幻灯片 11.3 简单的逻辑联结词
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幻灯片 2----
幻灯片 3“且”“或”“非”命题与真假判定
p∧q
“p且q”
真命题
假命题
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幻灯片 4p∨q
p或q
真命题
假命题
非p
p的否定
假命题
真命题
¬p
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幻灯片 5判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中.( )
(2)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件.( )
(3)命题“p∨(¬p)”是真命题.( )
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幻灯片 6提示:(1)错误,逻辑联结词“且”“或”联结的是两个命题,
而不是只联结两个命题的条件或结论.
(2)错误,“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充分不必要条件.
(3)正确,由于命题p与¬p一真一假,所以“p∨(¬p)”是真命题.
答案:(1)× (2)× (3)√
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幻灯片 7【知识点拨】
1.从交集、串联电路看“且”命题
(1)对于逻辑联结词“且”的理解,可联系集合中“交集”的概念,即A∩B={x︱x∈A且x∈B},二者含义是一致的,都表示“既…,又…”的意思.
(2)对于含有逻辑联结词“且”的命题真假的
判断,可以联系电路中两个串联开关的闭合或
断开与电路的通或断的对应加以理解.(如图示)
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幻灯片 82.从并集、并联电路看“或”命题
(1)对于逻辑联结词“或”的理解,可联系集合中“并集”的概念,即A∪B={x︱x∈A或x∈B},二者含义是一致的,如果p:集合A;q:集合B;则p∨q:集合A∪B.
“或”包含三个方面:
x∈A且x∉B,x∉A且x∈B,x∈A∩B.
(2)对于含有逻辑联结词“或”的命题真假的
判断,可以联系电路中两个并联开关的闭合或
断开与电路的通或断的对应加以理解.(如图示)
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幻灯片 9类型 一 “p∧q”命题的构成与真假判断
【典型例题】
1.“2是素数且是偶数”是 命题(填真、假).
2.将下列命题用“且”联结成新命题,并判断其真假:
(1)p:6能被2整除,q:6能被3整除.
(2)p:一次函数是单调函数,q:一次函数是奇函数.
(3)p:四条边相等的四边形是正方形,q:有一个角为直角的四边形是正方形.
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幻灯片 10【解题探究】1.命题p∧q的真假与p,q真假间的关系是什么?
2.“且”联结的是命题还是联结命题的条件或结论?
探究提示:
1.“p∧q”命题的真假判断:全真为真,有假为假.
2.逻辑联结词“且”联结的是两个命题,不是联结命题的条件或结论.
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幻灯片 11【解析】1.由于“2是素数”是真命题,“2是偶数”是真命题,所以“2是素数且是偶数”是真命题.
答案:真
2.(1)p∧q:6能被2整除且6能被3整除.由于p,q都是真命题,所以p∧q是真命题.
(2)p∧q:一次函数是单调函数且一次函数是奇函数.由于p是真命题,q是假命题,所以p∧q是假命题.
(3)p∧q:四条边相等的四边形是正方形且有一个角为直角的四边形是正方形.由于p是假命题,q是假命题,所以p∧q是假命题.
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幻灯片 12【互动探究】若题1变为“素数是奇数且合数是偶数”,则此命题是 命题(填真、假).
【解析】由于“素数是奇数”是假命题,“合数是偶数”是假命题,所以“素数是奇数且合数是偶数”是假命题.
答案:假
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幻灯片 13【拓展提升】“且”命题的联结形式与真假判断
(1)逻辑联结词“且”联结的是两个命题,不能简单联结两个命题的条件或结论,否则就会出错,如p:对角线相等的四边形为矩形,q:对角线互相平分的四边形为矩形.若p∧q叙述为“对角线相等且互相平分的四边形为矩形”,该命题为真命题,事实上,由于p,q都是假命题,所以p∧q应是假命题.
(2)用逻辑联结词“且”联结简单命题p,q所得的新命题p∧q,也称为复合命题,其真假与简单命题的真假有直接的联系:若p,q都真,则p∧q为真;若p,q不都真(至少一个为假),则p∧q为假.
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幻灯片 14【变式训练】将下列命题用“且”联结成新命题,并判断其真假:
(1)p:21是素数,q:21是奇数.
(2)p:二次函数是单调函数,q:二次函数有零点.
(3)p:正方形的四条边相等,q:正方形的四个角为直角.
【解题指南】逻辑联结词“且”联结的是两个命题,而不是只联结两个命题的条件或结论.
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幻灯片 15【解析】(1)p∧q:21是素数且21是奇数.由于p是假命题,q是真命题,所以p∧q是假命题.
(2)p∧q:二次函数是单调函数且二次函数有零点.由于p是假命题,q是假命题,所以p∧q是假命题.
(3)p∧q:正方形的四条边相等且正方形的四个角为直角.由于p是真命题,q是真命题,所以p∧q是真命题.
