幻灯片 1第二节 用样本估计总体
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幻灯片 2 三年22考 高考指数:★★★★
1.了解分布的意义与作用，会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点；
2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；
3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；
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幻灯片 34.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；
5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
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幻灯片 41.频率分布直方图的应用和平均数、标准差的计算及应用是考查重点；
2.频率分布等内容经常与概率等知识相结合出题；
3.题型以选择题和填空题为主，与概率交汇则以解答题为主.
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幻灯片 51.统计图表的含义
(1)频率分布表：
①含义：把反映 的表格称为频率分布表.
②频率分布表的画法步骤：
第一步：求 ，决定组数和组距，组距= ；
第二步： ，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，
最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
总体频率分布
全距
分组
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幻灯片 6(2)频率分布直方图：能够反映样本的 的直方图.
(3)频率分布折线图：将频率分布直方图中各相邻的矩形的
__________的中点顺次连接起来，就得到频率分布折线图.
(4)总体密度曲线：如果将样本容量取得足够大，分组的组距足够小，则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，即总体密度曲线.
频率分布规律
上底边
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幻灯片 7(5)茎叶图的画法步骤：
第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；
第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧；
第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧.
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幻灯片 8【即时应用】判断下列关于频率分布直方图和茎叶图的说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势.
( )
②从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了. ( )
③茎叶图一般左侧的叶从大到小写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次. ( )
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幻灯片 9④用茎叶图表示数据有两个优点：一是统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示.( )
⑤茎叶图只能表示有两位有效数字的数据. ( )
【解析】根据频率分布直方图的含义可知①②都正确；茎叶图要求不能丢失数据，所以③不正确；④正确；⑤不正确，茎叶图也能够记录有三个或三个以上的有效数字的数据，只不过此时茎和叶的选择要灵活.
答案:①√ ②√ ③× ④√ ⑤×
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幻灯片 102.样本的数字特征
(1)众数：一组数据中 的那个数据，叫做这组
数据的众数.
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于 位置的
一个数据叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：把 称为a1,a2,…,an这n个数的平均数.
出现次数最多
最中间
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幻灯片 11(4)标准差与方差:设一组数据x1,x2,x3，…，xn的平均数
为 ，则这组数据的标准差和方差分别是
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幻灯片 12【即时应用】
(1)思考：在频率分布直方图中，如何确定中位数？
提示:在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积是相等的.
(2)某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，
他们每场比赛得分的情况用如图所示的
茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中
位数分别为________.
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幻灯片 13【解析】根据中位数的含义及茎叶图可知，甲的中位数是19，乙的中位数是13.
答案:19、13
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幻灯片 14(3)已知一个样本为：1，3，4，a,7.它的平均数是4，则这个样本的标准差是______.
【解析】由平均数是4，得 =4，
∴a=5，代入标准差的计算公式得s=2.
答案:2
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幻灯片 15 统计图表的应用
【方法点睛】常用统计图表的作用
频率分布表、频率分布直方图、茎叶图都是用来描述样本数据的分布情况的.茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息.
【提醒】在画频率分布表或频率分布直方图分组时，取值区间两端点有时可根据数据分别向外延伸半个组距.
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幻灯片 16【例1】对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计电子元件寿命在［100，400) h以内的概率；
(4)估计电子元件寿命在400 h以上的概率.
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幻灯片 17【解题指南】本题分组及频数统计已完成，只需列表画图即可，解答(3)(4)可用频率代替概率.
【规范解答】(1)频率分布表如下：
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幻灯片 18(2)频率分布直方图如下：
频率/组距
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幻灯片 19(3)由频率分布表和频率分布直方图可得,寿命在[100,400) h内的电子元件出现的频率为0.10+0.15+0.40=0.65，所以我们估计电子元件寿命在［100，400) h内的概率为0.65.
(4)由频率分布表可知，寿命在400 h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400 h以上的概率为0.35.
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幻灯片 20【反思·感悟】1.画频率分布直方图时要注意纵、横坐标轴的意义，频率分布直方图中小矩形的面积是该组数据的频率.
