幻灯片 1[备考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.
1.以填空题的形式考查可转化为等差数列
或等比的求和问题．
2.以解答题的形式考查利用错位相减法、
裂项相消法或分组求和法等求数列的前
n项和，如2010年高考T19.
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幻灯片 2[归纳 知识整合]
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幻灯片 3 2．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
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幻灯片 4 [探究] 1.应用裂项相消法求和的前提条件是什么？
提示：应用裂项相消法求和的前提条件是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后抵消．
2．利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？
提示：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；
(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下两项．
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幻灯片 5 5．分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．
6．并项求和法
一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
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幻灯片 6答案：6
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幻灯片 73．(教材习题改编)(2－3×5－1)＋(4－3×5－2)＋…＋(2n
－3×5－n)＝________.
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幻灯片 84．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S100＝______.
解析：S100＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100
＝(1－2)＋(3－4)＋(5－6)＋…＋(99－100)＝－50.
答案：－50
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幻灯片 95．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝
________.
答案：(n－1)·2n＋1＋2
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幻灯片 10分组转化求和
[例1] (2012·山东高考)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.
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幻灯片 11[自主解答] (1)因为{an}是一个等差数列，
所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28.
设数列{an}的公差为d，
则5d＝a9－a4＝73－28＝45，
故d＝9.
由a4＝a1＋3d，得28＝a1＋3×9，即a1＝1.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．
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幻灯片 12----
幻灯片 13分组转化求和的通法
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求的前n项和的数列求和．
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幻灯片 141．(2013·包头模拟)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝
2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：
(1)p，q的值；
(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．
解：(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.
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幻灯片 15裂项相消法求和
[例2] 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n＝1,2,3，…)．
(1)求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；
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幻灯片 16 [自主解答] (1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－2(n－1)，得an－an－1＝2(n＝2,3,4，…)．
所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以an＝2n－1.
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幻灯片 17————— ————————————
用裂项相消法求和应注意的问题
利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等．
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幻灯片 182．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝
9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
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幻灯片 21错位相减法求和
[例3] (2012·天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，证明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n≥2)．
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幻灯片 22 (2)证明：由(1)得
Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，①
2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n＋1.②
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幻灯片 23----
幻灯片 24 若本例(2)中Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，求证：Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．
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幻灯片 25用错位相减法求和应注意的问题
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
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幻灯片 263．已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
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幻灯片 27解得a1＝3，d＝－1.
故an＝3＋(n－1)·(－1)＝4－n.
(2)由(1)得，bn＝n·qn－1，于是
Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.
若q≠1，将上式两边同乘以q有qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.
两式相减得到(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1
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幻灯片 28----
幻灯片 29 数列求和把数列通过分组、变换通项、变换次序、乘以常数等方法，把数列的求和转化为能使用公式求解或者能通过基本运算求解的形式，达到求和的目的．
(1)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．
(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
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幻灯片 31答题模板——利用错位相减法解决数列求和
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幻灯片 32[快速规范审题]
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幻灯片 33----
幻灯片 34----
幻灯片 35----
幻灯片 36----
幻灯片 37[答题模板速成]
用错位相减法解决数列求和的步骤：
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幻灯片 38----
幻灯片 39答案：1 006
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幻灯片 40----
幻灯片 41(1)求Sn的表达式；
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幻灯片 42----
幻灯片 43(1)求数列{an}的通项；
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幻灯片 44----
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