幻灯片 1第九节 函数与方程
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幻灯片 2三年13考 高考指数:★★★
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
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幻灯片 31.函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考的热点.
2.常与函数的图象与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转化与化归、数形结合思想.
3.题型以选择题和填空题为主，若与导数综合，则以解答题形式出现，属中、高档题.
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幻灯片 41.函数的零点
(1)定义：若实数x是函数y=f(x)的零点，则需满足条件_______.
(2)三个等价关系：
f(x)=0
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幻灯片 5【即时应用】
(1)函数f(x)=x3-x的零点是__________.
(2)函数 的零点个数是________.
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幻灯片 6【解析】(1)令f(x)=0，即x3-x=0解得x=0,1,-1,
∴f(x)的零点为-1，0，1.
(2)由等价关系，零点个数转化为方程 的根的个数
即又转化为函数 图象交点个数，由图
象得：有一个交点.
答案：(1)-1，0，1 (2)1
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幻灯片 72.函数零点的存在性定理
y=f(x)在(a,b)内有零点
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幻灯片 8【即时应用】
(1)若函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象为连续不断的一条曲
线，判断下列命题是否正确(请在括号中填写“√”或“×”)
①若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0 ( )
②若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0
( )
③若f(a)f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0 ( )
④若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0( )
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幻灯片 9(2)在定理的条件下，当f(x)是_________时，在区间(a,b)内f(x)有唯一的一个零点.
(3)已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在的最短区间为_________.(区间端点为整数)
(4)函数f(x)=mx-1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是______________.
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幻灯片 10【解析】(1)如图甲的情况可判断
①错③正确，如图乙的情况可判断
②不正确，由零点存在性定理可知
④不正确.
(2)由零点存在性定理容易判断f(x)是单调函数即可.
(3)由于f(0)=-1<0，f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0, f(4)=59>0,故只有区间(1，2)满足.
(4)由f(0)f(1)<0,得(-1)·(m-1)<0，∴m>1.
答案：(1)①×②×③√④× (2)单调函数 (3)(1，2) (4)m>1
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幻灯片 113.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
(x1,0),(x2,0）
(x1,0)
无交点
x1,x2
x1
无
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幻灯片 12【即时应用】
(1)若二次函数f(x)=ax2+bx+c中，a·c<0,则其零点个数是____.
(2)若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点，则实数a的取值范围是____________.
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幻灯片 13【解析】(1)∵c=f(0),∴a·c=a·f(0)<0,即a和f(0)异号，
∴函数必有两个零点.
(2)当a=0时，则f(x)=-x-1,易知函数只有一个零点.
当a≠0时，则函数为二次函数，仅有一个零点，即
Δ=1+4a=0,
综上，当a=0或 时，函数只有一个零点.
答案：(1)2 (2){a|a=0或 }
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幻灯片 144.二分法
(1)二分法的定义
①满足的条件：
在区间［a,b］上__________的函数y=f(x)在区间端点的函数值
满足：_____________.
②操作过程：
把函数f(x)的零点所在的区间_________，使区间的两个端点逐
步逼近_____，进而得到零点的近似值.
连续不断
f(a)·f(b)<0
一分为二
零点
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幻灯片 15(2)用二分法求函数零点近似值的步骤
第一步：确定区间［a,b］,验证______________,给定精确度ε;
第二步：求区间(a,b)的中点c;
第三步:计算f(c)；
①若f(c)=0,则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
③若f(c)·f(b)＜0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a-b|＜ε,则得到零点近
似值a(或b)，否则重复第二、三、四步.
f(a)·f(b)＜0
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幻灯片 16【即时应用】
(1)已知f(x)=x3+x2-2x-2,f(1)·f(2)<0,用二分法求f(x)在(1，2)内的零点时，第一步是________.
(2)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间［2，3］内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是________.
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幻灯片 17【解析】(1)根据二分法求函数零点近似值的步骤，已知
f(1)·f(2)<0后，应该求区间(1，2)的中点为
(2)令f(x)=x3-2x-5验证知f(2)<0,f(2.5)>0,f(3)>0，所以
下一个有根的区间是(2，2.5).