2.频率分布直方图反映了样本的频率分布.
(1)在频率分布直方图中纵坐标表示 ，频率=组距× .
(2)频率分布表中频率的和为1，故频率分布直方图中各长方形的面积和为1.
(3)用样本的频率分布可以估计相应总体的概率分布.
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幻灯片 21【变式训练】从两个班中各随机地抽取10名学生，他们的数学成绩如下：
画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况.
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幻灯片 22【解析】
由茎叶图可知甲班成绩较分散,80分以上的很少，主要集中在70分，乙班成绩较集中，主要集中在70分、80分两个分数段，所以乙班总体成绩优于甲班.
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幻灯片 23【变式备选】将容量为100的样本数据，按由小到大排列分成8个小组，如表：
第3组的频率为( )
(A)0.14 (B) (C)0.03 (D)
【解析】选A.第3组的频率为 =0.14.
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幻灯片 24 数字特征的应用
【方法点睛】1.众数、中位数与平均数的理解
众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，其中平均数与每一个样本数据都有关，任何一个数据的改变都会引起平均数的变化.
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幻灯片 252.标准差与方差
标准差与方差描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动情况，标准差与方差越大，说明这组数据的波动性越大.
【提醒】用样本的数字特征估计总体的数字特征时，样本容量越大，估计就越精确.
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幻灯片 26【例2】(1)(2011·江西高考)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为 ，则
( )
(A)me＝mo＝
(B)me＝mo<
(C)mes乙2
∴ 甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡.
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幻灯片 32【互动探究】本例(2)中若另一个平行班级的平均分也是70分，方差是20 ，则这两个班级的学生的学习水平如何？
【解析】两个班级平均分相同，说明总体水平一样，但此平行班级的方差小，说明此平行班级的学生成绩差距不大，没有特别高分的，也没有特别低分的.
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幻灯片 33【反思·感悟】牢记样本数据的数字特征是正确求解的关键，各个数字特征只是反映了总体的某一方面的信息，应用时要综合考虑.
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幻灯片 34【变式备选】数据a1，a2，a3，…，an的方差为σ2，则数据2a1
－1,2a2－1，…，2an－1的方差为( )
(A) (B)2σ2－1 (C)4σ2 (D)4σ2－1
【解析】选C.数据a1，a2，a3，…，an的方差为σ2，不妨设平
均数为 ，则数据2a1－1,2a2－1,2a3－1，…，2an－1的平均数
为2 －1，
方差s2＝ [4(a1－ )2＋4(a2－ )2＋…＋4(an－ )2]
＝
＝4σ2.
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幻灯片 35 统计与概率的综合应
【方法点睛】解答统计与概率综合问题的注意事项
(1)从统计图表中准确获取相关信息是解题关键.
(2)明确频率与概率的关系，频率可近似代替概率.
(3)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成.
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幻灯片 36【例3】某市从4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,
77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,
(1)作出频率分布表；
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染.
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幻灯片 37请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
【解题指南】首先根据题目中的数据完成频率分布表，作出频率分布直方图，根据污染指数，确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数.
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幻灯片 38【规范解答】(1)频率分布表：
2
1
4
6
10
5
2
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幻灯片 39(2)频率分布直方图：
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幻灯片 40(3)答对下述两条中的一条即可：
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天
数的 ，有26天处于良的水平，占当月天数的 ，处于优或良
的天数共有28天，占当月天数的 .说明该市空气质量基本良
好.
②轻微污染有2天，占当月天数的 .污染指数在80以上的接近
轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17
天，占当月天数的 ，超过50%，说明该市空气质量有待进一
步改善.
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幻灯片 41【反思·感悟】1.在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量；
2.在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的 ，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率.
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幻灯片 42【变式训练】(2012·无锡模拟)为了了解某年段1 000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组［13，14)；第二组［14，15)；…；第五组［17，18］.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.
