幻灯片 1第一节 函数及其表示
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幻灯片 2三年16考 高考指数:★★★
1.了解构成函数的要素，会求一些函数的定义域和值域,了解映射的概念；
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
3.了解简单的分段函数，并能简单的应用.
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幻灯片 31.函数的概念、定义域及其表示(特别是分段函数)是近几年高考命题的热点.
2.常和对数、指数函数的性质等相结合考查，有时也会命制新定义问题.
3.题型主要以选择、填空题为主，属中低档题.
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幻灯片 41.函数与映射的概念
数集
任意
数x
唯一确定
f(x)
集合
确定
任意
元素x
唯一确定
元素y
确定
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幻灯片 5【即时应用】
(1)判断下列对应关系f是否是从A到B的函数.(请在括号中填“是”或“否”)
①A=R，B={x|x＞0},f:x→|x|; ( )
②A=R，B=R，f:x→x2; ( )
③A=Z, B=R，f:x→ ； ( )
④A=Z，B=Z，f:x→x2-3. ( )
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幻灯片 6(2)设A={0,1,2,4}，B={ ,0,1,2,6,8}，判断下列对应关系是否是A到B的映射.(请在括号中填“是”或“否”)
①f:x→x3-1 ( )
②f:x→(x-1)2 ( )
③f:x→2x-1 ( )
④f:x→2x ( )
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幻灯片 7【解析】(1)①否，因为A中的元素0在B中没有对应元素;
③否，因为A中的元素为负数时在B中没有对应元素;
②④是，满足函数的定义，是从A到B的函数.
(2)①不是，当A中的x=0，2，4时在B中没有对应元素；
②不是，当A中的x=4时在B中没有对应元素；
③是，满足映射的定义，是从A到B的映射；
④不是，当A中的x=2时在B中没有对应元素.
答案：(1)①否 ②是 ③否 ④是
(2)①否 ②否 ③是 ④否
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幻灯片 82.函数的构成要素
函数由_______、______、__________三个要素构成，对函数
y=f(x),x∈A，其中，
(1)定义域:自变量x的___________.
(2)值域：函数值的集合___________.
定义域
值域
对应关系
取值范围A
{f(x)|x∈A}
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幻灯片 9【即时应用】
(1)判断下列各组函数中，是否是同一函数.(请在括号中填
“是”或“否”)
①f(x)=x与g(x)= ( )
②f(x)=|x|与g(x)= ( )
③f(x)=x|x|与 ( )
④f(x)= 与g(t)=t+1(t≠1) ( )
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幻灯片 10(2)函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为_____.
(3)设集合 ,集合B={y|y=x2,x∈R},则
A∩B=_________.
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幻灯片 11【解析】(1)①否，函数f(x)与g(x)的定义域不同；
②否，函数f(x)与g(x)的对应关系不同；
③否，函数f(x)与g(x)的定义域不同；
④是，函数f(x)= =x+1(x≠1)与g(t)=t+1(t≠1)是同一函数.
(2)当x取0,1,2,3时，对应的函数y的值依次为0,-1,0,3,
所以其值域为{-1,0,3}.
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幻灯片 12(3)已知A={x|x-2≥0}={x|x≥2},B={y|y≥0},
∴A∩B={x|x≥2}.
答案:(1)①否 ②否 ③否 ④是
(2){-1,0,3} (3){x|x≥2}
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幻灯片 133.函数的表示方法
表示函数的常用方法有：________，________和_________.
解析法
列表法
图象法
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幻灯片 14【即时应用】
(1)下列四个图象是函数f(x)=x+ 的图象的是________.
(2)若 ，则f(x)的解析式为_______.
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幻灯片 15【解析】(1)∵ ∴①正确.
(2)方法一：令t= +1，则x=(t-1)2,t≥1，代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
∴f(x)=x2-1(x≥1).
方法二：∵
∴
∴f(x)=x2-1(x≥1).
答案：(1)① (2)f(x)=x2-1(x≥1)
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幻灯片 164.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因_________不同而分别用
几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
对应关系
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幻灯片 17【即时应用】
(1)已知函数f(x)= 则 =_______.
(2)设f(x)= 若f(x)=3，则x=________.
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幻灯片 18【解析】(1)∵
∴
(2)当x≤-1时，-x+2=3，得x=-1，符合要求；
当-1＜x＜2时，x2=3，得x=± ，只有 符合要求；
当x≥2时，2x=3,得x= ,不符合要求.
综上可知，x=-1或 .
答案：(1) (2)-1或
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幻灯片 19【方法点睛】1.简单函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.
求简单函数的定义域、值域
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幻灯片 20(3)对抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为［a,b］，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出.
②若已知函数f(g(x))的定义域为［a,b］，则f(x)的定义域为g(x)在x∈［a,b］时的值域.
2.求简单函数值域的方法
(1)观察法；(2)图象观察法；(3)单调性法；(4)分离常数法；
(5)均值不等式法；(6)换元法.
