幻灯片 1第五节 指数函数
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幻灯片 2三年5考 高考指数:★★
1.了解指数函数模型的实际背景；
2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；
4.知道指数函数是一类重要的函数模型.
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幻灯片 31.指数幂的运算、指数函数的图象、单调性是高考考查的热点.
2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题, 考查分类讨论思想和数形结合思想.
3.多以选择、填空题形式出现,但若以e为底的指数函数与导数交汇命题则以解答题形式出现.
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幻灯片 41.根式
(1)根式的概念
若______,则x叫做a的n次方根,其中n＞1且n∈N*.式子 叫做
根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
xn=a
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幻灯片 5(2)根式的性质
①a的n次方根的表示
② (n∈N*)
③当n为奇数时, =___; 当n为偶数时, =|a|=__________.
a
a
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幻灯片 6【即时应用】
(1)若x4=16,则x的值为________.
(2)化简下列各式结果分别为：
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幻灯片 7【解析】(1)
答案：(1)±2
(2)①-4 ②4 ③a-2 ④
⑤ ⑥π-3
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幻灯片 82.有理指数幂
(1)分数指数幂的含义
①正分数指数幂： (a＞0,m、n∈N*,且n＞1);
②负分数指数幂： (a＞0,m、n∈N*,且n＞1).
③0的正分数指数幂等于____,0的负分数指数幂__________.
没有意义
0
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幻灯片 9(2)有理数指数幂的运算性质
①ar·as= _______(a>0,r、s∈Q)；
②(ar)s= _______(a>0,r、s∈Q)；
③(ab)r= ________(a>0,b>0,r∈Q).
上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适用.
ar+s
ars
arbr
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幻灯片 10【即时应用】
(1)判断下列根式与分数指数幂的互化是否正确(请在括号中填“√”或“×”)
① ( )
② ( )
③ ( )
④ ( )
(2)化简 得___________.
(3)化简 的结果是_________.
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幻灯片 11【解析】(2)
=
=2x2|y|=-2x2y.
(3)原式＝
答案：(1)①× ②× ③√ ④×
(2)-2x2y (3)a4
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幻灯片 123.指数函数的概念：
(1)解析式：____________________.
(2)自变量：____.
(3)定义域：____.
y=ax(a＞0,且a≠1)
x
R
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幻灯片 13【即时应用】
(1)判断下列函数是否为指数函数(在括号中填“是”或“否”)
①y=3×2x; ( )
② ; ( )
③y=ax; ( )
④y=(2a-1)x(a＞ 且a≠1). ( )
(2)若函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则实数a的值为_______.
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幻灯片 14【解析】(2)由已知 解得：a=2.
答案：(1)①否 ②否 ③否 ④是
(2)2
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幻灯片 154.指数函数的图象与性质
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幻灯片 16y>1
01
增函数
减函数
R
(0,1)
(0,+∞)
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幻灯片 17【即时应用】
(1)如图是指数函数①y=ax;②y=bx；③y=cx;④y=dx的图象,
则a、b、c、d与1的大小关系是__________.
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幻灯片 18(2)函数f(x)=3-x-1的定义域、值域分别是_______.
(3)设y1=40.9,y2=80.48, 则y1,y2,y3的大小关系为
__________ .
(4)函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大
则a的值为________.
(5)函数y=ax-2 012+2 012(a＞0,且a≠1)的图象恒过定点______.
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幻灯片 19【解析】(1)在图中画出直线x=1,分别与①②③④交于A、B、
C、D四点,是A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),由图象可知c＞
d＞1＞a＞b.
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幻灯片 20(2) 定义域为R，
∵ 故值域为(-1,+∞).
(3)y1=40.9=21.8,y2=80.48=(23)0.48=21.44,y3=21.5,
∵函数y=2x是增函数,
又∵1.8＞1.5＞1.44,
∴y1＞y3＞y2.
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幻灯片 21(4)当01时，有 解得：
(5)∵y=ax(a＞0且a≠1)恒过定点(0,1),
∴y=ax-2 012+2 012恒过定点(2 012,2 013).
答案：(1)b＜a＜1＜d＜c (2)R,(-1,+∞)
(3)y1＞y3＞y2 (4)
(5)(2 012,2 013)
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幻灯片 22 幂的运算
【方法点睛】幂的运算的一般规律及要求
(1)分数指数幂与根式根据 (a＞0,m,n∈N*,且n＞1)可
以相互转化.
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幻灯片 23(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将 写成
等必须认真考查a的取值才能决定,如 而
无意义.
(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.
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幻灯片 24【例1】计算下列各式的值.
(1)
(2)
【解题指南】先将根式化为分数指数幂,底数为小数的化成分数,负分数指数化为正分数指数；然后根据幂的运算性质进行计算.
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幻灯片 25【规范解答】(1)原式＝
(2)原式＝
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幻灯片 26【反思·感悟】指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,
无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的
倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底
数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.
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幻灯片 27【变式训练】计算下列各式的值：
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幻灯片 28【解析】(1)
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幻灯片 29 指数函数图象的应用
【方法点睛】(1)应用指数函数图象研究指数型函数的性质：
对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.
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幻灯片 30(2)利用图象解指数型方程、不等式：
一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型
函数图象数形结合求解.
【提醒】在利用指数函数图象解决上述问题时，图象形状、变化趋势及经过的特殊点要准确，否则数形结合时易产生失误.
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幻灯片 31【例2】已知f(x)=|2x-1|
(1)求f(x)的单调区间.
(2)比较f(x+1)与f(x)的大小.
(3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数.
【解题指南】(1)作出f(x)的图象,数形结合求解.
(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)图象，数形结合求解.
(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图象,数形结合求解.
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幻灯片 32【规范解答】(1)由f(x)=|2x-1|=
可作出函数的图象如图.因此函数f(x)在(-∞,0)上递减；
函数f(x)在(0,+∞)上递增.
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幻灯片 33(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图象，如图所示.
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幻灯片 34由图象知,当 时,解得
两图象相交,从图象可见,当x＜ 时,f(x)＞f(x+1)；
当x= 时,f(x)=f(x+1);
当x＞ 时,f(x)＜f(x+1).
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幻灯片 35(3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y=x2图象的交点问题,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=|2x-1|和y=x2的图象如图所示，有四个交点, 故g(x)有四个零点.
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幻灯片 36【反思·感悟】求解指数型函数的单调性、最值、零点及指数型方程、不等式问题时能用数形结合的尽量用数形结合法求解,
但要注意画出的函数图象的基本特征必须要准确,否则很容易失误,如本例(3).
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幻灯片 37【变式训练】k为何值时,方程|3x-1|=k无解？有一解？有两解？
【解析】函数y=|3x-1|的图象是
由函数y=3x的图象向下平移一个
单位后,再把位于x轴下方的图象
沿x轴翻折到x轴上方得到的,函
数图象如图所示.
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幻灯片 38当k＜0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象无交点,即方程无解；当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解；
当0＜k＜1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个不同交点,所以方程有两解.
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幻灯片 39【变式备选】若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围.
【解析】分底数01两种情况，分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，如图：
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幻灯片 40从图中可以看出，只有当00，且a≠1，下面正确的运算公式是( )
①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y)；
②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y)；
③C(x-y)=C(x)C(y)-S(x)S(y)；
④C(x+y)=C(x)C(y)+S(x)S(y).
(A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)①②③④
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幻灯片 64【解析】选D.∵S(x)C(y)+C(x)S(y)
∴①成立；
同理可验证②③④也成立.
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