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幻灯片 43(1)将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在［16，17)内的人数；
(2)求调查中随机抽取了多少个学
生的百米成绩；
(3)若从第一、五组中随机取出两
个成绩，求这两个成绩的差的绝对
值大于1秒的概率.
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幻灯片 44【解析】(1)百米成绩在［16，17)内的频率为
0.32×1=0.32，0.32×1 000=320,
∴估计该年段学生中百米成绩在［16，17)内的人数为320人.
(2)设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x，
依题意，得3x+8x+19x+0.32×1+0.08×1=1，
∴x=0.02.
设调查中随机抽取了y个学生的百米成绩，
则8×0.02= ，∴y=50，
∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩.
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幻灯片 45(3)百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×1×50=3，
记他们的成绩为a，b，c，百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50=4，记他们的成绩为m，n，p，q，则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a，b}，{a，c}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，c}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共21个.
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幻灯片 46其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，共12个，所以所求概率为
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幻灯片 47【变式备选】某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50),
[50,60)…[90,100]后得到如下部分频率分布直方图.观察图
形的信息，回答下列问题：
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幻灯片 48(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
(3)用分层抽样的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70,80)的概率.
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幻灯片 49【解析】(1)分数在[70,80)内的频率为：
1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10
=1-0.700=0.300，故 =0.03，
如图所示：
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幻灯片 50(2)平均分为：
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.
(3)由题意，[60,70)分数段的人数为：0.15×60=9人；
[70,80)分数段的人数为：0.3×60=18人；
∵在[60，80)的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴[60,70)分数段抽取2人，分别记为m，n；[70,80)分数段抽取4人，分别记为a,b,c,d；
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幻灯片 51设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[70,80)为事件A，
则基本事件空间包含的基本事件有：(m,n)、(m,a)、(m,b)、
(m,c)、(m,d)、……、(c，d)共15种，
则事件A包含的基本事件有：(m,n)、(m,a)、(m,b)、(m,c)、
(m,d)、(n,a)、(n,b)、(n,c)、(n,d)共9种，
∴P(A)= .
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幻灯片 52【满分指导】统计的综合应用解答题的规范解答
【典例】(12分)(2011·北京高考)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
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幻灯片 53(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．
(注：方差 ，其中 为x1，x2，…，xn的平均数)
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幻灯片 54【解题指南】(1)利用平均数和方差的定义计算.
(2)利用列举法求出所有可能情况,然后求概率.
【规范解答】 (1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，
所以平均数为 …………………………3分
方差为
…………………………………………………………………6分
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幻灯片 55(2)记甲组四名同学分别为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：
(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，
(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，
(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，
(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)．………………10分
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幻灯片 56用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，故所求概率为P(C)＝ .………………12分
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幻灯片 57【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 58----
幻灯片 591.(2011·四川高考)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11．5，15．5) 2 [15．5,19．5) 4 [19．5，23．5) 9
[23．5,27．5) 18 [27．5，31．5) 11 [31．5，35．5) 12
[35．5，39．5) 7 [39．5,43．5) 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5)的概率约是( )
(A) (B) (C) (D)
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幻灯片 60【解析】选B.从31.5到43.5共有22个数据，所以
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幻灯片 612.(2011·江苏高考)某老师从星期一到星期五收到的信件数分
别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=_________.
【解析】平均值 =7，
∴s2= [(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]= =3.2.
答案：3.2
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幻灯片 623.(2012·宁波模拟)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a＝ .若要从身高在[120 , 130)，[130 ，140), [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身
高在[140 ，150]内
的学生中选取的人数
应为 .
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幻灯片 63【解析】各矩形的面积和为：0.005×10+0.035×10+a×10+
0.020×10+0.010×10=1,解得a=0.030.身高在[120,130)，
[130，140), [140,150]三组内的学生人数分别为：30、20、
10，人数的比为3∶2∶1，因此从身高在[140，150]内的学生
中选取的人数应为18× =3人.
答案:0.030 3
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幻灯片 644.(2012·咸宁模拟)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 .
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幻灯片 65【解析】甲的平均数为
乙的平均数为
答案：24 23
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