幻灯片 1----
幻灯片 2[备考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.理解空间直线、平面位置
关系的定义；
2.了解四个公理和等角定理，
并能以此作为推理的依据；
3.能运用公理、定理和已获
得的结论证明一些空间图
形的位置关系的简单命题.
1.直线、平面位置关系是历年
高考考查的重点内容之一，
多以主观题形式出现．如
2010年高考T16(1)等．
2.公理和定理一般不单独考
查，而是作为解题过程中
的推理依据.
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幻灯片 3[归纳 知识整合]
1．四个公理
公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内．作用：可用来证明点、直线在平面内．
作用：可用来证明点、直线在平面内．
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
两点
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幻灯片 4 作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点．
公理3：经过 的三点，有且只有一个平面．
作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面．
公理4：平行于同一条直线的两条直线 ．
作用：判断空间两条直线平行的依据．
不在同一条直线上
互相平行
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幻灯片 5 [探究] 1.平面几何中成立的有关结论在空间立体几何中是否一定成立？
提示：不一定．例如，“经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直”在平面几何中成立，但在立体几何中就不成立．而公理4的传递性在平面几何和立体几何中均成立．
2．直线与直线的位置关系
平行
相交
任何
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幻灯片 6 (2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的 _____________ 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
锐角(或直角)
(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角 ．
相等
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幻灯片 7 ③判定：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
[探究] 2.不相交的两条直线是异面直线吗？
提示：不一定，不相交的两条直线可能平行，也可能异面．
3．不在同一平面内的直线是异面直线吗？
提示：不一定，不在同一平面内的直线可能异面，也可能平行．
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幻灯片 83．空间直线与平面、平面与平面的位置关系
1
0
无数
0
无数
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幻灯片 9[自测 牛刀小试]
1．(教材习题改编)下列命题：
①经过三点确定一个平面;
②梯形可以确定一个平面;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题的是_________. (填序号)
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幻灯片 10解析：对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；
对于④，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故④错误．
答案：②③
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幻灯片 112．如果a⊂α ; b⊂α ; l∩a＝A ; l∩b＝B，那么下列
关系成立的是________(填序号)．
①l⊂α；②l⊄α；③l∩α＝A；④l∩α＝B.
解析：∵a⊂α，l∩a＝A，∴A∈α，A∈l，同理B∈α，B∈l，∴l⊂α.
答案：①
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幻灯片 123．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这
三个平面把空间分成________个部分．
解析：三个平面α，β，γ两两相交，交线分别是a，b，c，且a∥b∥c，则α，β，γ把空间分成7部分．
答案：7
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幻灯片 134．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平
面α的关系是____________．
解析：当这两点在α的同侧时，l与α平行；
当这两点在α的异侧时，l与α相交．
答案：平行或相交
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幻灯片 145．(2012·信阳模拟)平面α、β的公共点多于两个，则
①α、β垂直；
②α、β至少有三个公共点；
③α、β至少有一条公共直线；
④α、β至多有一条公共直线．
以上四个判断中不成立是________(填序号)．
解析：由条件知，平面α与β重合或相交，重合时，公共直线多于一条，故④错误；相交时不一定垂直，故①错误．
答案：①④
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幻灯片 15平面的基本性质及应用
[例1] (2012·临沂模拟)以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是 ________(填序号)
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幻灯片 16----
幻灯片 17 [自主解答] (1) ①正确，可以用反证法证明；②不正确，从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线．则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，空间四边形的四条边不在一个平面内．
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幻灯片 18[答案] (1)①
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幻灯片 19本例条件不变，如何证明“FE、AB、DC共点”？
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幻灯片 20----
幻灯片 21 1.由所给元素确定平面的关键点
判断由所给元素(点或直线)确定平面时，关键是分析所给元素是否具有确定惟一平面的条件，如不具备，则一定不能确定一个平面.
2.证明共面问题的常用方法
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合.
