必定为1. ( )
(2)数学归纳法的两个步骤是缺一不可的. ( )
(3)应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n-3)条时，
第一步是检验n等于3. ( )
(4)用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”时，验证
n=1时,左边式子应为1+2+22. ( )
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幻灯片 6【解析】(1)错误.有些数学归纳法证明题，第一步验证初始值不是1，可能为2，3，4等.
(2)正确.数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推.
(3)正确.第一步检验n=3,即三角形的对角线条数为0.
(4)错误.验证n=1时，左边式子应为1+2+22+23.
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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幻灯片 72.数学归纳法的框图表示
所有的正整数n
归纳递推
归纳奠基
n=k+1时命题也成立
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幻灯片 8【即时应用】
(1)已知n为正偶数，用数学归纳法证明
时，若已假设n=k(k≥2且k为偶数)
时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=______时等式成立.
(2)凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和为f(k+1)=f(k)+________.
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幻灯片 9【解析】(1)因为假设n=k(k≥2且k为偶数)，故下一个偶数为k+2.
(2)从k边形到k+1边形，实际是多了一个三角形，故内角和比k时多π,即f(k+1)=f(k)+π.
答案：(1)k+2 (2)π
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幻灯片 10 用数学归纳法证明等式
【即时应用】用数学归纳法证明等式的规则
(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据.
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幻灯片 11(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利用假设，不利用n=k时的假设去证明，就不是数学归纳法.
【提醒】用数学归纳法证明等式问题的关键在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.
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幻灯片 12【例1】(2012·烟台模拟)是否存在常数a,b,c，使得等式(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立？若存在，求出a,b,c的值；若不存在，说明理由.
【解题指南】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存在，利用特值求得a,b,c的值，而后用数学归纳法证明.
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幻灯片 13【规范解答】假设存在a,b,c使得所给等式成立.
令n=1,2,3代入等式得
解得
以下用数学归纳法证明等式(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)
对一切正整数n都成立.
(1)当n=1时，由以上可知等式成立;
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幻灯片 14(2)假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，即(k2-12)+2(k2-22)+…
+k(k2-k2)=
则当n=k+1时，
［(k+1)2-12］+2［(k+1)2-22］+…+k［(k+1)2-k2］+(k+1)［(k
+1)2-(k+1)2］
=(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)
=
=
由(1)、(2)知，等式对一切正整数n都成立.
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幻灯片 15【反思·感悟】1.对于开放式的与n有关的等式证明问题，一般是先假设结论成立，利用n的前几个取值求参数，而后用数学归纳法证明.
2.在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，“归纳假设”已经成了已知条件，“n=k+1时结论正确”则是求证的目标，可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.
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幻灯片 16【变式训练】已知n∈N*，证明：
=
【证明】(1)当n=1时，左边=
右边= ，等式成立;
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立，即有:
那么当n=k+1时，
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幻灯片 17左边
右边,所以当n=k+1时等式也成立.
综合(1)、(2)知对一切n∈N*，等式都成立.
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幻灯片 18 用数学归纳法证明不等式问题
【方法点睛】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.
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幻灯片 19【例2】由下列不等式：
你能得到一个怎样的一般不等式？并
加以证明.
【解题指南】由已知条件不难猜想到一般不等式，关键是证明，证明时由n=k到n=k+1时可采用放缩法.
【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：
用数学归纳法证明如下：
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幻灯片 20(1)当n=1时，1> ,猜想成立；
(2)假设当n=k(k∈N*)时，猜想成立，即
则当n=k+1时，
即当n=k+1时，猜想也正确，所以对任意的n∈N*，不等式都成立.
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幻灯片 21【反思·感悟】1.本例在由n=k到n=k+1这一步变化中，不等式
左边增加了 即增加了2k项，这
一点很关键，若项数写不正确，该题的证明将无法正确得出.
2.当n=k+1时的证明中采用了放缩法，即将已知式子分母变大，
从而所得结果变小，顺利地与要证的式子接轨从而得以证明，
此种方法是证明不等式的常用方法，应用时要注意是放大还是
缩小.
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幻灯片 22【变式训练】证明不等式
【证明】(1)当n=1时，左边=1,右边=2，不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时，不等式成立，即
那么当n=k+1时，
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幻灯片 23方法一:分析法
要证
只需证
∵0＜1显然成立,∴
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幻灯片 24方法二：综合法(放缩法)
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幻灯片 25方法三:综合法(基本不等式法)
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.
由(1)、(2)可知，原不等式对任意正整数n都成立.
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幻灯片 26 归纳—猜想—证明类问题
【方法点睛】归纳—猜想—证明类问题的解题步骤
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式.
