幻灯片 1第三节 变量间的相关关系与统计案例
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幻灯片 2三年13考 高考指数:★★★
1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.
2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.
4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
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幻灯片 31.线性回归方程的建立及应用和独立性检验的应用
是考查重点；主要是求线性回归方程的系数或利用线性回归方程进行预测，在给出临界值的情况下判断两个变量是否有关.
2.题型以选择题和填空题为主，难度不大，属中低档题.
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幻灯片 41.线性相关关系与回归直线
(1)从散点图判断两个变量的相关关系
①正相关：点散布在从 到 的区域.
②负相关：点散布在从 到 的区域.
(2)回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在 附近，
就称这两个变量之间具有 .这条直线叫做回归
直线.
左下角
右上角
左上角
右下角
一条直线
线性相关关系
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幻灯片 5【即时应用】
(1)思考：相关关系与函数关系有什么异同点？
提示:相同点：两者均是指两个变量的关系.
不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.
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幻灯片 6(2)判断下列各关系是否是相关关系.(请在括号内填“是”或“否”)
①路程与时间、速度的关系； ( )
②加速度与力的关系； ( )
③产品成本与产量的关系； ( )
④圆周长与圆面积的关系； ( )
⑤广告费支出与销售额的关系. ( )
【解析】①②④是确定的函数关系，成本与产量，广告费支出与销售额是相关关系.
答案：①否 ②否 ③是 ④否 ⑤是
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幻灯片 72.回归直线方程
n个观测值的n个点大致分布在一条直线的附近，若所求的直线
方程为 = ,(其中
我们将这个方程叫做回归直线方程， 叫做回归系数，相
应的直线叫做回归直线.
、
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幻灯片 8【即时应用】
(1)由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到回
归直线方程 ，判断下面说法是否正确.(请在括号内打
“√”或“×”)
①任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程；
( )
②直线 至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)
中的一个点； ( )
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幻灯片 9③直线 的斜率 ＝ ； ( )
④直线 和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的
偏差 是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差
中最小的. ( )
(2)已知回归方程 ＝4.4x＋838.19，则可估计x与y的增长速
度之比约为________.
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幻灯片 10【解析】(1)任何一组观测值都能利用公式得到直线方程，但
这个方程可能无意义，①不正确；回归直线方程 经
过样本点的中心( )，可能不经过(x1，y1)，(x2，y2)，…，
(xn，yn)中的任何一点，这些点分布在这条直线附近，②不正
确；③正确；④正确．
(2)x与y的增长速度之比即约为回归方程的斜率的倒数
答案：(1)①× ②× ③√ ④√ (2)
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幻灯片 113.独立性检验
(1)独立性检验的有关概念
①分类变量
可以利用不同“值”表示个体所属的 的变量称为分
类变量.
不同类别
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幻灯片 12②2×2列联表
假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为｛x1,x2｝和｛y1,y2｝,其样本频数列联表称为2×2列联表，如表：
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幻灯片 13(2)K2统计量
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个
随机变量K2= ,其中n= 为样
本容量.
(3)独立性检验的定义及判断方法
①独立性检验的定义
利用随机变量K2来判断“ ”的方法，称为
独立性检验.
②独立性检验的方法有列联表法、等高条形图法及K2公式法.
a+b+c+d
两个分类变量有关系
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幻灯片 14【即时应用】
(1)下面是一个2×2列联表
则表中a、b处的值分别为_______.
(2)在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k=27.63,根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是_______的(填“有关”或“无关”).
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幻灯片 15【解析】(1)∵a+21=73,∴a=52.
又∵a+2=b,∴b=54.
(2)∵k=27.63>6.635,
∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为打鼾与患心脏病有关.
答案：(1)52、54 (2)有关
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幻灯片 16 线性相关关系的判断
【方法点睛】利用散点图判断线性相关关系的技巧
(1)在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；
(2)如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系；
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幻灯片 17(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.
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幻灯片 18【例1】下表是某小卖部6天卖出的热茶的杯数与当天气温的对比表.
(1)将表中的数据画成散点图；
(2)你能依据散点图指出气温与热茶杯数的关系吗？
(3)如果气温与卖出热茶杯数近似成线性相关关系的话，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系．
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幻灯片 19【解题指南】画出散点图进行分析,然后由线性相关的定义判断.
【规范解答】(1)画出的散点图如图．
(2)从图中可以发现气温和热茶杯数具有相关关系，气温和热茶杯数成负相关，图中的各点大致分布在一条直线的附近，因此气温和杯数近似成线性相关关系．
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幻灯片 20(3)根据不同的标准，可以画出不同的直线来近似表示这种线性相关关系，如让画出的直线上方的点和下方的点数目相等．如图．
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幻灯片 21【反思·感悟】粗略判断相关性，可以观察一个变量随另一个变量变化而变化的情况.画出散点图能够更直观地判断是否相关，相关时是正相关还是负相关.
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幻灯片 22【变式训练】5个学生的数学和物理成绩如下表：
画出散点图，并判断它们是否有相关关系．
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幻灯片 23【解析】把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中描点(xi，yi)(i＝1,2，…，5)，作出散点图如图．
从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系，且当数学成绩增大时，物理成绩也在由小变大，即它们正相关.
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幻灯片 24 线性回归方程及其应用
【方法点睛】求样本数据的线性回归方程的步骤
第一步，计算平均数
第二步，求和 ;
第三步，计算
第四步，写出回归方程
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幻灯片 25【提醒】如果一组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所求得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.
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幻灯片 26【例2】(1)(2011·广东高考)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.