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幻灯片 221．下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别
是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．
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幻灯片 23解析：①中可证四边形PQRS为梯形；②中，
如图所示取A1A与BC的中点为M、N，可证
明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正
六边形．③中可证四边形PQRS为平行四边
形；④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．
答案：①②③
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幻灯片 24----
幻灯片 25----
幻灯片 26空间两条直线的位置关系
[例3] 如图，在正方体ABCD－
A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1
的中点，则下列
①MN与CC1垂直;
②MN与AC垂直;
③MN与BD平行;
④MN与A1B1平行;
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幻灯片 27 [自主解答] 由于MN与平面DCC1D1相交于N点，D1C1⊂平面DCC1D1，且C1D1与MN没有公共点，所以MN与C1D1是异面直线．又因为C1D1∥A1B1，且A1B1与MN没有公共点，所以A1B1与MN是异面直线.
[答案] ④
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幻灯片 28————— ————————————
异面直线的判定方法
(1)定义法：依据定义判断(较为困难)；
(2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线．(此结论可作为定理使用)．
(3)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.
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幻灯片 293．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中
点，F、G分别是边BC、CD中的点．
(1)求证：BC与AD是异面直线；
(2)求证：EG与FH相交．
证明：(1)假设BC与AD共面，不妨设它
们所共平面为α，则B、C、A、D∈α.
所以四边形ABCD为平面图形，这与四
边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以
BC与AD是异面直线．
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幻灯片 30(2)如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．
又EG、FH是▱EFGH的对角线，
所以EG与HF相交.
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幻灯片 31异面直线所成的角
[例4] (2012·银川模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
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幻灯片 32 [自主解答] (1)如图，连接AC、AB1，
由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C
为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C
与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．
由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，
即A1C1与B1C所成角为60°.
(2)如图，连接BD，由AA1∥CC1，且AA1＝CC1可知A1ACC1是平行四边形，所以AC∥A1C1.
即AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．
因为EF是△ABD的中位线，所以EF∥BD.
又因为AC⊥BD，所以EF⊥AC，即所求角为90°.
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幻灯片 33求异面直线所成角的步骤
平移法求异面直线所成角的一般步骤：
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幻灯片 344．已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成
60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角．
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幻灯片 35∴∠MEN为异面直线AB与CD所成的角(或补角)，且△MEN为等腰三角形．
当∠MEN＝60°时，∠EMN＝60°，即异面直线AB和MN所成的角为60°.
当∠MEN＝120°时，∠EMN＝30°，即异面直线AB和MN所成的角为30°.
∴直线AB和MN所成的角为60°或30°.
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幻灯片 36 (1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．
(2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．
(3)异面直线的公垂线有且仅有一条．
(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．
(2)补形法：即采用补形法作出平面角．
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幻灯片 37 (1)证明共面问题一般有两种途径：
①首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；
②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．
(2)证明共线问题一般有两种途径：
①先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；
②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明共点问题常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
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幻灯片 38易误警示——求解线线角中忽视隐含条件而致错
[典例] (2013·临沂模拟)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条.
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幻灯片 39[答案] 4
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幻灯片 40 1．易忽视异面直线所成的角，且没有充分认识正方体中的平行关系而错选A.
2．求解空间直线所成的角时，还常犯以下错误：
(1)缺乏空间想象力，感觉无从下手；
(2)忽视异面直线所成角的范围．
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幻灯片 41----
幻灯片 42答案：90°
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幻灯片 431．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列
命题中，错误的为________(填序号)．
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
解析：依题意得MN∥PQ，MN∥平面ABC，又MN⊂平面ACD，且平面ACD∩平面ABC＝AC，因此有MN∥AC，AC∥平面MNPQ.同理，BD∥PN.又截面MNPQ是正方形，因此有AC⊥BD，直线PM与BD所成的角是45°.
答案：C
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幻灯片 442．对于四面体ABCD，下列命题
①相对棱AB与CD所在直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
其中正确的是________．(填序号)
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幻灯片 45解析：对于①，由四面体的概念可知，
AB与CD所在的直线为异面直线，故①
正确；对于②，由顶点A作四面体的高，
当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其
垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；对于③，当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误；对于④，设AB、BC、CD、DA的中点依次为E、F、M、N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱也过它们的交点，故④正确．
答案：①④
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幻灯片 463．已知长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，BC ＝
3，AA′＝5，求异面直线D′B和AC所成角的余弦值．
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幻灯片 47----
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