幻灯片 1第四节 二次函数
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幻灯片 2三年3考 高考指数:★★
1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；
2.会求二次函数在闭区间上的最值；
3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决问题.
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幻灯片 31.二次函数图象的应用及求最值是高考的热点.
2.常将二次函数及相应的一元二次不等式、一元二次方程交汇在一起命题,重点考查三者之间的综合应用.
3.题型以选择题、填空题为主,若与导数、解析几何知识交汇，则以解答题的形式出现.
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幻灯片 41.二次函数的解析式
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幻灯片 5【即时应用】
(1)判断下列函数是否为二次函数.(请在括号中填“是”或“否”)
①y=x4-x2; ( )
②y=x- ; ( )
③y=1+3x-x2; ( )
④y=2(x+1)2-3; ( )
⑤y=-3(x+2)(x-3); ( )
⑥y=2sin2x+sinx+3; ( )
⑦y=log22x-2log2x+3. ( )
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幻灯片 6(2)若二次函数的图象的最高点为(-1,-3),且过点(0,-4),则其
解析式为_______.
(3)已知抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(1,0)并经过点M(0,1),则抛物线的解析式为__________.
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幻灯片 7【解析】(1)根据二次函数的概念及特点判断③④⑤是二次函数，其余都不是.
(2)设y=a(x+1)2-3,又过点(0,-4),
∴-4＝a(0+1)2-3,解得a=-1,
∴y=-(x+1)2-3=-x2-2x-4.
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幻灯片 8(3)∵点A(-1,0),B(1,0)是抛物线与x轴的交点,
∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-1) ①
将M(0,1)代入①,得1=-a,即a=-1,
∴y=-(x+1)(x-1)=-x2+1.
答案：(1)①否 ②否 ③是 ④是 ⑤是 ⑥否 ⑦否
(2)y=-x2-2x-4
(3)y=-x2+1
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幻灯片 92．二次函数的图象与性质
R
R
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幻灯片 10----
幻灯片 11【即时应用】
(1)已知二次函数f(x)的图象的对称轴是x=x0，它在区间［a,b］上的值域为［f(b),f(a)］,判断下列命题的真假.(请在括号中填“真”或“假”)
①x0≥b ( )
②x0≤a ( )
③x0∈(a,b) ( )
④x0 (a,b) ( )
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幻灯片 12(2)已知函数f(x)=3x2-12x+5,当x∈[0,3]时,f(x)min=______,
f(x)max=_________.
(3)如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线x=1对称，则函数f(x)的最小值为____________．
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幻灯片 13【解析】(1)∵二次函数f(x)在[a,b]上的值域为[f(b),f(a)],
∴[a,b]应在二次函数对称轴x=x0的某一侧或x0=a或x0=b.
∴x0 (a,b).故④真，①假，②假，③假.
(2)f(x)=3(x-2)2-7,
∴f(x)在［0,2］上递减,在(2,3］上递增,
∴f(x)min=f(2)=-7,f(x)max=f(0)=5.
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幻灯片 14(3)∵函数f(x)=x2+(a+2)x+b的对称轴为
又∵函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线x=1
对称，
∴
∴a=-4,b=6，f(x)=x2-2x+6(x∈[-4,6])，
因此，该函数当x=1时取最小值5.
答案：(1)①假 ②假 ③假 ④真
(2)-7 5 (3)5
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幻灯片 15 求二次函数的解析式
【方法点睛】求二次函数解析式的方法及思路
求二次函数的解析式,一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
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幻灯片 16----
幻灯片 17【例1】设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)且图象在y轴上
的截距为1,在x轴上截得的线段长为 ,求f(x)的解析式.
【解题指南】二次函数f(x)满足f(x+t)=f(t-x),则其对称轴方程为x=t;图象在x轴上截得的线段长度公式为|x1-x2|,本题可设f(x)的一般式,亦可设顶点式.
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幻灯片 18【规范解答】设f(x)的两零点分别为x1,x2,
方法一：设f(x)=ax2+bx+c,则由题知：c=1,且对称轴为x=-2.
∴ 即b=4a.
∴f(x)=ax2+4ax+1.
∴
∴b=4a=2
∴函数f(x)的解析式为
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幻灯片 19方法二：∵f(x-2)=f(-x-2),
∴二次函数f(x)的对称轴为x=-2.
设f(x)=a(x+2)2+b,且f(0)=1,∴4a+b=1.
∴f(x)=a(x+2)2+1-4a=ax2+4ax+1,
∴
∴b=-1.