答案：(1)求区间(1，2)的中点为
(2)(2，2.5)
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幻灯片 18 确定函数零点所在的区间
【方法点睛】 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；
(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
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幻灯片 19【例1】(1)(2012·豫南九校联考)函数f(x)=( )x-2-x3的零点
所在的区间为( )
(A)(0，1) (B)(1，2)
(C)(2，3) (D)(3，4)
(2)(2012·汕头模拟)函数 的零点所在的大
致区间是( )
(A)(1，2) (B)(2，3)
(C)(3，4) (D)(4，5)
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幻灯片 20【解题指南】(1)根据函数零点的存在性定理，只需验证选项中区间端点值是否异号即可作出判断.
(2)先求函数定义域，将选项中不在定义域中的区间去掉，然后把剩下区间端点处的函数值求出，再判断.
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幻灯片 21【规范解答】(1)选B.∵f(0)=( )0-2-0=4>0，
f(1)=( )1-2-13=1>0，
f(2)=( )2-2-23=-7<0,
∴f(1)·f(2)<0,
故函数f(x)=( )x-2-x3的零点所在的区间为(1，2).
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幻灯片 22(2)选C.由题意知函数f(x)的定义域为{x|x>2},
∴排除A.
∵f(3)=- <0,f(4)=ln2- >0,f(5)=ln3- >0，
∴f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)>0，
∴函数f(x)的零点在(3，4)之间，故选C.
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幻灯片 23【互动探究】把本例(1)的函数改为方程log3x+x=3,其他不变，
判断其解所在的区间.
【解析】构造函数，转化为求函数的零点所在的区间.令f(x)=log3x+x-3,则f(2)=log32+2-3= f(3)=log33+
3-3=1>0,又因为函数f(x)在(0，+∞)上是连续且单调递增的，
所以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2，3).
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幻灯片 24【反思·感悟】(1)判断函数零点所在的区间，当方程f(x)=0无法解出或函数y=f(x)的图象不易作出时，常用函数零点存在的判定定理判断.
(2)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题.
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幻灯片 25【变式备选】函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )
(A)(-2，-1) (B)(-1，0)
(C)(0，1) (D)(1，2)
【解析】选C.因为f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以零点在区间(0，1)上，故选C.
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幻灯片 26 判断函数零点个数
【方法点睛】判断函数零点个数的常用方法
(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间［a,b］上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；
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幻灯片 27(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
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幻灯片 28【例2】(2011·陕西高考)方程|x|=cosx在(-∞,+∞)内( )
(A)没有根 (B)有且仅有一个根
(C)有且仅有两个根 (D)有无穷多个根
【解题指南】解决本题可转化为函数y=|x|与y=cosx在R上的交点问题或利用零点存在的判定定理及函数的性质进行判断.
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幻灯片 29【规范解答】选C.方法一：构造两个函数y=|x|和y=cosx，在同一个坐标系内画出它们的图象，如图所示，观察知图象有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根.
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幻灯片 30方法二：令f(x)=|x|-cosx，则知函数为偶函数，
当x∈［0,+∞)时，f(x)=x-cosx,显然x∈［ +∞)时，
f(x)=x-cosx>0,
当x∈［0, ］时，f′(x)=1+sinx>0,故f(x)=x-cosx
在［0， ］上单调递增且f(0)=0-cos0=-1<0,
f( )= -cos = >0,即f(0)f( )<0，
∴f(x)在(0, )上有且只有一个零点.
又∵函数f(x)为偶函数，∴其在(- ,0)上也有且只有一个零
点，综上可知：函数f(x)=|x|-cosx在R上有且仅有两个零点.
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幻灯片 31【反思·感悟】在判断函数y=f(x)零点个数时，若方程f(x)=0易解，则用解方程法求解；否则若可转化为两熟悉函数图象交点问题，用图象法求解，但图象画的太粗糙易出现失误；若图象不易画则可利用零点存在的判定定理及函数的性质综合求解.
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幻灯片 32【变式训练】函数y=sinx-lgx的零点个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【解析】选D.令函数y=sinx-lgx=0，
即sinx=lgx,设y1=sinx,y2=lgx,
这两个函数的图象的交点个数就是函数的零点的个数，∵y2=lgx过(1，0)点和(10，1)点，与y1=sinx的交点个数是3，∴函数的零点的个数是3，故选D.