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幻灯片 21【例1】(1)(2012·大连模拟)求函数f(x)= 的定义
域;
(2)已知函数f(2x)的定义域是［-1,1］，求f(x)的定义域；
(3)求下列函数的值域.
①y=x2+2x,x∈［0,3］,②y=log3x+logx3-1,
③
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幻灯片 22【解题指南】(1)根据解析式，构建使解析式有意义的不等式组求解即可；
(2)要明确2x与f(x)中x的含义，从而构建不等式求解;
(3)根据解析式的特点，分别选用①图象观察法；②均值不等式法；③单调性法求值域.
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幻灯片 23【规范解答】(1)要使该函数有意义，
需要 则有：
解得:-3＜x＜0或2＜x＜3,
所以所求函数的定义域为 (-3,0)∪(2,3).
(2)∵f(2x)的定义域为［-1，1］，
即-1≤x≤1,∴ ≤2x≤2，
故f(x)的定义域为［ ,2］.
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幻灯片 24(3)①y=(x+1)2-1在［0,3］上的图象如图所示,
由图象知：0≤y≤32+2×3=15,
所以函数y=x2+2x，x∈［0,3］的值域为［0,15］.
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幻灯片 25②∵ ，定义域为(0,1)∪(1,+∞)，
当0＜x＜1时，
当x＞1时，
综上可知，其值域为(-∞,-3］∪［1,+∞).
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幻灯片 26③因为x2-1≥-1，又y=2x在R上为增函数,
∴
故值域为［ ,+∞).
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幻灯片 27【互动探究】若本例(2)中条件不变，求f(log2x)的定义域.
【解析】由本例(２)中知f(x)的定义域为［ ,2］,
∴函数y=f(log2x)中，
即：
故函数f(log2x)的定义域为［ ,4］.
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幻灯片 28【反思·感悟】1.由解析式求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式(组)，从而求解.
2.f(g(x))的定义域为［a,b］，指的是x的取值范围是［a,b］，而不是g(x)的取值范围是［a,b］.
3.求函数的值域时，若能画出图象，则用图象观察法求解；若能判断单调性则用单调性法求解；若能满足用基本不等式的条件，则用基本不等式求解.
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幻灯片 29【变式备选】若函数 的定义域为R，则a的
取值范围为____________.
【解析】因为函数f(x)的定义域为R，即
对x∈R恒成立，亦即x2+2ax-a≥0对x∈R恒成立,
∴需Δ=(2a)2-4·(-a)=4a2+4a≤0即可,
解得:-1≤a≤0.
答案：{a|-1≤a≤0}
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幻灯片 30 分段函数及其应用
【方法点睛】确定与应用分段函数的一般步骤
首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论.
【提醒】分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
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幻灯片 31【例2】(1)(2012·北京模拟)已知函数 则f(x)-f(-x)＞-1的解集为( )
(A)(-∞,-1)∪(1,+∞)
(B)［-1, )∪(0,1］
(C)(-∞,0)∪(1,+∞)
(D)［-1, ］∪(0,1)
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幻灯片 32(2)已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式.
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幻灯片 33【解题指南】(1)根据每一段的解析式分类求解，再求其并集.
(2)已知图象形状，求解析式，可用待定系数法.
【规范解答】 (1)选B.①当-1≤x＜0时，0＜-x≤1，此时f(x)=-x-1，f(-x)=-(-x)+1=x+1,
∴f(x)-f(-x)＞-1化为-2x-2＞-1，
得x＜ ，则-1≤x＜ .
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幻灯片 34②当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，此时，f(x)=-x+1，f(-x)=
-(-x)-1=x-1,
∴f(x)-f(-x)＞-1化为-x+1-(x-1)＞-1,
解得x＜ ，则0＜x≤1.
故所求不等式的解集为［-1, )∪(0,1］.
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幻灯片 35(2)根据图象，设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b(x≤1).
∵点(1,1),(0,2)在射线上,
∴ 解得
∴左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x≤1);
同理,x≥3时，函数的解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a＜0)，
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幻灯片 36∵点(1,1)在抛物线上，∴a+2=1,a=-1,
∴1≤x≤3时，函数的解析式为y=-x2+4x-2(1≤x≤3),
综上，函数的解析式为
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幻灯片 37【互动探究】本例(2)的条件不变，求函数y=f(x)的值域.
【解析】方法一：由函数y=f(x)的图象可得y≥1，所以函数y=f(x)的值域为{y|y≥1}.
方法二：由函数y=f(x)的解析式可知,当x＜1时，y∈(1,+∞),
当1≤x≤3时，y∈［1,2］;
当x＞3时，y∈(1,+∞),∴所求函数的值域为［1,+∞).
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幻灯片 38【反思·感悟】分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)的值.