∴
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幻灯片 20【反思·感悟】用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)设一般式是通法；
(2)已知顶点(对称轴或最值),往往设顶点式；
(3)已知图象与x轴的两交点,往往设两根式,
若选用形式不当，引入的待定系数过多，会加大运算量.
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幻灯片 21【变式训练】如图,抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A、B两点，该抛物线的对称轴x=-1与x轴相交于点C,且
∠ABC＝90°,求：
(1)直线AB对应函数的解析式；
(2)抛物线的解析式.
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幻灯片 22【解析】(1)由已知及图形得：A(4,0),B(0,-4k),C(-1,0)，
又∵∠CBA=∠BOC=90°,∴OB2=CO·AO.
∴(-4k)2=1×4,∴
又∵由图知k＜0,∴
∴所求直线的解析式为
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幻灯片 23(2)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
则 解得
∴所求抛物线的解析式为
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幻灯片 24【变式备选】已知二次函数f(x)同时满足条件：
(1)f(1+x)=f(1-x);
(2)f(x)的最大值为15;
(3)f(x)=0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式.
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幻灯片 25【解析】依条件，设f(x)=a(x-1)2+15(a＜0),
即f(x)=ax2-2ax+a+15.
令f(x)=0,即ax2-2ax+a+15=0,设两根为x1,x2,
则x1+x2=2,x1x2=1+
而x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)
=23-3×2×(1+ )=2-
∴2- =17，则a=-6.
∴f(x)=-6x2+12x+9.
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幻灯片 26 二次函数图象与性质的应用
【方法点睛】1.求二次函数最值的类型及解法
(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；
(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．
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幻灯片 272.二次函数单调性问题的解法
结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解.
【提醒】配方法是解决二次函数最值问题的常用方法, 但要注意自变量范围与对称轴之间的关系.
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幻灯片 28【例2】(2012·盐城模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)当a=-2时,求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数；
(3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
【解题指南】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系,结合图象或单调性直接求解,对于(3),应先将函数化为分段函数,再求单调区间.
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幻灯片 29【规范解答】(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,
则函数在［-4,2)上为减函数,在(2,6］上为增函数,
∴f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35.
(2)函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为
∴要使f(x)在[-4,6］上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.
(3)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3=
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幻灯片 30其图象如图所示：
又∵x∈［-4,6］,∴f(|x|)在区间(-4,-1)和(0,1)上为减函数,
在区间(-1,0)和(1,6)上为增函数.
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幻灯片 31【互动探究】若将本例(2)中单调变为不单调,则结果如何？
【解析】需-4＜-a＜6,解得：-6＜a＜4.
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幻灯片 32【反思·感悟】1.影响二次函数f(x)在区间[m,n]上最值的要素有三个,即抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间；常用数形结合思想求解,但当三要素中有一要素不明确时，要分情况讨论.
2.确定与应用二次函数单调性，常借助其图象数形结合求解.
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幻灯片 33【变式备选】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t,t+1]，若
f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的解析式，并求h(t)的最小值．
【解析】∵f(x)=x2+3x-5的对称轴为
①当t+1≤ ，即t≤ 时，
h(t)=f(t+1)=(t+1)2+3(t+1)-5=t2+5t-1(t≤ )；
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幻灯片 34②当t≤ ＜t+1，即 ＜t≤ 时，
③当t＞ 时，
综上可知：
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幻灯片 35①当t≤ 时，
②当 时，
③当 时，
即对于任意的实数t恒有
即h(t)有最小值
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幻灯片 36 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题
【方法点睛】二次函数问题的解题思路
(1)解决一元二次方程根的分布问题的方法，常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从①开口方向；②对称轴位置；
③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.
(2)解决一元二次不等式的有关问题的策略，一般需借助于二次函数的图象、性质求解.
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幻灯片 37【例3】设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0,求实数a的取值范围.
【解题指南】解答本题可以有两条途径：(1)分a＞0,a＜0,a=0
三种情况,求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min,再令f(x)min＞0,
从而求出a的取值范围；
(2)将参数a分离得 然后求 的最大值即可.
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幻灯片 38【规范解答】方法一：当a＞0时,
由f(x)＞0,x∈(1,4)得： 或
或
∴ 或 或
∴
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幻灯片 39当a＜0时, 解得a∈Ø;
当a=0时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.
综上可得,实数a的取值范围是
方法二：由f(x)＞0,即ax2-2x+2＞0,x∈(1,4),得
在(1,4)上恒成立.
令
∴g(x)max=g(2)= ,
所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立,只要a＞ 即可.