(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.
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幻灯片 27【例3】(2012·南京模拟)已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.
(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论.
【解题指南】(1)利用Sn=a1+a2+…+an,且Sn+an=2n+1,代入n=1,2,3得a1,a2,a3，从而猜想an.
(2)应用数学归纳法证明时，要利用n=k的假设去推证n=k+1时成立.
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幻灯片 28【规范解答】(1)将n=1,2,3分别代入可得
猜想
(2)①由(1)得n=1时，命题成立；
②假设n=k(k∈N*)时，命题成立，即
那么当n=k+1时，a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,
且a1+a2+…+ak=2k+1-ak,
∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,
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幻灯片 29∴
即当n=k+1时，命题也成立.
根据①、②得,对一切n∈N*,an=2- 都成立.
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幻灯片 30【互动探究】若本例中Sn+an=2n+1变为Sn+an=2n，其余不变，又将如何求解?
【解析】(1)将n=1,2,3分别代入已知可得
猜想
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幻灯片 31(2)①当n=1时，a1=1,猜想显然成立;
②假设当n=k(k≥1且k∈N*)时，猜想成立,
即ak= ,Sk=a1+a2+…+ak=2k-ak,
那么,当n=k+1时，
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-(2k-ak),
∴当n=k+1时猜想也成立.
综合①、②知，当n∈N*时猜想成立.
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幻灯片 32【反思·感悟】“归纳—猜想—证明”是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，此种方法在解探索性问题、存在性问题时起着重要的作用，特别是在数列中求an,Sn时更是应用频繁.
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幻灯片 33【变式备选】数列{an}中，a1=1,a2= ,且
求a3,a4,猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.
【解析】因为a1=1，a2= ，且
所以 同理可求得
归纳猜想，
下面用数学归纳法证明猜想正确.
(1)当n=1时，易知猜想正确.
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幻灯片 34(2)假设当n=k(k∈N*)时，猜想正确，即
那么当n=k+1时，
即当n=k+1时，猜想也正确.
由(1)、(2)可知，猜想对任意正整数都正确.
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幻灯片 35 用数学归纳法证明整除性问题或与
平面几何有关的问题
【方法点睛】数学归纳法的综合应用
(1)应用数学归纳法证明整除性问题主要分为两类：
①是整除数，②是整除代数式.这两类证明最关键的问题是“配凑”要证的式子(或是叫做“提公因式”)，即当n=k+1时，将n=k时假设的式子提出来，再变形，可证.
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幻灯片 36(2)应用数学归纳法证明与平面几何有关的命题，其关键是从前几项的情形中归纳出一个变化过程，用f(k+1)-f(k)就可以得到增加的部分，然后理解为何是增加的，就可以从容解题了.
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幻灯片 37【例4】证明下列问题：
(1)已知n为正整数，a∈Z,用数学归纳法证明：
an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.
(2)有n个圆，任意两个都相交于两点，任意三个不交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(n∈N*).
【解题指南】(1)当n=k+1时，把ak+2+(a+1)2k+1提出ak+1+(a+1)2k-1的形式是解题的关键.
(2)当n=k+1时，第k+1个圆与前k个圆相交，平面区域增加了2k个部分是解题的关键.
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幻灯片 38【规范解答】(1)①当n=1时，an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除.
②假设当n=k(k∈N*)时，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，那么当n=k+1时，
ak+2+(a+1)2k+1
=(a+1)2［ak+1+(a+1)2k-1］+ak+2-ak+1(a+1)2
=(a+1)2［ak+1+(a+1)2k-1］-ak+1(a2+a+1)能被a2+a+1整除,即当n=k+1时，命题也成立.
根据①、②可知，对于任意n∈N*，an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.
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幻灯片 39(2)①当n=1时，1个圆将平面分成两部分.
f(1)=2,12-1+2=2,∴n=1时，命题成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.
当n=k+1时，在k个圆的基础上再增加一个圆与原k个圆都相交，圆周被分成2k段弧，增加了2k个平面区域.
∴f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即当n=k+1时，命题也成立.
综上知，对任意n∈N*，命题都成立.
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幻灯片 40【互动探究】将本例(2)中的圆变为直线，任意两条都相交于
一点,任意三条不交于同一点,求证这n条直线将平面分成f(n)
= (n2+n+2)个部分(n∈N*)，又将如何证明？
【证明】(1)当n=1时，一条直线将平面分成两部分，f(1)=
(1+1+2)=2，命题成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时,命题成立，即f(k)= (k2+k+2),
那么当n=k+1时，第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了k+1个区域.
