幻灯片 1第七节 幂函数
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幻灯片 2三年1考 高考指数:★
1.了解幂函数的概念；
2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3, 的图象，了解它们的
变化情况.
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幻灯片 31.高考主要考查幂函数的概念、图象与性质，单独考查的频率较低.
2.常与函数的性质及二次函数、指数函数、对数函数等知识交汇命题.
3.题型多以选择题、填空题的形式出现，属低中档题.
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幻灯片 41.幂函数的概念
(1)解析式：_____
(2)自变量：__
(3)幂指数：__
(4)幂的系数：__
y=xα
x
α
1
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幻灯片 5【即时应用】
(1)判断下列函数是否是幂函数(请在括号内填是或否)
①y= ( )
②y=2·x-1 ( )
③y=(x-1)2 ( )
④ ( )
(2)已知点M( )在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达
式为_____________.
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幻灯片 6【解析】(2)设f(x)=xα(α∈R),则
即
答案：(1)①是②否③否④是 (2)f(x)=
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幻灯片 72.幂函数的图象
幂函数 的图象如下：
y=x
y=x2
y=x3
y=x2
y=x-1
y=x-1
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幻灯片 8【即时应用】
(1)判断下列命题是否正确(请在括号内填√或×)
①幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)； ( )
②幂函数的图象不可能在第四象限； ( )
③n=0时，函数y=xn的图象是一条直线； ( )
④幂函数y=xn，当n＞0时是增函数； ( )
⑤幂函数y=xn，当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增
大而减小. ( )
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幻灯片 9(2)图中所示曲线为幂函数y=xn在第一象限的图象，则c1、c2、c3、c4的大小关系是___________.
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幻灯片 10【解析】(1)当α＜0时，幂函数不过点(0,0)，故①错，②正确.③当x=0时无意义，所以③错.④当n=2时，函数在定义域上不单调，所以④错,⑤正确.
(2)由幂函数的图象特点知，当自变量x＞1时，幂指数大的
函数值较大，故有c1＞c2＞c4＞c3.
答案：(1)①× ②√ ③× ④× ⑤√
(2)c1＞c2＞c4＞c3
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幻灯片 113.幂函数 的性质
R
R
R
[0,+ ∞)
R
[0,+ ∞)
R
[0,+ ∞)
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
增
增
增
（1，1）
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幻灯片 12【即时应用】
(1)判断下列函数在(-∞,0)上是否是单调递减的函数(请在括
号中填是或否).
①f(x)=x-2( ) ②f(x)=x-1( )
③f(x)= ( ) ④f(x)=x3( )
(2)设α∈{-1,1, ,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数
的所有α值为__________.
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幻灯片 13【解析】(1)结合各函数的简图可知②在(-∞,0)上单调递减.
(2)经验证知1，3符合.
答案：(1)①否②是③否④否 (2)1，3
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幻灯片 14 幂函数概念的应用
【方法点睛】1.幂函数解析式的结构特征
(1)指数为常数；
(2)底数为自变量x；
(3)幂系数为1.
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幻灯片 152.判定及应用幂函数的方法
要判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足1中的三个特征.
【提醒】区分幂函数与指数函数的关键是自变量的位置在底数上还是在指数上.
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幻灯片 16【例1】已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数；
(2)是幂函数，且是(0，+∞)上的增函数；
(3)是正比例函数；
(4)是反比例函数.
【解题指南】利用幂函数必须满足的三个特征，构建关于m的式子求解(1)(2)；利用正比例函数、反比例函数的定义，构建关于m的方程，求解(3)(4).
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幻灯片 17【规范解答】(1)∵f(x)是幂函数，故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,
解得m=2或m=-1.
(2)若f(x)是幂函数，且又是(0,+∞)上的增函数，
则
(3)若f(x)是正比例函数，
则-5m-3=1,解得
此时m2-m-1≠0,故
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幻灯片 18(4)若f(x)是反比例函数，
则-5m-3=-1,
则
此时
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幻灯片 19【互动探究】若本例中的函数f(x)为二次函数，则m为何值？
【解析】若f(x)是二次函数，则-5m-3=2,即m=-1,
此时m2-m-1≠0,故m=-1.
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幻灯片 20【反思·感悟】幂函数y=xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y=x+1,y=x2-2x等都不是幂函数.
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幻灯片 21【变式训练】已知 m为何值时，f(x)是：
(1)正比例函数；
(2)反比例函数；
(3)二次函数；
(4)幂函数．
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幻灯片 22【解析】(1)若 为正比例函数，
则 解之得：m=1；
(2)若 为反比例函数，则
解之得：m=－1；
(3)若 为二次函数，则
解之得：
(4)若 为幂函数，则
m2+2m=1，解之得：
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幻灯片 23 幂函数的图象与应用
【方法点睛】幂函数y=xα图象的特征
(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸.
(3)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内；
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
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幻灯片 24【例2】若点 在幂函数f(x)的图象上，点 在幂函
数g(x)的图象上，定义
试求函数h(x)的最大值以及单调区间.