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幻灯片 16类型 二 “p∨q”命题的构成与真假判断
【典型例题】
1.“2≤3”是 命题(填真、假).
2.将下列命题用“或”联结成新命题,并判断其真假:
(1)p:9是奇数,q:9是素数.
(2)p:正弦函数是奇函数,q:正弦函数是增函数.
(3)p:菱形的对角线相等,q:菱形的对角线互相垂直.
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幻灯片 17【解题探究】1.命题p∨q的真假与p,q真假间的关系是什么?
2.“或”联结命题还是联结命题的条件或结论?
探究提示:
1.“p∨q”命题的真假判断:有真为真,全假为假.
2.逻辑联结词“或”联结的是两个命题,不是联结命题的条件或结论.
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幻灯片 18【解析】1.由于“2<3”是真命题,“2=3”是假命题,所以“2≤3”是真命题.
答案:真
2.(1)p∨q:9是奇数或9是素数.由于p是真命题,q是假命题,所以p∨q是真命题.
(2)p∨q:正弦函数是奇函数或正弦函数是增函数.由于p是真命题,q是假命题,所以p∨q是真命题.
(3)p∨q:菱形的对角线相等或菱形的对角线互相垂直.由于p是假命题,q是真命题,所以p∨q是真命题.
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幻灯片 19【拓展提升】“或”命题的联结形式与真假判断
(1)逻辑联结词“或”联结的是两个命题,不能简单联结两个命题的条件或结论.叙述时要验证简单命题的真假以及新命题的真假.
(2)用逻辑联结词“或”联结简单命题p,q所得的新命题p∨q,也称为复合命题,其真假与简单命题的真假有直接的联系:若p,q都假,则p∨q为假;若p,q不都假(至少一个为真),则p∨q为真.
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幻灯片 20【变式训练】将下列命题用“或”联结成新命题,并判断其真假:
(1)p:3是2 012的约数,q:3是2 013的约数.
(2)p:正比例函数是幂函数,q:反比例函数是幂函数.
(3)p:方程x2=9的解为x=3,q:方程x2=9的解为x=-3.
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幻灯片 21【解析】(1)p∨q:3是2 012的约数或3是2 013的约数.由于p是假命题,q是真命题,所以p∨q是真命题.
(2)p∨q:正比例函数是幂函数或反比例函数是幂函数.
由于p是假命题,q是假命题,所以p∨q是假命题.
(3)p∨q:方程x2=9的解为x=3或方程x2=9的解为x=-3.由于p是假命题,q是假命题,所以p∨q是假命题.
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幻灯片 22类型 三 “¬p”命题的构成与真假判断
【典型例题】
1.“函数f(x)=x2+x+1无零点”是 命题(填真、假).
2.写出下列命题p的否定,并判断其真假:
(1)p:周期函数都是三角函数.
(2)p:偶函数的图象关于y轴对称.
(3)p:若x2-x≠0,则x≠0且x≠1.
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幻灯片 23【解题探究】1.命题¬p与p的真假间的关系是什么?
2.“p∧q”的否定形式是什么?
探究提示:
1.命题p与其否定¬p的真假性相反.
2.“p∧q”的否定为“(¬p)∨(¬q)”.
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幻灯片 24【解析】1.由于“方程x2+x+1=0无实数根”,所以“函数
f(x)=x2+x+1无零点”是真命题.
答案:真
2.(1)¬p:周期函数不都是三角函数.命题p是假命题,¬p是真命题.
(2)¬p:偶函数的图象不关于y轴对称.命题p是真命题,¬p是假命题.
(3)¬p:若x2-x≠0,则x=0或x=1.命题p是真命题,¬p是假命题.
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幻灯片 25【拓展提升】
1.从三个角度辨析“p的否定”与“p的否命题”
(1)概念:命题的否定形式是直接对命题的结论进行否定;而否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定.
(2)构成:原命题“若a,则b”的否定是“若a,则¬b”;而原命题的否命题为“若¬a,则¬b”.
(3)真假:命题p与命题p的否定¬p的真假性相反;而命题p与命题p的否命题的真假性没有直接联系.
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幻灯片 262.关于命题“p∧q”与“p∨q”的否定
(1)命题“p∧q”表示“p与q”都具有某一性质,所以“p∧q”的否定应该是“p,q至少有一个不满足某一性质”,即“p∧q”的否定为“(¬p)∨(¬q)”.
(2)命题“p∨q”表示“p与q至少有一个具有某一性质”,所以“p∨q”的否定应该是“p,q都不满足某一性质”,即“p∨q”的否定为“(¬p)∧(¬q)”.
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幻灯片 27【变式训练】1.“2 012>2 013”的否定是 .
2.写出下列命题p的否定,并判断其真假:
(1)p:偶数都能被2整除.