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幻灯片 41即f(k+1)=f(k)+k+1= (k2+k+2)+k+1
即当n=k+1时，命题也成立.
由(1)、(2)可知，对任意n∈N*,都有f(n)= (n2+n+2)成立.
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幻灯片 42【反思·感悟】1.用数学归纳法证明整除问题，P(k)⇒P(k+1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P(k+1)进行分拆，配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除⇒P(k+1)能被p整除.”
2.证明与平面几何有关的问题，其着眼点是找规律，由前几项可找到规律，进行应用即可.
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幻灯片 43【变式备选】用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除，其中n为正整数.
【证明】(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除.
(2)假设当n=k(k∈N*)时，42k+1+3k+2能被13整除，
则当n=k+1时，
方法一：42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3
=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)，
∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除.
∴42(k+1)+1+3k+3能被13整除.
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幻灯片 44方法二：［42(k+1)+1+3k+3］ -3(42k+1+3k+2)
=(42k+1·42+3k+2·3)-3(42k+1+3k+2)=42k+1·13,
∵42k+1·13能被13整除，∴［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)能被13整除，即42(k+1)+1+3k+3能被13整除,∴当n=k+1时，命题也成立,
由(1)、(2)知，对任意n∈N*，42n+1+3n+2都能被13整除.
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幻灯片 45【满分指导】数学归纳法解题的规范解答
【典例】(12分)(2012·九江模拟)设数列{an}的前n项和为
Sn,并且满足
(1)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
(2)设x>0,y>0,且x+y=1,证明：
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幻灯片 46【解题指南】(1)将n=1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3，从而可猜想an,并用数学归纳法证明.
(2)利用分析法，结合x>0,y>0,x+y=1,利用基本不等式可证.
【规范解答】(1)分别令n=1,2,3,得
∵an>0,∴a1=1,a2=2,a3=3.
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幻灯片 47猜想：an=n.……………………………………………………2分
由2Sn= +n ①
可知，当n≥2时，2Sn-1= +(n-1) ②
①-②,得
即 ……………………………………………3分
(ⅰ)当n=2时，
∵a2>0,∴a2=2. ……………………………………………… 4分
(ⅱ)假设当n=k(k≥2)时，ak=k,那么当n=k+1时，
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幻灯片 48⇒［ak+1-(k+1)］［ak+1+(k-1)］=0,
∵ak+1>0,k≥2,∴ak+1+(k-1)>0,
∴ak+1=k+1.
即当n=k+1时也成立. …………………………………… 6分
∴an=n(n≥2).
显然n=1时，也成立，故对于一切n∈N*，均有an=n.…… 7分
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幻灯片 49(2)要证
只要证 ……… 8分
即
将x+y=1代入，得
即只要证
即4xy≤1. ………………………………………………… 10分
∵x>0,y>0,且x+y=1,∴
即xy≤ ,故4xy≤1成立，所以原不等式成立.………… 12分
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幻灯片 50【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 51----
幻灯片 521.(2012·南阳模拟)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)
(n∈N*)时，第一步验证n=1时，左边应取的项
是( )
(A)1 (B)1+2
(C)1+2+3 (D)1+2+3+4
【解析】选D.当n=1时，左边是1+2+3+4，是由1加到n+3，故
选D.
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幻灯片 532.(2012·上海交大附中模拟)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…
(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)，从k到k+1，左边需要增乘的代
数式为( )
(A)2k+1 (B)2(2k+1)
(C) (D)
【解析】选B.当n=k时，左边为(k+1)(k+2)…(k+k),而当n=k+1
时，左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)
…(k+k)(2k+1)(2k+2)，∴左边增乘的式子为
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幻灯片 543.(2012·九江模拟)用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N*)能被8整除时，当n=k+1时，对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为( )
(A)56·34k+1+25(34k+1+52k+1)
(B)34·34k+1+52·52k
(C)34k+1+52k+1
(D)25(34k+1+52k+1)
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幻灯片 55【解析】选A.∵当n=k时，34k+1+52k+1能被8整除.
那么当n=k+1时，34k+5+52k+3=52(34k+1+52k+1)-52·34k+1+34k+5
=(34-52)·34k+1+52(34k+1+52k+1)
=56·34k+1+25(34k+1+52k+1),故选A.
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幻灯片 564.(2012·盐城模拟)利用数学归纳法证明不等式
的过程中，用n=k+1时左边的代数式
减去n=k时左边的代数式的结果为_________.
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幻灯片 57【解析】当n=k时，左边的代数式为
而当n=k+1时，
左边的代数式为
∴相减是
答案：
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幻灯片 58----
幻灯片 59----
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