幻灯片 1第三节 三角函数的图象与性质
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幻灯片 2三年9考 高考指数:★★★
1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在［0,2π］,正切函数在
上的性质.
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幻灯片 31.三角函数的图象和性质是考查的重点，特别是定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性的应用.同时还考查数形结合思想的理解和应用.
2.主要以选择题、填空题的形式考查，性质的综合应用有时会在解答题中考查，属中档题.
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幻灯片 41.周期函数和最小正周期
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的
每一个值时,都有____________,则称f(x)为周期函数,T 为它
的一个周期.若在所有周期中,有一个______的正数,则这个最
小的正数叫做f(x)的_____________.
f(x+T)=f(x)
最小
最小正周期
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幻灯片 5【即时应用】
(1)思考：常函数f(x)=a(a∈R)是否为周期函数,有无最小正周期?
提示：是周期函数，但没有最小正周期.
(2)思考：若函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，函数f(x)是周期函数，对吗？
提示：对，因为f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期函数，最小正周期是4.
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幻灯片 6(3)函数 的最小正周期是_______.
【解析】
∴由周期函数的定义知原函数的最小正周期是4π.
答案：4π
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幻灯片 72.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
x∈R
x∈R
[-1,1]
[-1,1]
x∈R且x≠ +kπ,
k∈Z
R
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幻灯片 8单调性
递增区间是
[2kπ- ,2kπ+ ]
(k∈Z),
递减区间是
[2kπ+ ,2kπ+ ]
(k∈Z)
递增区间是
[2kπ-π,2kπ]
(k∈Z),
递减区间是
[2kπ,2kπ+π]
(k∈Z)
递增区间是
(kπ- ,
kπ+ )
(k∈Z)
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幻灯片 9无最大值
和最小值
最值
x= 时,
ymax=1;
x= 时, ymin=-1
x= 时,
ymax=1;
x= 时,
ymin=-1
+2kπ(k∈Z)
+2kπ(k∈Z)
2kπ(k∈Z)
π+2kπ(k∈Z)
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幻灯片 10奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对
称
性
对称
中心
对称
轴
(kπ,0),k∈Z
(kπ+ ,0),k∈Z
( ,0),k∈Z
x=kπ+ ,k∈Z
x=kπ,k∈Z
无对称轴
最小正周期
2π
2π
π
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幻灯片 11【即时应用】
(1)判断下列命题的正误(请在括号中填“√”或“×”)
①y=sinx在第一、第四象限是增函数. ( )
②y=sinx在x∈[ ]上是增函数. ( )
③y=tanx在定义域上是增函数. ( )
④y=sin|x|是偶函数. ( )
⑤y=sin2x的周期为2π. ( )
⑥y=cos2x的对称中心为(kπ+ 0)，k∈Z. ( )
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幻灯片 12(2)若直线y=a与函数y=sinx,x∈［-2π,2π)的图象有4个交点,
则a的取值范围是_________.
(3)函数y=tan( -x)的定义域是____________.
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幻灯片 13【解析】(1)由y=sinx的递增区间是 (k∈Z)
可知①不正确,②正确；由y=tanx在 (k∈Z)
上是增函数可知③不正确；由sin|-x|=sin|x|可知④正确；
由y=sin2x的周期为 =π知⑤不正确；由余弦函数y=cosx
的对称中心为(kπ+ 0)(k∈Z)可得x= ，所以( ,0)(k∈Z)为y=cos2x的对称中心，故⑥不正确.
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幻灯片 14(2)如图所示:
y=sinx,x∈［-2π,2π)有两个周期,
故若y=sinx与y=a有4个交点,则-1＜a＜1.
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幻灯片 15(3)由 k∈Z得 k∈Z,所以
y=tan( -x)的定义域为{x| k∈Z}.
答案：(1)①× ②√ ③× ④√ ⑤× ⑥×
(2)-1＜a＜1 (3){x| k∈Z}
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幻灯片 16 三角函数的定义域和值域
【方法点睛】1.三角函数的定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
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幻灯片 172.三角函数值域的不同求法
(1)利用sinx和cosx的值域直接求.
(2)把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域.
(3)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.
(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.
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幻灯片 18【例1】(1)函数y= 的定义域为_____________.
(2)已知f(x)的定义域为［0，1］，则f(cosx)的定义域为_________.
(3)当x∈[ ]时，函数y=3-sinx-2cos2x的最小值是_______，最大值是_________.
【解题指南】(1)由tanx-1≠0,且x≠ k∈Z求解;(2)利
用cosx∈［0,1］求得x;(3)利用同角三角函数关系式转化成
sinx的二次函数求解.
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幻灯片 19【规范解答】(1)由tanx-1≠0,且x≠kπ+ k∈Z得
x≠kπ+ 且x≠kπ+ k∈Z，所以函数的定义域为：
{x|x≠kπ+ 且x≠kπ+ k∈Z}.
答案：{x|x≠kπ+ 且x≠kπ+ k∈Z}
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幻灯片 20(2)0≤cosx≤1⇒2kπ－ ≤x≤2kπ+ (k∈Z).
