幻灯片 1第三节 平行关系
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幻灯片 2三年8考 高考指数:★★★
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
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幻灯片 31．对线线平行、线面平行和面面平行的考查是高考的热点；
2．平行关系的判断多以选择题和填空题的形式出现，考查对概念、公理、定理、性质、结论的理解和运用，题目难度较小；
3．平行关系的证明及运用，多以解答题的形式出现，主要考查有关定理、性质的运用及各种平行关系的相互转化，题目有一定的综合性，常与垂直的证明、空间角的求法及空间向量结合在一起考查，属低中档题．
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幻灯片 41.直线与平面平行的判定与性质
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幻灯片 5【即时应用】
(1)已知直线a,b和平面α，判断下列命题的正确性.(请在括号
中填写“×”或“√”)
①若a∥b,a α,则b∥α ( )
②若a∥b,a∥α,则b∥α ( )
③若a∥α,b∥α,则a∥b ( )
(2)在正方体的各面中，和其中一条棱平行的平面有_____个.
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幻灯片 6(3)如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB,N∈AD,且
则直线MN与平面BDC的位置关系是________.
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幻灯片 7【解析】(1)①中直线b在α内时不成立；②b可能在α内；
③a,b可以平行、相交或异面.
(2)借助正方体的直观图易知,在正方体的六个面中，和其中
一条棱平行的平面有2个.
(3)由 得MN∥BD，
又MN 平面BDC，BD 平面BDC，
所以MN∥平面BDC．
答案：(1)①× ②× ③× (2)2 (3)平行
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幻灯片 82.平面与平面平行的判定与性质
如果一个平面内有两
条________都平行于
另一个平面，那么这
两个平面平行.
相交直线
如果两个平行平面同时与
第三个平面相交，那么它
们的交线____.
平行
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幻灯片 9b∥β
⇒α∥β
⇒b∥a
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幻灯片 10【即时应用】
(1)思考：①能否由线线平行推证面面平行？
②如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面一定平行吗？
提示：①可以，只需一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则两平面平行．
②不一定平行．如果这无数条直线互相平行，则这两个平面就可能相交．
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幻灯片 11(2)已知两平面α与β平行，a α，判断下列命题的正确性
(请在括号中填写“×”或“√”).
①a与β内的所有直线平行 ( )
②a与β内的无数条直线平行 ( )
③a与β内的任何一条直线都不垂直 ( )
④a与β无公共点 ( )
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幻灯片 12【解析】①中，a与β内的直线可能平行或异面，故不正确；
过a作平面γ交平面β于直线b，则a∥b，故直线a平行于平面
β内所有与直线b平行的直线，故②正确；③中，a可以与β内
的直线垂直，故不正确；由α∥β,a α可得a∥β，故④正
确.
答案：①× ②√ ③× ④√
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幻灯片 13(3)设α,β是两个不重合的平面，a,b是两条不同的直线，给出下列条件：
①α,β都平行于直线a,b；
②a,b是α内两条直线，且a∥β,b∥β；
③若a,b相交，且都在α,β外，a∥α,a∥β，b∥α,b∥β．
其中可判定α∥β的条件的序号为_________.
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幻灯片 14【解析】①、②中的平面可能平行、相交，故不正确；③因为a、b相交，可设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α，同理可得γ∥β，因此α∥β，故③正确．
答案：③
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幻灯片 15 线面平行的判定及性质
【方法点睛】
1.证明线面平行的方法
(1)利用定义：证明直线与平面没有公共点(一般结合反证法进行)；
(2)利用线面平行的判定定理；
(3)利用面面平行的性质，即两平面平行，则其中一平面内的直线平行于另一平面．
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幻灯片 162.线面平行的性质
(1)定义：直线与平面平行，则该直线与平面无公共点.
(2)由线面平行可得线线平行.
【提醒】利用线面平行的性质和判定定理时，适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法．
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幻灯片 17【例1】(1)若一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线的位置关系是_________.
(2)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在
BD上，点M在B1C上，并且CM=DN．求证：MN∥
平面AA1B1B．
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幻灯片 18【解题指南】(1)把文字叙述转化为符号叙述.然后利用线面平行的性质，把线面平行转化为线线平行.
(2)“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的．本题可以采用任何一种转化方式证明．
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幻灯片 19【规范解答】(1)已知a∥α，a∥β，α∩β=l，
设过a的平面γ∩α=m,
∵a∥α，∴a∥m.设过a的平面γ′∩β=n,
∵a∥β,∴a∥n,∴m∥n.
∵n β,m β,∴m∥β.
又∵m α,α∩β=l,∴m∥l.∴a∥l.
答案：平行
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幻灯片 20(2)方法一：如图所示，作ME∥BC交BB1于E；
作NF∥AD，交AB于F，连接EF．
则
∵在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
CM=DN，BD=B1C，
∴B1M=NB，又BD=B1C，∴
又BC=AD，∴ME=NF.
又ME∥BC∥AD∥NF.