(2)测得某国10对父子身高(单位：英寸)如下：
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幻灯片 27①画出散点图，说明变量y与x的相关性；
②如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程.
(已知： =66.8, =67.01, =4 462.24, ≈4 490.34,
=44 794, =44 941.93, =44 842.4)
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幻灯片 28【解题指南】(1)求出回归方程，代入相关数据求得；
(2)①根据散点图判断相关性.
②根据已知数据和提示的公式数据求解,写出线性回归方程.
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幻灯片 29【规范解答】(1)由题设知：设解释变量为x，预报变量为y，
它们对应的取值如下表所示
于是有 =173， =176， ,
=176-173×1=3,得回归方程为 =x+3,所以当x=182时， =185.
答案：185
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幻灯片 30(2)①散点图如图所示:
观察散点图中点的分布可以看出:这些点在一条直线的附近分布，所以变量y与x之间具有线性相关关系.
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幻灯片 31②设回归方程为 .
由
=67.01-0.464 6×66.8≈35.974 7.
所求的线性回归方程为 =0.464 6x+35.974 7.
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幻灯片 32【互动探究】若本例(2)题干不变,如果父亲的身高为73英寸，试估计儿子的身高.
【解析】由本例(2)可知回归方程为 =0.464 6x+35.974 7.
当x=73时， =0.464 6×73+35.974 7≈69.9(英寸).
所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸.
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幻灯片 33【反思·感悟】求线性回归方程，主要是利用公式，求出回归
系数 ，求解过程中注意计算的准确性和简便性.利用回归方
程预报，就是求函数值.
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幻灯片 34【变式备选】已知x,y的取值如下表所示：
从散点图分析，y与x线性相关，且 =0.95x+a,以此预测当x=5
时，y=__________.
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幻灯片 35【解析】回归直线一定过样本点中心， =2, =4.5,代入
=0.95x+a中，得a=2.6，∴线性回归方程为 =0.95x+2.6,当
x=5时，y=7.35.
答案：7.35
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幻灯片 36 独立性检验的基本思想及其应用
【方法点睛】利用统计量K2进行独立性检验的步骤
第一步根据数据列出2×2列联表；
第二步根据公式计算K2的观测值k；
第三步比较观测值k与临界值表中相应的检验水平，作出统计推断.
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幻灯片 37【例3】某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前的合格品有36件，不合格品有49件，设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件．根据所给数据：
(1)写出2×2列联表；
(2)判断产品是否合格与设备改造是否有关．
【解题指南】列表后利用K2的观测值进行检验.
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幻灯片 38【规范解答】(1)由已知数据得
(2)根据列联表中的数据，K2的观测值为
k＝
由于12.38>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为产品合格与设备改造有关．
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幻灯片 39【反思·感悟】准确计算K2的观测值是关键.能有多大的把握认为两个变量有关，应熟悉常用的几个临界值.
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幻灯片 40【变式训练】为研究是否喜欢饮酒与性别之间的关系，在某地区随机抽取290人，得到如下列联表：
利用列联表的独立性检验判断是否喜欢饮酒与性别是否有关？
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幻灯片 41【解析】由列联表中的数据得
K2的观测值k＝
≈11.953.
∵k≈11.953>10.828.
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否喜欢饮酒与性别有关.
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幻灯片 42【变式备选】有两个分类变量X与Y，其2×2列联表如下表．其中a,15－a均为大于5的整数，则a取何值时在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“X与Y之间有关系”？
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幻灯片 43【解析】查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为X与Y之间有关系，则K2>2.706，
而其观测值k＝
解k>2.706得a>7.19或a<2.04.又因为a>5且15－a>5，a∈Z，所以a＝8,9，故当a取8或9时在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“X与Y之间有关系”．
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幻灯片 44【满分指导】线性回归方程解答题的规范解答
【典例】(12分)(2011·安徽高考)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
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幻灯片 45(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 =
bx+a;
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.
【解题指南】将数据进行处理，把数据同时减去一个数代入公式计算；
利用公式求回归直线方程，并进行预测.
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幻灯片 46【规范解答】(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下：
………………………………………………………………2分
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幻灯片 47对预处理的数据，容易算得
=0， =3.2，………………………………………………4分
b ，……6分
a= -b =3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为
-257=b(x-2 006)+a=6.5(x-2 006)+3.2.………………8分
即 =6.5(x-2 006)+260.2.………………………………10分
(2)利用所求得的直线方程，可预测2012年的粮食需求量为
6.5×(2 012-2 006)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨).
………………………………………………………………12分
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幻灯片 48【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 49----
幻灯片 501.(2011·江西高考)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：
则y对x的线性回归方程为( )
(A) ＝x－1 (B) ＝x＋1
(C) ＝88＋ x (D) ＝176
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幻灯片 51【解析】选C.由表中数据知回归直线是上升的，首先排除D.
＝176， ＝176，由线性回归性质知：点( ， )＝
(176,176)一定在回归直线上，代入各选项检验，只有C符合，
故选C.
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幻灯片 522.(2012·揭阳模拟)为了解某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)的关系，统计了(x,y)的10组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是( )
(A) =-10x-198 (B) =-10x+198
(C) =10x+198 (D) =10x-198
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幻灯片 53【解析】选B.由散点图知，y与x线性负相关，排除C、D，又因为在y轴上的截距大于0，所以选B.
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幻灯片 543.(2011·辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：
万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮
食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直
线方程： =0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入
每增加1万元，年饮食支出平均增加_________万元.
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幻灯片 55【解析】由于 =0.254x+0.321,当x增加1万元时，年饮食支出
y增加0.254万元.
答案：0.254
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