∴所求函数的定义域为［2kπ－ 2kπ+ ］(k∈Z).
答案：［2kπ－ 2kπ+ ］(k∈Z)
(3)因为x∈[ ],所以- ≤sinx≤1,
y=3-sinx-2cos2x=2sin2x-sinx+1=2
所以当sinx= 时，ymin=
当sinx=1或- 时，ymax=2.
答案： 2
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幻灯片 21【互动探究】把本例(2)中的cosx改为sinx，如何求解？
【解析】要使0≤sinx≤1，则2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，
∴所求函数的定义域为［2kπ，2kπ+π］，k∈Z.
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幻灯片 22【反思·感悟】1.求三角函数的定义域主要是解三角不等式.
2.在求三角函数的值域时，很多时候要进行三角变换或三角转化，这时候一定要注意所给的角的范围和有关三角函数式的范围.
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幻灯片 23【变式备选】(1)函数y= 的定义域为____________.
(2)函数y=f(cosx)的定义域为 (k∈Z)，则函
数y=f(x)的定义域为________.
(3)求函数y=sinx-cosx+sinxcosx,x∈[0,π]的最大值和最小
值.
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幻灯片 24【解析】(1)由2sinx-1≥0得
sinx≥ 又sinx≤1，
∴ ≤sinx≤1，
∴2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z).
答案：［2kπ+ 2kπ+ ］(k∈Z)
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幻灯片 25(2)由2kπ- ≤x≤2kπ+ 得 ≤cosx≤1,
所以函数y=f(x)的定义域为[ 1].
答案：[ 1]
(3)设sinx-cosx=t,t=
得t∈[-1, ],sinxcosx=
当t=1时，ymax=1；
当t=-1时，ymin=-1.
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幻灯片 26 三角函数的单调性
【方法点睛】三角函数的单调区间的求法
(1)代换法
所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角ｕ(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间.
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幻灯片 27(2)图象法
函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，如果能画出三角函数的图象，那它的单调区间就直观明了了.
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幻灯片 28【例2】求下列函数的单调区间：
(1)y= (2)y=－｜sin(x+ )｜.
【解题指南】(1)要将原函数化为y= 再求之.
(2)可画出y=－|sin(x+ )|的图象，利用图象求解.
【规范解答】(1)y=
=
故由 ⇒ (k∈Z)为
单调递减区间；
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幻灯片 29由
⇒ (k∈Z)为单调递增区间.
∴单调递减区间为［ ］(k∈Z)，
单调递增区间为［ ］(k∈Z).
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幻灯片 30(2)y=－|sin(x+ )|的图象如图，单调递增区间为
［ ］(k∈Z)，单调递减区间为［kπ－
kπ+ ］(k∈Z).
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幻灯片 31【反思·感悟】1.熟记正弦、余弦、正切函数的单调区间是求较复杂的三角函数单调区间的基础.
2.求形如y=Asin(ωx+φ)+k 的单调区间时,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx 的相应单调区间内求得x的区间即可,求y=Acos(ωx+φ)+k和y=Atan(ωx+φ)+k 的单调区间类似.
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幻灯片 32【变式训练】求下列函数的单调递增区间：
(1)y＝cos(2x＋ )；(2)y＝3sin
【解析】(1)设ｕ＝2x＋ 则y＝cosｕ当2kπ－π≤ｕ≤2kπ(k∈Z)时，y＝cosu随u的增大而增大.
又∵ｕ＝2x＋ 随x的增大而增大(x∈R),
∴当2kπ－π≤2x＋ ≤2kπ(k∈Z),
即 (k∈Z)时，y随x的增大而增大,
∴y＝cos(2x＋ )的单调递增区间为：
［ ］(k∈Z).
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幻灯片 33(2)设ｕ＝ 则y＝3sinｕ,
当 (k∈Z)时，y＝3sinｕ随u的增大而减小，
又∵ｕ＝ 随x的增大而减小(x∈R),
∴当 (k∈Z),
即 (k∈Z)时，y随x的增大而增大,
∴y＝3sin( )的单调递增区间为
［ ］(k∈Z).
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幻灯片 34 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
【方法点睛】1.三角函数的奇偶性的判断技巧
首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断.
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幻灯片 352.求三角函数周期的方法
(1)利用周期函数的定义.
(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期
为 y=tan(ωx+φ)的最小正周期为
(3)利用图象.
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幻灯片 363.三角函数的对称性
正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用.
【提醒】判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间.
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幻灯片 37【例3】设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜ )，给出以
下四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图象关于直线x= 成轴对称图形；
③它的图象关于点( 0)成中心对称图形；
④在区间[- 0)上是增函数.
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为
正确的一个命题__________(用序号表示即可).
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幻灯片 38【解题指南】本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断.
【规范解答】若①、②成立，则ω= =2；令2· +φ
=kπ+ k∈Z，且|φ|＜ 故k=0，∴φ= 此时f(x)=sin(2x+ )，当x= 时，sin(2x+ )=sinπ=0，
∴f(x)的图象关于( 0)成中心对称；又f(x)在 上是增函数，∴在[- 0)上也是增函数，因此①②⇒③④，
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幻灯片 39用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒ ②④.