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幻灯片 40【反思·感悟】1.一元二次不等式问题及一元二次方程解的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解，但要注意讨论.
2.关于不等式的恒成立问题,能用分离参数法，尽量用.因为该法可以避开频繁地对参数的讨论.
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幻灯片 41【变式训练】已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.若方程f(x)=0有一根小于1,另一根大于1,当b＞-6且b为常数时,求实数a的取值范围.
【解析】∵-3＜0,由图知,只需
f(1)＞0便可满足题意.
∴-3+a(6-a)+b＞0⇒a2-6a+3-b＜0 ⇒
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幻灯片 42【满分指导】二次函数解答题的规范解答
【典例】(12分)(2012·临沂模拟)已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1
(a为实常数)．
(1)若a=1，作出函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
(3)设 ，若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数，求
实数a的取值范围．
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幻灯片 43【解题指南】解答本题(1)需将f(x)化为分段函数,从而转化为画二次函数图象的问题,但要注意函数的定义域；
(2)分a=0,a≠0两种情况讨论,而a≠0,又需按对称轴与区间[1,2]的关系,再次分类讨论.
(3)可由h′(x)≥0在[1,2］上恒成立求解.
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幻灯片 44【规范解答】(1)当a=1时，
…………………………1分
作图(如图所示)
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幻灯片 45………………………………………………… 2分
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幻灯片 46(2)当x∈[1,2]时，f(x)=ax2-x+2a-1.
若a=0，则f(x)=-x-1在区间[1,2]上是减函数，
g(a)=f(2)=-3．…………………………………………3分
若a≠0，则 f(x)图象的对称轴是
直线
当a＜0时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，
g(a)=f(2)=6a-3．……………………………………4分
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幻灯片 47当 即 时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，g(a)=f(1)=3a-2．当 即 时，
当 即 时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)=f(2)=6a-3．………………………………………5分
综上可得 ………………6分
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幻灯片 48(3)当x∈[1,2]时，
∴
又∵h(x)在[1,2]上为增函数,
∴h′(x)≥0在[1,2］上恒成立.…………………………7分
令 当2a-1＜0即 时,
在[1,2]上为减函数,
∴ 由h′(x)≥0,得：
得
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幻灯片 49又 故 ……………………………………8分
当2a-1=0,即 时, ,显然在[1,2]上为增函数；…………………………………………………………9分
当2a-1＞0,即 时, 在[1,2]上为增函数,
∴ 由已知得：-a+1≥0,
解得：a≤1,又a＞ ,故 ＜a≤1. ……………………11分
综上可知： …………………………………… 12分
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幻灯片 50【阅卷人点拨】通过对试题的阅卷数据分析，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 51----
幻灯片 521.(2012·长沙模拟)设b＞0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列之一，则a的值为( )
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幻灯片 53【解析】选B.结合图象可知是③,由 f(0)=a2-1=0,解
得a=-1或1(舍).
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幻灯片 542.(2012·淄博模拟)若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间［0,2］上是增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是( )
(A)0≤m≤4 (B)0≤m≤2
(C)m≤0 (D)m≤0或m≥4
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幻灯片 55【解析】选A.∵f(x)=a(x-2)2+b-4a,对称轴为x=2,
∴由已知得a＜0,结合二次函数图象知，
要使f(m)≥f(0)，需满足0≤m≤4.
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幻灯片 563.(2011·湖南高考)函数y=ax2+bx与
在同一直角坐标系中的图象可能是( )
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幻灯片 57【解析】选D．在A中由抛物线的开口向上得到a＞0，由抛物
线与x轴的另一个交点的横坐标满足0＜ ＜1，不能得到
∴A不正确．在B中由抛物线的开口向下得到a<0，由
抛物线与x轴的另一个交点的横坐标满足0< <1，不能得到
∴B不正确．在C中由抛物线的开口向下得到a<0，由抛
物线与x轴的另一个交点的横坐标满足 <-1， 可以得到
此时对数函数图象应该单调递增，∴C错误．在D中由
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幻灯片 58抛物线的开口向上得到a>0，由抛物线与x轴的另一个交点的
横坐标满足-1＜ ＜0 ，可以得到 ＜1，此时对数函数
图象单调递减，∴D正确．
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幻灯片 594.(2012·宁化模拟)若函数f(x)=x2-2x+m在[2，+∞)的最小值为-2，则实数m的值为( )
(A)-3 (B)-2 (C)-1 (D)1
【解析】选B.∵函数f(x)=x2-2x+m在[2，+∞)上有最小值为-2，且对称轴x=1，
∴f(x)min=f(2)=m=-2.
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