幻灯片 1第二节 古典概型
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幻灯片 2三年30考 高考指数:★★★★★
1.理解古典概型及其概率计算公式；
2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
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幻灯片 31.古典概型的概率是高考考查的重点；
2.利用列举法、树状图法、分类讨论的思想解决古典概型问题是重点，也是难点；
3.题型以解答题为主，往往与统计等其他知识交汇命题.
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幻灯片 41.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是_______的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__________的和.
互斥
基本事件
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幻灯片 5【即时应用】
(1)思考:在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的吗？
提示：不一定等可能.如试验一粒种子是否发芽，其发芽和不发芽的可能性是不相等的.
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幻灯片 6(2)某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有______个.
【解析】该生选报的所有可能情况是：{数学和计算机}、{数学和航空模型}、{计算机和航空模型}，所以基本事件的个数为3.
答案：3
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幻灯片 72.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件____________.
(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性_______.
只有有限个
相等
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幻灯片 8【即时应用】
判断下列试验是否是古典概型(请在括号中填写“是”或“否”)
①投掷一颗质地不均匀的骰子， 观察其朝上的点数； ( )
②口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球； ( )
③向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的； ( )
④射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，……，命中0环. ( )
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幻灯片 9【解析】对于①：由于质地不均匀，故每个面朝上的概率不相
等；对于②：摸到白球和黑球的概率相同，均为 对于③：
基本事件有无限个；对于④：由于受射击运动员水平的影响，
命中10环，命中9环，……，命中0环的可能性不等.故只有②
是古典概型.
答案：①否 ②是 ③否 ④否
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幻灯片 103.古典概型的概率公式
P(A)=_________________________.
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幻灯片 11【即时应用】
(1)思考:先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有人说，一共出现：
“两枚正面”、“两枚反面”、“一枚正面，一枚反面”三种
结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是 这种说
法正确吗？
提示:不正确.两枚硬币编号为1,2，则基本事件应为：
(正1，正2)，(正1，反2)，(反1，正2)，(反1，反2)，故
出现一正一反有(正1，反2)，(反1，正2)两种情况，故所求
概率为
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幻灯片 12(2)在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这
些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，
则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是______.
【解析】取2个小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10
种，其中标注的数字之差的绝对值为2或4的有(1,3)，(2,4)，
(3,5)，(1,5)，共4种，故所求的概率为
答案:
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幻灯片 13(3)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，
则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．
【解析】基本事件的总数为6×6＝36个，记事件A＝
{(m,n)|(m，n)落在圆x2＋y2＝16内}，则A所包含的基本事件有
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2),
共8个．
∴P(A)＝
答案:
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幻灯片 14 简单古典概型的概率
【方法点睛】1.求古典概型概率的步骤
第一步：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件
A；
第二步：分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基
本事件个数m;
第三步：利用公式P(A)= 求出事件A的概率.
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幻灯片 152.基本事件个数的确定方法
此法适合于基本事件较少的古典概型.
此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法.
树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求.
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幻灯片 16【例1】(2011·山东高考)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
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幻灯片 17【解题指南】(1)本题考查古典概型，要将基本事件都列出，然后找出2名教师性别相同所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.
(2)从报名的6名教师中任选2名，列出基本事件，然后找出2名教师来自同一学校所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.
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幻灯片 18【规范解答】(1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为:
(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种.
从中选出的2名教师性别相同的结果为:(A,D),(B,D),(C,E),
(C,F)，共4种.
所以选出的2名教师性别相同的概率为
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幻灯片 19(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为:
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),
(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.
从中选出的2名教师来自同一学校的结果为:
(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种.
所以选出的2名教师来自同一学校的概率为
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幻灯片 20【反思·感悟】在求解本题时应注意第(1)问属于有顺序的问题，该类问题的基本事件按先甲校再乙校分步列举；第(2)问属于无顺序的问题，基本事件按所含字母利用列举法，按一定顺序分类列举.
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幻灯片 21【变式训练】用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率.
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幻灯片 22【解析】所有可能的基本事件共有27个，如图所示.
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幻灯片 23(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的基
本事件有3个，故P(A)=
(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的基
本事件有6个，故P(B)=
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幻灯片 24【变式备选】袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n2-6n+12克，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、号码的影响).
(1)如果任意取出1球，求其重量大于号码数的概率.