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幻灯片 21∴四边形MEFN为平行四边形，∴MN∥EF.
又EF 平面AA1B1B，MN 平面AA1B1B，
∴MN∥平面AA1B1B.
方法二：过M作MQ∥BB1交BC于Q，连接NQ．
∵MQ 平面AA1B1B，BB1 平面AA1B1B，
∴MQ∥平面AA1B1B．
由MQ∥BB1得
又CM=DN，CB1=DB，
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幻灯片 22∴
∴NQ∥DC，∴NQ∥AB，
∵NQ 平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，
∴NQ∥平面ABB1A1．
又MQ∩NQ=Q，∴平面MQN∥平面ABB1A1,
又MN 平面MQN，∴MN∥平面AA1B1B．
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幻灯片 23【互动探究】若将本例(2)中的条件“CM=DN”改为
“ ”，则如何证明？
【解析】将 转化为CM=DN.
以下同例题.
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幻灯片 24【反思·感悟】1.证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行．
2.应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．
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幻灯片 25【变式备选】四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】如图，连接AC交BD于O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.
又M是PC的中点，
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幻灯片 26∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理，有AP∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD=GH,
根据直线和平面平行的性质定理，得AP∥GH.
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幻灯片 27 面面平行的判定和性质
【方法点睛】
1.面面平行的判定方法
(1)利用定义：即证两个平面没有公共点；
(2)利用面面平行的判定定理；
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行；
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．
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幻灯片 282.面面平行的性质
(1)两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面.
(2)若一平面与两平行平面相交，则交线平行.
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幻灯片 29【提醒】三种平行间的转化关系
线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．
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幻灯片 30【例2】如图，已知α∥β，异面直线AB、CD和平面α、β分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：(1)E、F、G、H共面；
(2)平面EFGH∥平面α．
α
β
A
C
D
B
E
F
G
H
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幻灯片 31【解题指南】(1)证明四边形EFGH为平行四边形即可；(2)利用
面面平行的判定定理，转化为线面平行来证明．
【规范解答】(1)∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH BD.
同理，FG BD，∴FG EH．
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴E、F、G、H共面．
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幻灯片 32(2)平面ABD和平面α有一个公共点A，
设两平面交于过点A的直线AD′．
∵α∥β，∴AD′∥BD.
又∵BD∥EH，∴EH∥BD∥AD′.
∴EH∥平面α，同理，EF∥平面α，
又EH∩EF＝E，EH 平面EFGH，
EF 平面EFGH，∴平面EFGH∥平面α．
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幻灯片 33【反思·感悟】1.线面、面面平行的判定和性质常常结合在一起进行考查，解题中要注意性质和判定交替应用．
2.利用判定或性质解题时，应注意解题过程的规范性，即要准确地使用数学语言及符号来表示出定理的有关内容．
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幻灯片 34【变式训练】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、
B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.
【证明】如图，连接B1D1、B1C．
D
A
B
C
P
N
A1
B1
D1
C1
M
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幻灯片 35∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，∴PN∥BD．
又PN 平面A1BD，∴PN∥平面A1BD．
同理MN∥平面A1BD，
又PN∩MN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD．
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幻灯片 36 平行关系中的计算问题
【方法点睛】平行关系中范围问题的解答策略
解答立体几何中的有关最值或范围问题，常用函数思想解决，通过设出适当的变量、建立函数关系，转化为求函数的最值(或值域)的问题．解题时要弄清哪些是定值，哪些是变量，如何根据题意建立函数关系，如何求函数的最值等．
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幻灯片 37【例3】(1)如图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α
与γ之间.点A、D∈α，C、F∈γ，AC∩β=B，DF∩β=E.设AF
交β于M，AC与DF不平行，α与β间距离为h′，α与γ间距离
为h，则当△BEM的面积最大时
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幻灯片 38(2)(2012·合肥模拟)如图所示，四边形EFGH所在平面为三棱
锥A—BCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形．
①求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．
②若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围．
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幻灯片 39【解题指南】(1)由面面平行得到线线平行，进而得到各线段间的关系，结合三角形的面积公式求解即可；
(2)①证明AB，CD各平行于平面EFGH内的一条直线即可；②设EF=x，用含x的式子表示四边形EFGH的周长，转化为求关于x的函数的值域．
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幻灯片 40【规范解答】(1)由题意知BM∥CF，
∴
∴
据题意知，AD与CF是异面直线，只是β在α与γ间变化位置.
故CF、AD是常量，sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值，也是常
量，令h′∶h=x.
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幻灯片 41只要考查函数y=x(1－x)的最值即可，显然当
时，y=－x2+x有最大值.
∴当 即β在α,γ两平面的中间时，S△BEM最大.
答案：
(2)①∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH．
∵HG 平面ABD，EF 平面ABD，
∴EF∥平面ABD．
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幻灯片 42∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB,
∴EF∥AB,
∵EF 平面EFGH，AB 平面EFGH,
∴AB∥平面EFGH.
同理可得CD∥平面EFGH．
②设EF=x(0
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