答案：①②⇒③④(也可填①③⇒②④)
【反思·感悟】三角函数的周期性、对称性是三角函数的特有性质，要切实掌握，而且经常考查.解决时要注意结合三角函数的图象，其中对称性包含轴对称和中心对称.
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幻灯片 40【变式训练】已知函数f(x)=sin(πx－ )－1，则下列说法正
确的是( )
(A)f(x)是周期为1的奇函数
(B)f(x)是周期为2的偶函数
(C)f(x)是周期为1的非奇非偶函数
(D)f(x)是周期为2的非奇非偶函数
【解析】选B.T= =2，且f(x)=sin(πx－ )－1=
-cosπx－1，∴f(x)为偶函数.
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幻灯片 41【变式备选】已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<
(1)若 求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的
距离等于 求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m,使得函数
f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数.
【解析】(1)由 得
即cos( +φ)=0，
又|φ|< ∴φ=
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幻灯片 42(2)由(1)得，f(x)=sin(ωx+ )，依题意，
又 故ω=3,∴f(x)=sin(3x+ ).
设函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin［3(x+m)+ ］.
当且仅当3m+ =kπ+ (k∈Z)，
即m= (k∈Z)时，g(x)是偶函数.从而，最小正实数
m=
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幻灯片 43【易错误区】有关三角函数图象与性质的易错点
【典例】(2011·安徽高考)设f(x)=asin2x+bcos2x，其中
a,b∈R,ab≠0，若f(x)≤|f( )|对一切x∈R恒成立，则
①f( )=0
②|f( )|＜|f( )|
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数
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幻灯片 44④f(x)的单调递增区间是[kπ+ kπ+ ](k∈Z)
⑤存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交.
以上结论正确的是__________(写出正确结论的编号).
【解题指南】先将f(x)=asin2x+bcos2x,a,b∈R,ab≠0，变形
为f(x)= 然后根据性质顺次判断命题的正误.
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幻灯片 45【规范解答】由f(x)≤|f( )|对一切x∈R恒成立知，
直线x= 是f(x)的对称轴，
又f(x)= 的周期为π，
∴ 可看作x= 的值加了 个周期，
∴f( )=0,故①正确.
∵
∴ 与对称轴的距离相等.
∴|f( )|=|f( )|,故②不正确.
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幻灯片 46∵x= 是对称轴，∴sin( )=±1，
∴ k∈Z，
∴ k∈Z.
∵
∴
∴f(x)=2|b|sin(2x+ )或f(x)=2|b|sin(2x- )，
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故③正确.
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幻灯片 47由以上知，f(x)=2|b|sin(2x+ )的单调递增区间为
［- +kπ, +kπ］,k∈Z,
f(x)=2|b|sin(2x- π)的单调递增区间为［ +kπ,
+kπ］,k∈Z,
由于f(x)的解析式不确定.∴单调递增区间也不确定，故④
不正确.
∵f(x)=asin2x+bcos2x=
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幻灯片 48∴
又∵ab≠0，∴a≠0,b≠0，
∴
∴过点(a，b)的直线必与函数f(x)图象相交，故⑤不正确.
答案：①③
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幻灯片 49【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：
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幻灯片 50----
幻灯片 511.(2011·陕西高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),
f(x+2)=f(x),则y=f(x)的图象可能是( )
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幻灯片 52【解析】选B.由f(-x)=f(x)得y=f(x)是偶函数，所以函数y=f(x)的图象关于y轴对称，可知B、D符合；由f(x+2)=f(x)得y=f(x)是周期为2的周期函数，选项D的图象的最小正周期是4，不符合，选项B的图象的最小正周期是2，符合，故选B.
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幻灯片 532.(2011·新课标全国卷)设函数f(x)=sin(2x+ )+
cos(2x+ )，则( )
(A)y=f(x)在(0, )内单调递增，其图象关于直线x= 对称
(B)y=f(x)在(0, )内单调递增，其图象关于直线x= 对称
(C)y=f(x)在(0, )内单调递减，其图象关于直线x= 对称
(D)y=f(x)在(0, )内单调递减，其图象关于直线x= 对称
【解析】选D.∵f(x)=sin(2x+ )+cos(2x+ )
= sin(2x+ )= cos2x，
∴f(x)在(0, )内单调递减，且图象关于直线x= 对称.
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幻灯片 543.(2012·唐山模拟)直线 都是函数f(x)=sin(ωx
+φ)(ω＞0,-π＜φ≤π)的对称轴，且函数f(x)在区间
［ ］上单调递减，则( )
(A)ω=6,φ= (B)ω=6,φ=-
(C)ω=3,φ= (D)ω=3,φ=-
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幻灯片 55【解析】选A.直线x= x= 都是函数f(x)=sin(ωx+φ)
(ω＞0，-π＜φ≤π)的对称轴，且函数f(x)在区间［ ］
上单调递减，所以T=2×
所以ω= 并且1= -π＜φ≤π，所以，
故选A.
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