幻灯片 1----
幻灯片 2[备考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.了解合情推理的含义，能利用归
纳和类比等进行简单的推理，
了解合情推理在数学发现中的
作用.
2.了解演绎推理的重要性，掌握演
绎推理的基本模式，并能运用
它们进行一些简单推理.
3.了解合情推理和演绎推理之间的
联系和差异.
1.合情推理的考查常单独
命题，以填空题的形式
考查，如2011年高考
T14 等．
2.对演绎推理的考查则渗
透在解答题中，侧重于
对推理形式的考查.
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幻灯片 3[归纳 知识整合]
1．合情合理
(1)归纳推理：
①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的 都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．
②特点：是由 到 、由 到 的推理．
全部对象
部分
整体
个别
一般
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幻灯片 4 (2)类比推理
①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有 的推理．
②特点：类比推理是由 到 的推理．
[探究]
1．归纳推理的结论一定正确吗？
提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验．
这些特征
特殊
特殊
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幻灯片 5 2．演绎推理
(1)模式：三段论
①大前提——已知的 ；
②小前提——所研究的 ；
③结论——根据一般原理，对 做出的判断．
(2)特点：演绎推理是由 到 的推理．
[探究] 2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗？
提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论．
一般原理
特殊情况
特殊情况
一般
特殊
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幻灯片 6[自测 牛刀小试]
1．下面几种推理：①由圆的性质类比出球的有关性质；②
由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.其中是合情推理的是________(填序号)．
解析：①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理．
答案：①②④
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幻灯片 72．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，
则52 013的末四位数字为__________.
解析：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，，58＝390 625，59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 013＝4×502＋5，所以52 013与55后四位数字相同为3 125.
答案：3 125
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幻灯片 83．给出下列三个类比结论．
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中结论正确是 _________(填序号)．
解析：①②不正确，③正确．
答案：③
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幻灯片 94．(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平
行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为________.
解析：大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．
答案：大前提错误
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幻灯片 10----
幻灯片 11归纳推理
[例1] (1)(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.
(2)设f(x)＝ ，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
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幻灯片 12 [自主解答] (1)记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
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幻灯片 13[答案] (1)123
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幻灯片 14 利用本例(2)的结论计算f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 015)的值．
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幻灯片 15归纳推理的分类
常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．
(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．
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幻灯片 161．观察下列等式：
可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N*，用含n的代数式表示)．
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幻灯片 17----
幻灯片 18类比推理
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幻灯片 19----
幻灯片 20----
幻灯片 21————— ————————————
类比推理的分类
(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；
(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；
(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．
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幻灯片 22证明：如图所示，∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴△ABD∽△CAD，△ABC∽△DBA，
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幻灯片 23----
幻灯片 24----
幻灯片 25演绎推理
(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3) 的值．
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幻灯片 26(2)由(1)可知－1－f(x)＝f(1－x)，
即f(x)＋f(1－x)＝－1.
则f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，
f(0)＋f(1)＝－1，
则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
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幻灯片 27演绎推理的结构特点
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．
(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
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幻灯片 28----
幻灯片 29----
幻灯片 30----
幻灯片 31 (1)归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；
③检验猜想．
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幻灯片 32 (2)类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；
③检验猜想．
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幻灯片 33
(1)归纳是由特殊到一般的推理；
(2)类比是由特殊到特殊的推理；
(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；
(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确.
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幻灯片 34创新交汇——推理与证明的交汇问题
1．归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比．题型多为客观题，而2012年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中，是高考命题的一个创新．
2．解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验．
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幻灯片 35 [例] (2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
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幻灯片 36----
幻灯片 37----
幻灯片 38 1．本题的创新点
(1)本题给出一个等于同一个常数的5个代数式，但没有给出具体的值，需要学生求出这个常数，这打破以往给出具体关系式的模式．
(2)本题没有给出具体的三角恒等式，需要考生归纳并给出证明，打破了以往只归纳不证明的方式．
2．解决本题的关键
(1)正确应用三角恒等变换，用一个式子把常数求出来．
(2)通过观察各个等式的特点，找出共性，利用归纳推理正确得出一个三角恒等式，并给出正确的证明．
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幻灯片 39----
幻灯片 40(2)若△ABC的三个内角A，B，C满足cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C，试判断△ABC的形状．
(提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论)
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幻灯片 41----
幻灯片 42(2)由二倍角公式，cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C可化为1－2sin2A－1＋2sin2B＝1－1＋2sin2C，
所以sin2A＋sin2C＝sin2B.
设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由正弦定理可得a2＋c2＝b2.
根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形.
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幻灯片 431．观察下列等式：
①cos 2α＝2cos2α－1；
②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推测，m－n＋p＝________.
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幻灯片 44答案：962
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幻灯片 45----
幻灯片 46----
幻灯片 47----
幻灯片 483.正方形ABCD的边长是a，依次连结正
方形ABCD各边中点得到一个新的
正方形，再依次连结新正方形各边
中点又得到一个新的正方形，依此
得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是________．
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幻灯片 49----
幻灯片 504.已知：在梯形ABCD中，如图，AB＝
DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线．
求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.
解：∵等腰三角形两底角相等，(大前提)
△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，(小前提)
∴∠1＝∠2.(结论)
∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)
∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，(小前提)
∴∠1＝∠3.(结论)
∵等于同一个角的两个角相等，(大前提)
∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提)
∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.(结论)
同理可证DB平分∠CBA.
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