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幻灯片 39【变式备选】1.(2012·吉林模拟)设函数
若f(-2)= f(0),f(-1)=-3，则关于x的方程f(x)=x的解的个数
为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
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幻灯片 40【解析】选B.由已知得 解得
∴
当x≤0时，由f(x)=x得，x2+2x-2=x，得x=-2或x=1,
又x≤0，故x=1舍去,
当x＞0时，由f(x)=x得x=2,
所以方程f(x)=x有两个解.
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幻灯片 412.甲、乙两地相距150千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每小时50千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了1小时，然后以每小时60千米的速度返回甲地.从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米，试写出y与x的函数解析式.
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幻灯片 42【解析】由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3小时，而从乙地返回甲地用了2.5小时.
当货车从甲地前往乙地时,由题意，可知y=50x(0≤x≤3);
当货车卸货时,y=150(3＜x＜4)；当货车从乙地返回甲地时,由题意，知y=150-60(x-4)(4≤x≤6.5).
所以
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幻灯片 43 求函数值
【方法点睛】求函数值的类型及解法
(1)f(g(x))型：遵循先内后外的原则；
(2)分段函数型：根据自变量值所在区间对应求值，不确定时要分类讨论；
(3)已知函数性质型：对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值，要用好其函数性质，将待求值调节到已知区间上求解；
(4)抽象函数型：对于抽象函数求函数值，要用好抽象的函数关系，适当赋值，从而求得待求函数值.
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幻灯片 44【例3】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),求 的值.
【解题指南】求解该题，需知道f(x),f(x+1)满足的关系式，将f(x+1)用f(x)表示，然后再给x赋值，先求出 ，再求
的值.
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幻灯片 45【规范解答】若x≠0，则有 取x= ,
则有
(∵f(x)是偶函数，∴ 由此得
于是，
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幻灯片 46若x=0，则0×f(0+1)=(1+0)f(0)，有f(0)=0,
∴
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幻灯片 47【反思·感悟】对于这类给出函数所满足的抽象性质，但又不知道函数解析式的求值问题，求解时应根据该抽象的函数关系的结构特征，结合待求值的特点，给变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，达到求出函数值的目的.
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幻灯片 48【变式训练】已知 则
的值等于( )
(A)-2 (B)1
(C)2 (D)3
【解析】选D.
∴
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幻灯片 49【变式备选】设对任意实数x,y均有f(x+y)=2f(y)+x2+2xy-y2+3x-3y,
(1)求f(0)；
(2)求f(x)的解析式.
【解析】(1)令x=y=0,∴f(0)=0.
(2)当x为任意实数，y=0时,f(x)=2f(0)+x2+3x,
∴f(x)=x2+3x.
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幻灯片 50【创新探究】与函数有关的新定义问题
【典例】(2011·广东高考)设f(x)，g(x)，h(x)是R上的任意
实值函数，如下定义两个函数 和(f·g)(x)；对任
意x∈R， =f(g(x))；(f·g)(x)=f(x)g(x).则下列等式恒成立的是( )
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幻灯片 51【解题指南】根据新的定义逐个选项验证其真伪，从而作出判断.
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幻灯片 52【规范解答】选B.根据新函数的定义分析如下表，
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幻灯片 53----
幻灯片 54----
幻灯片 55----
幻灯片 56【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议:
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幻灯片 57----
幻灯片 581.若 则f(x)的定义域为( )
(A)( ,0) (B)( ,+∞)
(C)( ,0)∪(0,+∞) (D)( ,2)
【解析】选C.要使函数f(x)有意义,
则需 即
∴f(x)的定义域为( ,0)∪(0,+∞).
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幻灯片 592.(2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x件某产品
所用的时间(单位：分钟)为 (A，c为常数)，
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分
钟，那么c和A的值分别是( )
(A)75，25 (B)75，16
(C)60，25 (D)60，16
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幻灯片 60【解析】选D.当A＞4时，
解得c=60，A=16;
当A≤4时，
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幻灯片 613.(2011·江苏高考)已知实数a≠0，函数
若f(1-a)=f(1+a)，则a的值为_______.
【解析】当a＞0时，1-a＜1,1+a＞1,由f(1-a)=f(1+a)可得
2-2a+a=-1-a-2a，解得a= ，不合题意；
当a＜0时，1-a＞1,1+a＜1,由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a=
2+2a+a，解得
答案：
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幻灯片 62
4.(2011·湖南高考)给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)=n-k.
(1)设k=1，则其中一个函数f在n=1处的函数值为_______;
(2)设k=4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3,则不同的函数f的个数为________.
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幻灯片 63【解析】(1)本题定义的函数有两个条件，一是定义域和值域都是正整数，二是对于任意大于k的正整数n，f(n)=n-k.那么n=1时只要满足函数值是正整数即可，所以答案是a(a为正整数).
(2)∵k=4,∴n>4的正整数都一一对应，只要对n≤4的进行定义，又∵f(n)=2或f(n)=3，∴f(1)=2或3,f(2)=2或3，f(3)=2或3，f(4)=2或3，所以f的个数为：2×2×2×2=16.
答案：(1)a(a为正整数) (2)16
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