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幻灯片 33【变式备选】(1)判断函数f(x)=log2(x+2)-x(-1≤x≤3)是否存
在零点；
(2)判断函数 在［-1，1］上零点的个数，
并说明理由.
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幻灯片 34【解析】(1)方法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y=log2(x+2)与函数y=x的图象，观察知：两函数在［-1，3］上有一个交点，即函数f(x)=log2(x+2)-x(-1≤x≤3)存在零点.
方法二：显然函数f(x)=log2(x+2)-x在［-1,3］上是连续不断的，∵f(-1)=log2(-1+2)+1=1＞0,f(3)=log2(3+2)-3=log25-3＜0,
∴f(x)=log2(x+2)-x(-1≤x≤3)存在零点.
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幻灯片 35(2)函数f(x)在［-1,1］上只有一个零点.显然函数
在［-1，1］上是连续不断的，
∵
又∵f′(x)=
当-1≤x≤1时，0≤f′(x)≤
∴ 在［-1，1］上是单调递增函数，
∴函数f(x)在［-1,1］上只有一个零点.
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幻灯片 36 由函数零点的存在情况求参数的取值
【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
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幻灯片 37【例3】(2012·临沂模拟)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,
g(x)= (x>0).
(1)若g(x)=m有实数根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
【解题指南】解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解，(2)转化为两个函数f(x)与g(x)有两个交点，从而数形结合求解.
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幻灯片 38【规范解答】(1)方法一：∵ 等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是［2e,+∞)，因此，只需m≥2e,则g(x)=m就有零点.
方法二：作出 的大致图象如图：
可知若使g(x)=m有零点，则只需m≥2e.
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幻灯片 39(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象
有两个不同的交点，作出 的大致图象.
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幻灯片 40∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2，
∴其图象的对称轴为x=e,开口向下，最大值为m-1+e2.故当
m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即
g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m的取值范围是(-e2+2e+1, +∞).
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幻灯片 41【反思·感悟】有些二次、高次、分式、指数、对数及三角式、含绝对值方程根的存在问题，常转化为求函数值域或两熟悉函数图象交点问题求解.
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幻灯片 42【变式训练】(2012·长沙模拟)已知函
数f(x)=ax3+bx2+(c-3a-2b)x+d(a>0)的
图象如图所示.
(1)求c,d的值；
(2)若x0=5,方程f(x)=8a有三个不同的
根，求实数a的取值范围.
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幻灯片 43【解析】函数f(x)的导函数为f′(x)=3ax2+2bx+c-3a-2b.
(1)由题干图可知，函数f(x)的图象过点(0，3)，且f′(1)=0,
得
(2)依题意f(x)=ax3+bx2-(3a+2b)x+3(a>0),f′(x)=3ax2+2bx-
3a-2b,由图知f′(5)=0，得b=-9a ①
若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)<8a0,且
a≠1).当23,∴-b<-3,∴2-b<-1,
∴loga2+2-b<0,即f(2)<0,
∵1< ,30,∴f(3)>0,即f(2)·f(3)<0，
由x0∈(n,n+1),n∈N*，知n=2.
答案：2
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幻灯片 46【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们得到以下创新点拨及备考建议：
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幻灯片 47----
幻灯片 481.(2011·新课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的
零点所在的区间为( )
(A)( 0) (B)(0， )
(C)( ) (D)( )
【解析】选C.∵f(x)是R上的增函数且图象是连续的，又
∴f(x)在( )内存在唯一零点.
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幻灯片 492.(2012·三明模拟)函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是( )
(A)( -2) (B)(-2，-1)
(C)(1，2) (D)(2， )
【解析】选B.∵f(x)的图象在(-∞，0)上是连续不断的，
且f(-2)=3-2-log22= -1＜0，
f(-1)=3-1-log21= ＞0，
∴f(x)在(-2，-1)上有零点.
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幻灯片 503.(2012·济宁模拟)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x-
-1的零点分别为x1,x2,x3，则x1,x2,x3的大小关系是( )
(A)x1
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