(2)如果不放回地任意取出2球，求它们重量相等的概率.
【解析】(1)由题意，任意取出1球，共有6种等可能的事件.
由不等式n2-6n+12＞n,得n＞4或n＜3.
所以n=1,2或n=5,6，于是所求概率为
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幻灯片 25(2)从6个球中任意取出2个球,共有15种等可能的情况,列举如下:
(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,4)
(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)
设第n号与第m号的两个球的重量相等,
则有n2-6n+12=m2-6m+12.
∴(n-m)(n+m-6)=0.
∵n≠m,∴n+m=6,∴符合题意的有(1,5),(2,4)两种情况,
故所求概率为
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幻灯片 26 有放回抽样和无放回抽样的概率
【方法点睛】有放回抽样和无放回抽样的对比
在古典概型的概率中涉及两种不同的抽取方法，以摸球为例,设袋内装有n个不同的球，现从中依次摸球，每次只摸一只，具有两种摸球的方法．
(1)有放回
每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法属于有放回的抽样，显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去．
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幻灯片 27(2)无放回
每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球方法属于无放回的抽样．显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次．
【提醒】注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.
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幻灯片 28【例2】(1)三件产品中含有两件正品a，b和一件次品c.
每次任取一件,每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
(2)三件产品中含有两件正品a，b和一件次品c.每次任取一件,每次取出后放回,求取出的两件产品恰有一件次品的概率.
【解题指南】问题的关键在于一种是不放回试验，一种是有放回试验.不放回试验，取一件少一件，而有放回试验，取一件后，再取一件时情况不变.通过列出所有基本事件的方法解答比较直观易懂.
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幻灯片 29【规范解答】(1)方法一：
每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果
组成的基本事件有6个，即(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，
c)，(c，a)，(c，b).其中小括号内左边的字母表示第1次取出
的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.A表示“取出的两
件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则A={(a，c)，
(b，c)，(c，a)，(c，b)},事件A由4个基本事件组成，因而，
P(A)=
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幻灯片 30方法二：
取出的两件产品中有一件次品，至于是第一次取出，还是第二次取出可不考虑，则所有可能结果有(a，b),(a，c),(b，c),
共3个基本事件，而恰好有一件次品的基本事件有(a，c), (b，c)，共2个，因此所求概率为
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幻灯片 31(2)这是有放回试验，第一次被取出的产品，第二次也可能被
取出，由于最后关心的是两件产品中有一件次品，因此必须考
虑顺序，则所有可能的结果有(a,a),(a，b)，(a，c)，
(b,b),(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b), (c,c),共9个基本
事件，其中恰好有一件次品的基本事件有(a，c)，(b，c)，
(c，a)，(c，b),共4个基本事件.因此每次取出后放回，取出
的两件产品恰有一件次品的概率为
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幻灯片 32【互动探究】在本例中，若将条件改为“一次性抽取两件产
品”， 其余条件不变，求取出的两件产品中恰有一件次品的
概率.
【解析】若一次性抽取两件产品，则两件产品之间不存在顺序
问题，其结果有ab,ac,bc共3个基本事件，其中恰好有一件次
品的基本事件有ac,bc共2个基本事件，故所求概率为
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幻灯片 33【反思·感悟】关于不放回逐次抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.
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幻灯片 34【变式备选】某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把试着开门.
(1)如果不能开门的就扔掉，问第2次才能打开门的概率是多少？
(2)如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？
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幻灯片 35【解析】设能打开门的2把钥匙为a，b，不能打开门的2把钥匙
为1,2，则
(1)不能打开门的就扔掉相当于不放回抽样问题，其基本事件
有ab，a1,a2,ba,b1,b2,1a,1b,12,2a,2b,21共12个，第2次才
能把门打开对应的基本事件是1a,1b,2a,2b,共4个，故其概率
是
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幻灯片 36(2)试过的钥匙不扔掉相当于有放回抽样问题，其基本事件有
aa,ab，a1,a2,ba,bb,b1,b2,1a,1b,11,12,2a,2b,21,22共16
个，第2次才能把门打开对应的基本事件是1a,1b,2a,2b,共4
个，故其概率是
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幻灯片 37 构建不同的概率模型解决问题
【方法点睛】建立概率模型的原则、要求及作用
(1)原则：建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”， 这就要求选择恰当的观察角度，把问题转化为易于解决的古典概型问题.
