幻灯片 1第一节 随机事件的概率
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幻灯片 2三年3考 高考指数:★★
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；
2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
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幻灯片 31.互斥事件与对立事件的概率是考查重点；
2.题型以选择题、填空题为主，与统计知识交汇则以解答题为主.
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幻灯片 41.概率和频率
(1)频率：在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出
现，nA为事件A出现的频数，事件A出现的频率为fn(A)=____;
(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)
随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)
来估计概率P(A).
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幻灯片 5【即时应用】
(1)思考：概率与频率有何区别与联系？
提示：频率和概率的区别是频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率.
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幻灯片 6(2)判断下列说法的正误.(请在括号内打“√”或“×”)
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小； ( )
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率； ( )
③百分率是频率，但不是概率； ( )
④频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的、不依赖于试验次数的理论值； ( )
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值. ( )
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幻灯片 7【解析】由频率的定义和概率的统计定义及二者的关系可知①④⑤正确，②③不正确.
答案：①√②×③×④√⑤√
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幻灯片 82.事件的关系与运算
如果事件A发生，则事件B一定发生，
这时称事件B包含事件A（或称事件A
包含于事件B）
A=B
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）
A∪B
（或 A+B ）
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幻灯片 9若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）
A∩B=Ø
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事
件，那么称事件A与事件B互为对立事
件
若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
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幻灯片 10【即时应用】
(1)两个事件互斥是这两个事件对立的______条件.
(2)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列两个事件是互斥事件但不是对立事件的是________(填序号).
①至少有1个白球，都是白球
②至少有1个白球，至少有1个红球
③恰有1个白球，恰有2个白球
④至少有1个白球，都是红球
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幻灯片 11【解析】(1)互斥不一定对立，但对立一定互斥，故互斥是对立的必要不充分条件.
(2)①、②中的两个事件不互斥，当然也不对立；③中的两个事件互斥，但不对立；④中的两个事件不但互斥，而且对立.所以正确答案应为③.
答案：(1)必要不充分 (2)③
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幻灯片 123.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围 ______________；
(2)必然事件的概率为___；
(3)不可能事件的概率为____；
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=____________；
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件.
P(A∪B)=_____，P(A)=_________.
0≤P(A)≤1
1
0
P(A)+P(B)
1
1-P(B)
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幻灯片 13【即时应用】
(1)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽验一只是正品(甲级)的概率为_______.
(2)若A、B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝
___________.
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幻灯片 14(3)在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
则至少有两人排队的概率为________.
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幻灯片 15【解析】(1)记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.05－0.03＝0.92.
(2)∵A、B为互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
∴P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
(3)P=1-(0.1+0.16)=0.74
答案：(1)0.92 (2)0.3 (3)0.74
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幻灯片 16 随机事件的频率与概率
【方法点睛】频率与概率的理解
(1)依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，用事件发生的频率近似地作为它的概率，但是，某一事件的概率是一个常数，而频率随着试验次数的变化而变化.
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幻灯片 17(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性.
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幻灯片 18【例1】(2011·新课标全国卷)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
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幻灯片 19B配方的频数分布表
(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量
指标值t的关系式为
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配
方生产的上述100件产品平均一件的利润.
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幻灯片 20【解题指南】第(1)问分别用A配方、B配方生产的产品中优质品的频率来估计概率，第(2)问，用B配方生产的一件产品的利润大于0时即质量指标t≥94时的频率作为概率，生产的100件产品的平均利润为(-2)×频率(t<94)+2×频率(94≤t<102)
+4×频率(t≥102).
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幻灯片 21【规范解答】(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品
的频率为 =0.3，所以用A配方生产的产品中优质品率的
估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为
所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为
0.42.
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幻灯片 22(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率即为t≥94的概率,由试验结果知，
t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润为
×［4×(-2)+54×2+42×4］=2.68(元).
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幻灯片 23【反思·感悟】概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小，频率可近似地当作随机事件的概率，本题在解决概率问题时就是利用频率.
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幻灯片 24【变式训练】某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示：
(1)计算表中击中10环的频率；
(2)根据表中数据，估计该运动员射击一次命中10环的概率.
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幻灯片 25【解析】(1)击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93,
0.89,0.906.
(2)随着试验次数的增加，频率在常数0.9附近摆动，所以估计该运动员射击一次命中10环的概率约是0.9.
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幻灯片 26 随机事件间的关系
【方法点睛】1.互斥事件的理解
(1)互斥事件研究的是两个事件之间的关系；
(2)所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的；
(3)两个事件互斥是从“试验的结果不能同时出现”来确定的．
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幻灯片 272.从集合角度理解互斥和对立事件
从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的
结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件 所含
的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合
的补集.
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幻灯片 28【例2】判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件.
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中
(1)恰有1名男生和恰有2名男生；
(2)至少有1名男生和至少有1名女生；
(3)至少有1名男生和全是男生；
(4)至少有1名男生和全是女生.
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幻灯片 29【解题指南】应重点关注从3名男生和2名女生中任选2名同学的所有可能情况，然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系.
【规范解答】(1)是互斥事件，不是对立事件.
原因是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件.
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幻灯片 30(2)不可能是互斥事件，从而也不是对立事件.
原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.
(3)不可能是互斥事件，也不是对立事件.
