幻灯片 1第十一节 变化率与导数、导数的计算
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幻灯片 2三年12考 高考指数:★★★
1.了解导数概念的实际背景；
2.理解导数的几何意义；
3.能根据导数定义求函数y=c(c为常数)，y=x,y=x2,y=x3,y=
的导数；
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
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幻灯片 31.导数的几何意义是考查重点；
2.导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般不单独命题，常在考查导数应用的同时进行考查.
3.题型以选择题和填空题为主，在解答题中会渗透导数的运算.
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幻灯片 41.导数的定义及几何意义
(1)定义：函数在x0处的平均变化率 当Δx→0时的极限
(即瞬时变化率)叫做函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f′(x0)
或y′|x=x0，即__________________________.
(2)几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义是曲线
y=f(x)在点P(x0,y0)处的____________.
切线的斜率
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幻灯片 5【即时应用】
(1)思考：f′(x)与f′(x0)有何区别？
提示：f′(x)是x的函数，f′(x0)只是f′(x)的一个函数值.
(2)曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是________.
【解析】∵y′=2x，∴曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是2.
答案：2
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幻灯片 6(3)函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是_____.
【解析】f′(e)= |x=e= ，∴所求的切线方程为y-f(e)
=f′(e)(x-e)，即y-lne= (x-e)，化简得x-ey=0.
答案：x-ey=0
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幻灯片 72.基本初等函数的导数公式
(1)(c)′=_____；(c为常数)
(2)(xα)′=________；(α∈Q*)
(3)(sinx)′=________；
(4)(cosx)′=________；
(5)(ex)′=_____；
(6)(ax)′=________(a>0)；
(7)(lnx)′=_______；
(8)(logax)′=_______(a>0且a≠1).
0
αxα-1
cosx
-sinx
ex
axlna
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幻灯片 8【即时应用】
(1)y=x-5，则y′=___________.
(2)y=4x，则y′=___________.
(3)y=log3x，则y′=________.
(4)y= 则y′=________.
答案：(1)-5x-6 (2)4xln4 (3) (4)0
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幻灯片 93.导数的运算法则
若y=f(x)，y=g(x)的导数存在，则
(1)[f(x)±g(x)]′=_________________；
(2)[f(x)·g(x)]′=_______________________；
(3)[ ]′=__________________(g(x)≠0).
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
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幻灯片 10【即时应用】
(1)y=x3+sinx，则y′=____________.
(2)y=x4-x2-x+3，则y′=___________.
(3)y=(2x2+3)·(3x-2)，则y′=_________.
(4)f(x)= 则f′(x)=_________.
【解析】(1)y′=(x3)′+(sinx)′=3x2+cosx.
(2)y′=4x3-2x-1.
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幻灯片 11(3)y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′
=4x(3x-2)+(2x2+3)·3=18x2-8x+9.
或：y=6x3-4x2+9x-6,y′=18x2-8x+9.
(4)f′(x)=
答案：(1)3x2+cosx (2)4x3-2x-1
(3)18x2-8x+9 (4)
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幻灯片 12 导数的运算
【方法点睛】求函数的导数的方法
(1)总原则：先化简解析式，再求导.
(2)具体方法
①连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导.
②根式形式：先化为分数指数幂，再求导.
③复杂分式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导.
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幻灯片 13【例1】(1)(2011·江西高考)若f(x)=x2-2x-4lnx，则f′(x)＞0的解集为( )
(A)(0,+∞) (B)(-1,0)∪(2,+∞)
(C)(2,+∞) (D)(-1,0)
(2)求下列函数的导数.
①y=x2sinx； ②y=
【解题指南】(1)首先求出f(x)的导数，再解分式不等式.
(2)①利用积的导数法则；②利用商的导数法则或先化简分式再求导.
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幻灯片 14【规范解答】(1)选C.f′(x)=2x-2- ＞0,即 ＞0,
∵x＞0,∴(x-2)(x+1)＞0,∴x＞2.
(2)①y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.
②方法一：
y′=
=
方法二：∵y=
∴y′=1′+( )′,即y′=
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幻灯片 15【互动探究】把本例(2)②中函数改为y= 如何求导？
【解析】
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幻灯片 16【反思·感悟】准确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的运算法则，根据所给函数解析式的特点，确定求导方法.