【解题指南】本题是求函数h(x)的最大值以及单调区间，只需
作出其图象,数形结合求解即可，但由于在条件中已知函数h(x)
在相应段上的解析式，所以，在求解方法上，应在每一段上求
最大值及函数的单调区间，同时要注意函数端点值．
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幻灯片 25【规范解答】设幂函数为f(x)=xα，因为点 在f(x)的图
象上，所以 所以α=2，即f(x)=x2；又设g(x)=xβ，
点 在g(x)的图象上，所以(－2)β= ，所以β=－2，
即g(x)=x－2.在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图
象，如图所示：
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幻灯片 26则有：
根据图象可知：函数的最大值等于1，单调递增区间是(－∞，
－1)和(0，1)，单调递减区间是(－1，0)和(1，+∞).
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幻灯片 27【反思·感悟】解决与幂函数图象有关的问题，常利用其单调性、奇偶性、最值(值域)等性质去确认与应用，而与幂函数有关的函数的性质的研究，常利用其相应幂函数的图象，数形结合求解.
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幻灯片 28【变式训练】幂函数 (m∈Z)的图
象如图所示，则m的值为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【解析】选C.∵ (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，∴m2-4m<0，即03-2a>0或0>a+1>3-2a或
a+1<0<3-2a，
解得a<-1或
∴a的取值范围是{a|a<-1或 }.
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幻灯片 36【互动探究】若满足本例(2)中条件的幂函数为f(x)，讨论函
数 的奇偶性(其中a,b∈R).
【解析】由本例(2)的解析知
当a≠0,b≠0时，g(x)为非奇非偶函数；
当a=0,b≠0时，g(x)为奇函数；
当a≠0,b=0时，g(x)为偶函数；
当a=0,b=0时，g(x)既是奇函数又是偶函数.
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幻灯片 37【反思·感悟】1.有关幂值的大小比较，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
2.本例(2)集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解答该类问题的关键是弄清幂函数的概念及性质，构建待求参数的方程或不等式并注意对参数的讨论，来求解问题.
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幻灯片 38【变式备选】1.已知函数
(1)求f(x)的单调区间；
(2)比较f(-π)与 的大小.
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幻灯片 39【解析】(1)f(x)= 其图象可由幂函数
y=x-2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图，所以
该函数在(-2，+∞)上是减函数，在(-∞,-2)上是增函数.
(2)∵图象关于直线x=-2对称，
又∵-2-(-π)=
∴f(-π)>f(- ).
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幻灯片 402.已知幂函数 (m∈N*)
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单
调性；
(2)若该函数还经过点 试确定m的值，并求满足条件
f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围.
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幻灯片 41【解析】(1)∵m2+m=m(m+1)(m∈N*)，
而m与m+1中必有一个为偶数，
∴m2+m为偶数，
∴函数 (m∈N*)的定义域为［0，+∞)，并且该函
数在［0，+∞)上为增函数；
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幻灯片 42(2)∵函数还经过点
∴m2+m=2，解得：m=1或m=－2，
又∵m∈N*，∴m=1，
又∵f(2－a)>f(a－1),
解得：
故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围
为{a|1≤a< }.
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幻灯片 43
【易错误区】幂函数图象与性质的应用误区
【典例】(2012·南京模拟)已知幂函数 (m∈Z)的图
象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，则m的值为______，
幂函数的解析式为___________.
【解题指南】先根据幂函数的图象与x轴、y轴都无公共点这一
条件构建关于m的不等式求出m的取值范围，再根据幂函数图象
关于y轴对称，确定出m的具体值，从而得到幂函数的解析式.
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幻灯片 44【规范解答】因为幂函数 (m∈Z)的图象与x轴、y轴
都无公共点.
所以m2-2m-3≤0,解得-1≤m≤3.
又m∈Z,∴m=-1,0,1,2,3,而 的图象又关于y轴对称，
∴m2-2m-3为偶数.
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幻灯片 45当m=-1时，m2-2m-3=0，为偶数；
当m=0时，m2-2m-3=-3，为奇数；
当m=1时，m2-2m-3=-4，为偶数；
当m=2时，m2-2m-3=-3，为奇数；
当m=3时，m2-2m-3=0，为偶数.
综上m=-1,1,3.
故幂函数的解析式为y=x-4或y=1(x≠0).
答案：-1或1或3 y=x-4或y=1(x≠0)
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幻灯片 46【阅卷人点拨】通过对试卷及阅卷数据分析与总结，我们可以
得到以下误区警示和备考建议
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幻灯片 47----
幻灯片 481.(2011·陕西高考)函数 的图象是( )
【解析】选B.因为当x＞1时，x＞ ；当x=1时，x= ,所以
A、C、D错误，故选B.
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幻灯片 492.(2012·哈尔滨模拟)幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数，且f(-x)=f(x)，则m可能等于( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【解析】选B.逐个验证知m=1,故选B.
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幻灯片 503.(2012·泉州模拟)下列关系式中正确的是( )
(A) (B)
(C) (D)
【解析】选D.因为函数 在(0,+∞)上为增函数且
又函数 在R上为减函数且
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幻灯片 514.(2012·厦门模拟) 已知f(x)= 则f(x)是( )
(A)奇函数且在(0，+∞)上单调递增
(B)奇函数且在(0，+∞)上单调递减
(C)偶函数且在(0，+∞)上单调递增
(D)偶函数且在(0，+∞)上单调递减
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幻灯片 52【解析】选B.∵f(x)=
即f(x)为奇函数.
又∵f(x)= 的幂指数 ＜0，
∴f(x)在(0，+∞)上为减函数.
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