(2)要求：每次试验有一个并且只有一个基本事件出现.
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幻灯片 38(3)作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同的“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一方面，我们又可以用一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”.
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幻灯片 39【例3】(2012·大连模拟)同时投掷两粒骰子，求向上的点数之和为奇数的概率.
【解题指南】适当选取观察角度以减少复杂的计数.
角度一：通过坐标法列出所有基本事件；角度二：把一次试验的所有可能结果取为:(奇，奇),(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)；角度三：把一次试验的所有可能结果取为:点数和为奇数，点数和为偶数.
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幻灯片 40【规范解答】方法一：从下图可以看出基本事件与所描点一一
对应，有36种，
记“向上的点数和为奇数”的事件为A，从图中可以看出，事
件A包含的基本事件共有18个，因此P(A)=
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幻灯片 41方法二：若把一次试验的所有可能结果取为：(奇，奇)，
(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)，则它们也组成等概率的样本
空间.基本事件总数为4，事件A“点数之和为奇数”包含的基
本事件个数为2，故P(A)=
方法三：若把一次试验的所有可能结果取为：点数和为奇数，
点数和为偶数，则它们也组成等概率的样本空间.基本事件总
数为2，事件A“点数之和为奇数”包含的基本事件个数为1，
故P(A)=
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幻灯片 42【反思·感悟】注意研究事件的特征，灵活选取基本事件可以
简化求概率的过程.可以设想，同时投掷n粒骰子，求出现点数
之和为奇数的概率，结果仍为
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幻灯片 43【变式训练】 抛掷两颗骰子，求：
(1)向上的点数之和是4的倍数的概率；
(2)向上的点数之和大于5小于10的概率．
【解析】从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．
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幻灯片 44(1)记“向上的点数之和是4的倍数”为事件A，从图中可以看
出，事件A包含的基本事件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，
(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)．
所以P(A)＝
(2)记“向上的点数之和大于5小于10”为事件B，从图中可以
看出，事件B包含的基本事件共有20个．即(1,5)，(2,4)，
(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，
(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，
(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3),所以P(B)＝
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幻灯片 45【满分指导】古典概型主观题的规范解答
【典例】(12分)(2011·天津高考)编号为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
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幻灯片 46(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格;
(2)从得分在区间［20，30)内的运动员中随机抽取2人,
①用运动员的编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2人得分之和大于50的概率.
【解题指南】(1)分别按区间范围列举出人数；(2)用列举法、古典概型的概率公式计算概率.
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幻灯片 47【规范解答】(1)4，6，6 ………………………………2分
(2)①得分在区间［20，30)内的运动员编号为A3，A4，A5，
A10，A11，A13. …………………………………………4分
从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：
{A3,A4}，{A3,A5}，{A3,A10}，{A3,A11}，{A3,A13}，{A4,A5}，{A4,A10}，{A4,A11}，{A4,A13}，{A5,A10}，{A5,A11}，{A5,A13}，{A10,A11}，{A10,A13}，{A11,A13}，共15种. ……………8分
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幻灯片 48②“从得分在区间［20，30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种.
…………………………………………………………11分
所以P(B)= ……………………………………12分
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幻灯片 49【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 50----
幻灯片 511.(2011·新课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
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幻灯片 52【解析】设a、b、c分别表示3个兴趣小组,则甲、乙分别参加
兴趣小组的情况为:
共9种，其中甲、乙参加同一个兴趣小组的情况为3种，所以概
率为P=
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幻灯片 532.(2011·安徽高考)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶
点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】选D. 设正六边形为ABCDEF，从6个顶点中随机选择4
个顶点，可以看作随机选取2个顶点，剩下的4个顶点构成四边
形，有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，
DE，DF，EF共15种.若要构成矩形，只要选相对顶点即可,有
AD，BE，CF，共3种，故其概率为
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幻灯片 543.(2011·江苏高考)从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两
个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______.
【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，共有
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)6个基本事件，
其中一个数是另一个的两倍的有(1,2)，(2,4)2个基本事件，
所以其中一个数是另一个的两倍的概率是
答案:
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幻灯片 554.(2012·临沂模拟)任取一正整数，则该数平方的末位数是1
的概率为_________.
【解析】正整数的个位数字是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
中的一个，而要使平方后末位数是1，则该正整数的个位数只
能是1和9中的一个，故所求概率为
答案:
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