幻灯片 1第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
及三角函数模型的简单应用
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幻灯片 2三年10考 高考指数:★★★
1. 了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义，能画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响.
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.
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幻灯片 31.图象的变换规律：平移和伸缩变换在主、客观题中均有考查，是高考中考查的重点和热点.
2.结合三角恒等变换考查y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用是考查的热点.
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幻灯片 41.用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x
轴相交的三个交点,作图时的一般步骤为:
(1)定点：先确定五点.即令ωx+φ分别等于0, π, 2π，
得对应的五点为：_______,_________，________,__________,
__________.
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幻灯片 5(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.
(3)扩展：将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+φ)在R上的图象.
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幻灯片 6【即时应用】
用五点法作函数y=sin(x- )在一个周期内的图象时，主要确
定的五个点是________、________、________、 ________、
_________.
【解析】分别令x- =0, π, 2π,
可求出x的值分别为
又因为A=1,
所以需要确定的五个点为：
答案：
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幻灯片 72.三角函数图象的变化规律(其中A＞0，ω>0)
(1)先平移后伸缩
y=sinx的图象 y=sin(x+φ)的图象
y=sin(ωx+φ)的图象
y=Asin(ωx+φ)的图象
y=Asin(ωx+φ)+k的图象．
向左(φ>0)或向右(φ<0)
平移____个单位长度
|φ|
横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)
到原来的___(纵坐标不变)
纵坐标伸长(A>1)或缩短(00)或向下(k<0)
平移|k|个单位长度
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幻灯片 8(2)先伸缩后平移
y=sinx的图象
y=Asinx的图象
y=Asinωx的图象
y=Asin(ωx+φ)的图象
y=Asin(ωx+φ)+k的图象．
纵坐标伸长(A>1)或缩短(01)
到原来的___(纵坐标不变)
向左(φ>0)或向右(φ<0)
平移____个单位
向上(k>0)或向下(k<0)
平移|k|个单位长度
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幻灯片 9【即时应用】
(1)y＝sin(x＋ )的图象是由y＝sinx的图象向_____平移
_____个单位得到的.
(2)y＝sin(x－ )的图象是由y＝sinx的图象向_____平移
_____个单位得到的.
(3)y＝sin(x－ )的图象是由y＝sin(x＋ )的图象向_____
平移_____个单位得到的.
(4)y=sin(2x+ )的图象是由y=sin2x的图象向_____平移
_____个单位得到的.
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幻灯片 10【解析】(1)(2)(3)根据图象变化规律易求.
(4)∵y=sin(2x+ )=sin[2(x+ )],
∴将y=sin2x的图象向左平移 个单位长度就得到y=sin(2x+ )的图象.
答案：(1)左 (2)右 (3)右
(4)左
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幻灯片 113.函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义
在物理学上，当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈［0,+∞)
表示简谐运动时，则A叫做_______， 叫做_______，
叫做_______，ωx+φ叫做_______，x=0时的相位φ叫做_______.
频率
振幅
周期
相位
初相
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幻灯片 12【即时应用】
如图，它表示电流I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|＜ )在
一个周期内的图象.
试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式：______________，
其频率f=________.
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幻灯片 13【解析】由图象知A=
所以 所以
由 =2kπ+π得φ=2kπ+ (k∈Z),
∵
所以
答案：
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幻灯片 14 函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象
及其变换
【方法点睛】函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象的作法
(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通
过变量代换，设z=ωx+φ，由z取0， π， 2π来求出相应
的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
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幻灯片 15(2)图象变换法：由函数y=sinx的图象通过变换得到y=
Asin(ωx+φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【提醒】五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图象变换要注意顺序，平移时两种平移的单位长度不同.
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幻灯片 16【例1】画出函数y＝3sin(2x＋ )，x∈R的简图.
【解题指南】作函数y＝3sin(2x＋ )的图象可用五点作图
或图象变换法.
【规范解答】方法一：五点法
由T＝ 得T＝π，列表：
0
π
2π
3
0
-3
0
0
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幻灯片 17描点画图：
将所得图象按周期向两侧扩展可得y=3sin(2x+ )在R上的图象.
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幻灯片 18将所得图象按周期向两侧扩展可得y=3sin(2x+ )在R上的图象.
方法二：图象变换法
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幻灯片 19【反思·感悟】1.五点法作图的关键是正确确定五个点,而后列表、描点、连线即可.要注意在作出一个周期上的简图后，应向两侧伸展，以表示整个定义域上的图象.
2.用图象变换法作图仅能作出简图.
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幻灯片 20【变式训练】(2012·烟台模拟)将函数y=sin(x+ )图象上所有
点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再把所得图象向
右平移 个单位后得到函数y=f(x)的图象，则函数y=f(x)的图
象( )
(A)关于点(0，0)对称
(B)关于点( 0)对称
(C)关于直线x= 对称
(D)关于直线x=π对称
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幻灯片 21【解析】选C.y=sin(x+ ) y=sin(2x+ )
y=sin[2(x- ]=sin(2x- )，显然
y=sin(2x- )的图象关于x= 对称.