(2)p:若x2+y2=0,则x=y=0.
【解析】1.“2 012>2 013”的否定是“2 012≤2 013”.
答案:2 012≤2 013
2.(1)¬p:偶数不都能被2整除.命题p是真命题, ¬p是假命题.
(2)¬p:若x2+y2=0,则x≠0或y≠0.命题p是真命题,¬p是假命题.
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幻灯片 28【易错误区】求参数取值范围时未对条件进行等价转化致误
【典例】已知命题p:方程x2+2ax+1=0有两个大于-1的实数根,
命题q:关于x的不等式ax2-ax+1>0的解集为R,
若“p∨q”与“¬q”都是真命题,则实数a的取值范围是 .
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幻灯片 29【解析】命题p:方程x2+2ax+1=0有两个大于-1的实数根,
等价于 即 解得a≤-1.
命题q:关于x的不等式ax2-ax+1>0的解集为R,等价于
由于 ⇔ 解得00,c≠1.设p:函数y=cx在R上单调递减;
q:关于x的不等式x2+x+c>0的解集为R.
如果“p∨q”为真,“p∧q”为假,则c的取值范围是 .
【解析】对于命题p:函数y=cx在R上单调递减⇔00的解集为R,
得Δ=1-4c<0,解得c> .
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幻灯片 35由“p∨q为真,p∧q为假”得p,q中一真一假.
如果p真q假,即 解得01.
综上所述,c的取值范围为(0, ]∪(1,+∞).
答案:(0, ]∪(1,+∞)
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幻灯片 361.下列“p∧q”命题是真命题的是( )
A.1是奇数且是素数
B.a>b⇒a2>b2且a>b⇒a3>b3
C.反比例函数是奇函数且是增函数
D.正弦函数是奇函数且是周期函数
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幻灯片 37【解析】选D.由于1是奇数但不是素数,A是假命题;a>b⇒a2>b2
且a>b⇒a3>b3,B是假命题;反比例函数是奇函数,但不一定是
增函数,C是假命题;正弦函数是奇函数且正弦函数是周期函
数,D是真命题.
/
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幻灯片 382.若(¬p)∧q是假命题,则p,q的真假不能是( )
A.p真、q假 B.p假、q真
C.p假、q假 D.p真、q真
【解析】选B.由(¬p)∧q是假命题,则¬p与q不都是真命题,即不能是p假、q真.
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幻灯片 393.已知命题p:2+2=5,命题q:3>2,则下列判断错误的是( )
A.“p∨q”为真,“¬q”为假
B.“p∧q”为假,“¬q”为假
C.“p∧q”为假,“¬p”为假
D.“p∧q”为假,“p∨q”为真
【解析】选C.由于命题p:2+2=5为假,命题q:3>2为真,所以选项A,B,D正确,选项C错误.
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幻灯片 404.已知命题p:函数f(x)=x2+ax+a在[1,+∞)上是增函数,命题q:函数f(x)=xa在(0,+∞)上为减函数,若“p∧q”为真命题,则实数a的取值范围是 .
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幻灯片 41【解析】命题p:函数f(x)=x2+ax+a在[1,+∞)上是增函数,
等价于- ≤1,得a≥-2.
命题q:函数f(x)=xa在(0,+∞)上为减函数,等价于a<0.
因为“p∧q”为真命题,所以p和q均为真命题,所以取交集得
-2≤a<0.
答案:-2≤a<0
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幻灯片 425.已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数,则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(¬p1)∨p2和q4:p1∧(¬p2)中,真命题是 .
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幻灯片 43【解析】由于p1是真命题,得¬p1为假命题;p2是假命题,
得¬p2为真命题;
∴q1:p1∨p2是真命题,q2:p1∧p2是假命题,
q3:(¬p1)∨p2为假命题,q4:p1∧(¬p2)为真命题.
∴真命题是q1,q4.
答案:q1,q4
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幻灯片 446.已知命题p:不等式x2>m-1的解集为R,
命题q:f(x)=(m-2)x是减函数,若p∨q为真命题,求实数m的取值范围.
【解析】方法一:由不等式x2>m-1的解集为R,得m-1<0,即p是真命题时,m<1.
函数f(x)=(m-2)x是减函数,得m-2<0,
即q是真命题时,m<2.
由于p∨q为真命题,则m<1或m<2,即m<2.
所以实数m的取值范围是(-∞,2).
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幻灯片 45方法二:由不等式x2>m-1的解集为R,得m-1<0,即p是真命题时,m<1.
函数f(x)=(m-2)x是减函数,得m-2<0,即q是真命题时,m<2.
由于p∨q为真命题,则p,q至少有一个为真命题.
当p,q都是假命题时,得 ∴m≥2.
所以p∨q为真命题时,实数m的取值范围是(-∞,2).
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