幻灯片 1----
幻灯片 2[备考方向要明了]
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幻灯片 3[归纳 知识整合]
1．生活中的优化问题
生活中常遇到求利润最大，用料最省、效率最高等一些实际问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
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幻灯片 4[探究] 1.求实际问题中的最大、最小值，与求一般函数的最值有什么区别？
提示：在实际问题中要注意函数的定义域应使实际问题有意义．另外，在求实际问题的最值时，如果区间内只有一个极值点，就是最值点．
2．如何求实际问题中的最值问题？
提示：有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大(小)值点．
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幻灯片 5[自测 牛刀小试]
答案：9
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幻灯片 62．(教材习题改编)从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四
角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.
答案：144
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幻灯片 73．(教材习题改编)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮
料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径为________时，每瓶饮料的利润最大，瓶子半径为________时，每瓶饮料的利润最小．
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幻灯片 8令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0，则r＝2.
当r∈(0,2)时，f′(r)<0；当r∈(2,6)时，f′(r)>0.
则f(r)的最大值为f(6)，最小值为f(2)．
答案：6 2
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幻灯片 94．函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范
围是________．
解析：f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即f′(x)＝0有两个不等实根．
∵f(x)＝ax3＋x，∴f′(x)＝3ax2＋1.
要使f′(x)＝0有两个不等实根，则a<0.
答案：(－∞，0)
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幻灯片 105．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝1，对任意x∈R，
f′(x)>3，则f(x)>3x＋4的解集是________．
解析：构造函数F(x)＝f(x)－3x，则F′(x)＝f′(x)－3>0，所以F(x)在R上是增函数．又F(－1)＝f(－1)＋3＝4，所以由F(x)>F(－1)得x>－1，即f(x)>3x＋4的解集是(－1，＋∞)．
答案：(－1，＋∞)
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幻灯片 11利用导数研究函数的零点或方程的根
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幻灯片 17导数研究方程的根的方法
研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
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幻灯片 24利用导数解决恒成立及参数求解问题
[例2] 已知函数f(x)＝ex－ax，其中a>0.
(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；
(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1ln a时，
f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝ln a时，f(x)取最小值f(ln a)＝a－aln a.
于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，当且仅当
a－aln a≥1.①
令g(t)＝t－tln t，则g′(t)＝－ln t.
当00，g(t)单调递增；当t>1时，
g′(t)<0，g(t)单调递减．
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幻灯片 28 若将函数“f(x)＝ex－ax，a>0”改为“f(x)＝eax－x，a≠0”，试解决问题(1)．
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幻灯片 30利用导数解决恒成立和参数问题的方法
(1)由不等式恒成立求解参数取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值，即要使a≥g(x)恒成立，只需a≥g(x)max，要使a≤g(x)恒成立，只需a≤g(x)min.另外，当参数不宜进行分离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如，要使不等式f(x)≥0恒成立，可求得f(x)的最小值h(a)，令h(a)≥0即可求出a的取值范围．
(2)参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键就是找到这样的不等式．
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幻灯片 36利用导数解决生活中的优化问题
[例3] 随着生活水平的不断提高，人们越来越关注身体健康，而电视广告在商品市场中占有非常重要的地位．某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2013年通过电视广告进行一系列促销活动．经过市场调查和测算，保健品的年销量x(单位：百万件)与年促销费t(单位：百万元)之间满足：3－x与t＋2成反比例．如果不搞促销活动，保健品的年销量只能是1百万件，2013年生产该保健品的固定费用为5百万元，每生产1百万件
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幻灯片 37保健品需再投入40百万元的生产费用．若将每件保健品的售价定为“其生产成本的150%”与“平均每件促销费的m倍(00时，g(x)<1＋e－2，即证明函数g(x)在(0，＋∞)上的最大值小于1＋e－2，从而将问题转化为求函数g(x)在(0，＋∞)上的最大值问题，使问题得以顺利解决．
(2)一般地，证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)>0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)>0，即证明了f(x)>g(x)．
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幻灯片 63解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
∵f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)，
若x<0，则1－ex>0，所以f′(x)<0；
若x>0，则1－ex<0，所以f′(x)<0；
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幻灯片 64∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)在[－2,2]上单调递减，
∴f(x)min＝f(2)＝2－e2.
∴m<2－e2时，不等式f(x)>m恒成立．
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幻灯片 652．设函数f(x)＝(x－a)2ln x，a∈R.
(1)若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a；
(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0,3e]，恒有
f(x)≤4e2成立(注：e为自然对数的底数)．
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