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幻灯片 17【变式备选】求下列函数的导数：
(1)y=
(2)y=3xex-lnx+e
【解析】(1)y=
∴y′=
(2)y′=3xexln(3e)-
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幻灯片 18 导数的几何意义
【方法点睛】导数几何意义的应用
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k=f′(x0)；
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)=k；
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幻灯片 19(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需
设出切点A(x0，f(x0))，利用k= 求解.
【提醒】审题时注意所给点是否是切点.
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幻灯片 20【例2】(1)(2011·湖南高考)曲线y= 在点M( 0)
处的切线的斜率为( )
(A) (B) (C) (D)
(2)(2011·山东高考)曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y
轴交点的纵坐标是( )
(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15
【解题指南】利用导数的几何意义，(1)可以直接求出切线斜率；
(2)先求出切线方程，得到与y轴交点的纵坐标.
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幻灯片 21【规范解答】(1)选B.
y′=
=
所以
(2)选C.∵y′=3x2，∴切线斜率为3,∴切线方程为y=3x+9，与
y轴交点的纵坐标是9.
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幻灯片 22【互动探究】若把本例(2)中“在点P(1，12)处”改为“过点
P(1，12)”其他条件不变，求此时切线与y轴交点的纵坐标.
【解析】当P为切点时，由例题(2)知，切线与y轴交点的纵坐
标为9.
当P不是切点时，设切点坐标为(x0,y0)，
则 即 解得x0= 或x0=1(舍去)，
∴切点为( )，切线方程为y= 与y轴交点的纵坐
标为
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幻灯片 23【反思·感悟】1.要体会切线定义中的运动变化思想，由割线→切线，由两个不同的公共点无限接近→重合(切点).
2.利用导数的几何意义求曲线的有关切线问题时，一定要抓住切点的多面性：在曲线上、在切线上，该点处的导数是切线斜率.
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幻灯片 24【变式备选】函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*，若a1=16，则a1+a3+a5的值是___________.
【解析】由y=x2(x>0)，得y′=2x，
所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：
y-ak2=2ak(x-ak),当y=0时，解得x= ,所以ak+1= ,
a1+a3+a5=16+4+1=21.
答案：21
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幻灯片 25【易错误区】导数几何意义应用的易错点
【典例】(2012·杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线
y=x3和y=ax2+ -9都相切，则a等于( )
(A)-1或 (B)-1或
(C) 或 (D) 或7
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幻灯片 26【解题指南】因为点(1,0)不在曲线y=x3上，所以应从设切点
入手来求切线方程，再利用切线与曲线y=ax2+ -9相切求a
的值.
【规范解答】选A.设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03)，
所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03，又(1,0)在
切线上，则x0=0或x0= 当x0=0时，由y=0与y=ax2+ -9相
切可得a= 当x0= 时，由y= 与y=ax2+ -9相
切可得a=-1，所以选A.
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幻灯片 27【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：
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幻灯片 28----
幻灯片 291.(2011·重庆高考)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为
( )
(A)y=3x-1 (B)y=-3x+5
(C)y=3x+5 (D)y=2x
【解析】选A.由y′=-3x2+6x知,切线斜率为k=-3+6=3.所以切线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1.
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幻灯片 302.(2012·深圳模拟)已知f(x)=lnx(x>0),f(x)的导数是
f′(x)，若a=f(7),b=f′( ),c=f′( )，则a、b、c的大小
关系是( )
(A)cb>a.
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幻灯片 313.(2012·黔东南州模拟)函数f(x)=mx3+(m+1)x2+x+2,若f′(1)
=18,则m=( )
(A)4 (B)3 (C)5 (D)6
【解析】选B.∵f′(x)=3mx2+2(m+1)x+1,
∴f′(1)=3m+2m+2+1=18,∴m=3.
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幻灯片 324.(2012·合肥模拟)设曲线y= 在点(1，1)处的切线与直线
ax+y+1=0垂直，则a=_____.
【解析】∵y= ∴y′=
∴y= 在点(1，1)处的切线斜率k=-1.
又∵该切线与ax+y+1=0垂直，
∴k·(-a)=-1，∴a=-1.
答案：-1
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幻灯片 335.(2012·福州模拟)设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C
在点P处的切线倾斜角取值范围是[0， ]，则P点横坐标的取
值范围是_______.
【解析】∵y=x2+2x+3，∴y′=2x+2.
又∵曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为[0， ]，
∴斜率k的取值范围是0≤k≤1.
设P(x0,y0),则k=y′|x=x0=2x0+2，
∴0≤2x0+2≤1，即-1≤x0≤
答案：[-1， ]
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