原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.
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幻灯片 31(4)是互斥事件，也是对立事件.
原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以也是对立事件.
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幻灯片 32【反思·感悟】判断两事件的关系时，一是要考虑试验的前提条件；二是考虑事件间是否有交事件，可考虑利用Venn图分析.对于较难作出判断关系的情况，也可列出全部结果，再进行分析.
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幻灯片 33【变式训练】从一副桥牌(52张)中任取1张.判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”.
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幻灯片 34【解析】(1)是互斥事件但不是对立事件.因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发生，因而是互斥的.同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此两者不对立.
(2)是互斥事件又是对立事件.因为两者不可能同时发生，但其中必有一个发生.
(3)不是互斥事件，更不是对立事件.因为“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”这两个事件有可能同时发生.
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幻灯片 35【变式备选】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是不是互斥事件？如果是，再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
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幻灯片 36【解析】(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与事件E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E必不发生，且事件E不发生则事件B一定发生，故事件B与事件E是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件.
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幻灯片 37(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有这些可能：“甲、乙两种报都不订”，“只订甲报”，“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.
(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.
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幻灯片 38 互斥事件、对立事件的概率
【方法点睛】求复杂的互斥事件的概率的一般方法
(1)直接求法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件
的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算.
(2)间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)
=1-P( )，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，
“至少”型题目，用间接求法就显得较简便.
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幻灯片 39【提醒】应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和.
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幻灯片 40【例3】(1)(2012·济南模拟)在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，则小明在数学考试中取得80分及以上的概率为____.
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幻灯片 41(2)国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中7～10环的概率如表所示：
求该射击队员射击一次
①射中9环或10环的概率；
②至少命中8环的概率.
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幻灯片 42【解题指南】(1)小明的成绩在80分及以上可以看作是互斥事件“80～89分”“90分及以上”的并事件；
(2)该射击队员在一次射击中，命中几环不可能同时发生，故彼此是互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率.另外，当直接求解不容易时，可先求其对立事件的概率.
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幻灯片 43【规范解答】(1)分别记小明的成绩“在90分及以上”“ 在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“60分以下”为事件B、C、D、E、F，这五个事件彼此互斥.
所以小明的成绩在80分及以上的概率是：P(B+C)=P(B)+P(C)
=0.18+0.51=0.69.
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幻灯片 44答案：0.69
(2)记事件“射击一次，命中k环”为Ak
(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥.
①记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的概率加法公式得
P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.
②设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得
P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.
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幻灯片 45【互动探究】在本例(1)中条件不变，求小明在数学考试中及格的概率.
【解析】方法一：由例题知小明考试及格的概率是P(B+C+D+E)
=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
方法二：小明考试不及格的概率是0.07，记“小明考试及格”为事件A.
所以小明考试及格的概率是P(A)=1-0.07=0.93.
所以小明在数学考试中及格的概率是0.93.
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幻灯片 46【反思·感悟】必须明白事件A、B互斥的条件，只有互斥事件才可用概率的求和公式P(A+B)=P(A)+P(B).
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幻灯片 47【变式备选】一盒中装有各色球12只，其中5个红球、4个黑
球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球，求：
(1)取出的1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.
【解析】记事件A1={任取1球为红球}；A2={任取1球为黑球}；
A3={任取1球为白球}；A4={任取1球为绿球}，则P(A1)=
P(A2)= P(A3)= P(A4)=
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幻灯片 48方法一：(利用互斥事件的概率公式求概率)
根据题意，知事件A1,A2,A3,A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得：
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
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幻灯片 49方法二：(利用对立事件求概率的方法)
(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4.所以取得一红球或黑球的概率为：
P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4,
所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=
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幻灯片 50【满分指导】随机事件主观题的规范解答
【典例】(12分)(2011·陕西高考)如
图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，
现随机抽取100位从A地到达火车站的人
进行调查，调查结果如下：
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幻灯片 51(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
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幻灯片 52【解题指南】(1)读懂所给表格，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；(2)根据频率的计算公式计算；(3)计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径．
【规范解答】(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，
用频率估计相应的概率为0.44. ………………………3分
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幻灯片 53(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：
………………………………………………………………6分
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幻灯片 54(3)用A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；用B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5， P(A1)>P(A2)，
甲应选择路径L1； ……………………………………10分
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9，P(B2)＞P(B1)，
乙应选择路径L2. ……………………………………12分
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幻灯片 55【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 56----
幻灯片 571.(2012·西安模拟)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为( )
(A)① (B)② (C)③ (D)④
【解析】选B.由对立事件的定义，可知“至少有一个白球”和“全是黑球”为对立事件．
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幻灯片 582.(2012·莆田模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B=“抽到二等品”，事件C=“抽到三等品”，且已知P(A)=0.65，P(B)=0.2，P(C)=0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
(A)0.65 (B)0.35 (C)0.3 (D)0.005
【解析】选B.由对立事件的概率公式知,“抽到的不是一等品”的概率为1-P(A)=1-0.65=0.35.
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幻灯片 593.(2011·湖南高考)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关.据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
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幻灯片 60(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.
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幻灯片 61【解析】(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为：
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幻灯片 62(2)由已知可得Y= +425,故
P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)
=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)
=
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超
过530(万千瓦时)的概率为
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