所有点的横坐标
缩短到原来的 倍
向右平移 个
单位
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幻灯片 22 由图象求解析式
【方法点睛】确定y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m,则
(2)求ω，确定函数的周期T，则可得
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幻灯片 23(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口.具体如下：
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幻灯片 24“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx+φ=0;“第二
点”(即图象的“峰点”)时ωx+φ= “第三点”(即图象下
降时与x轴的交点)时ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷
点”)时ωx+φ= “第五点”时ωx+φ=2π.
【提醒】在求φ时要注意已知中所给的φ的范围.
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幻灯片 25【例2】(1)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0,ω＞0)
的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )
(A)A＝3，
(B)A＝1，
(C)A＝1，
(D)A＝1，
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幻灯片 26(2)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的图象的一段，它的解析式为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
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幻灯片 27(3)如图是f(x)＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0,｜φ｜＜
的一段图象，则函数f(x)的解析式为___________.
【解题指南】由图象确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，首先确定A的值，其次根据图象求周期T，根据周期求ω；最后根据所给的数据求φ.
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幻灯片 28【规范解答】(1)选C.由图象知，
所以 由 得 k∈Z，
当k=-1时，
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幻灯片 29(2)选D.由图象知 所以T=π，
所以ω=2；又由 k∈Z，所以当k=-1时，
所以
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幻灯片 30(3)由图象得A=2，当x=0时，
因为
所以 所以由题图可知
∴ω=3.所以f(x)=2sin(3x+ ).
答案：f(x)=2sin(3x+ )
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幻灯片 31【互动探究】把本例中(3)的图象改为如图，其他不变，如何求解？
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幻灯片 32【解析】由图象知 所以T=16，则ω=
由 =π+2kπ,k∈Z, 得 所以函数的
表达式为：
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幻灯片 33【反思·感悟】1．振幅A与最值有关；ω与周期T有关；
初相φ用待定系数法求解;
2．利用待定系数法解题的过程中选择的点要慎重;
3．要善于观察图象，抓住图象的特征.
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幻灯片 34【变式训练】(2012·三明模拟)如图是函数y=Asin(ωx+φ)在
一个周期内的图象，此函数的解析式可为( )
(A)y=2sin(2x+ )
(B)y=2sin(2x+ )
(C)y=2sin
(D)y=2sin(2x- )
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幻灯片 35【解析】选B.显然A=2，
∴T=π，ω=2，∴y=2sin(2x+φ).
又∵过点( ，2)，
∴2=2sin( +φ)，
∴φ可以等于
即y=2sin(2x+ ).
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幻灯片 36 三角函数性质的应用
【方法点睛】函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的性质
(1)奇偶性
φ=kπ时，函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数；φ=kπ+ (k∈Z)
时，函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
(2)周期性
y=Asin(ωx+φ)存在周期性，其最小正周期为
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幻灯片 37(3)单调性
根据y=sint和t=ωx+φ的单调性来研究，由
k∈Z得单调增区间；由
k∈Z得单调减区间.
(4)对称性
利用y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx+φ=
kπ(k∈Z),求得x.
利用y=sinx的对称轴为x=kπ+ (k∈Z)求解,令ωx+φ=kπ+
(k∈Z),得其对称轴.
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幻灯片 38【例3】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的
图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第
一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的增区间；
(3)若x∈[-π,π]，求f(x)的值域.
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幻灯片 39【解题指南】根据已知条件结合图象先求出解析式，再根据解析式求出单调区间和值域.
【规范解答】(1)由图象知A=2，由 =2π得T=4π，
所以
∴f(x)=
∴f(0)=2sinφ=1，又∵
∴
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幻灯片 40由
∴ k∈Z，
又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，∴x0=
(2)由 k∈Z得
所以f(x)的增区间为
k∈Z.
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幻灯片 41(3)∵-π≤x≤π，∴
所以 所以 所以f(x)的值域
为
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幻灯片 42【反思·感悟】求三角函数y=Asin(ωx+φ)的性质，不论是周期性、单调性、对称性还是求三角函数的最值，都要以三角函数y=sinx的性质为基础.另外在求解时要注意所给的范围和φ的取值.
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幻灯片 43【变式训练】求函数y=sinx+ cosx的周期、最大值和最小值．
【解析】因为
所以，周期 最大值为2，最小值为-2.
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幻灯片 44【变式备选】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,
ω>0, )的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的
距离为 且图象上的一个最低点为M( -2).
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈［ ］时，求f(x)的值域.
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幻灯片 45【解析】(1)由最低点为M( -2)，得A=2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为
得 即T=π，∴
由点M( -2)在图象上，得2sin( )=-2,
即
故 k∈Z,
∴ k∈Z.
又
故f(x)=2sin(2x+ ).
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幻灯片 46(2)∵x∈［ ］,∴
当 即x= 时，f(x)取得最大值2;
当 即x= 时，f(x)取得最小值-1，故f(x)的值域
为［-1，2］.
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幻灯片 47 三角函数模型的简单应用
【方法点睛】三角函数模型的实际应用和解题步骤
(1)三角函数模型的应用主要有：
①根据图象建立解析式或根据解析式作出图象；
②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；
③利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
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幻灯片 48(2)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是已知三角函数模型，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是合理建模.
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幻灯片 49【例4】估计某一天的白昼时间的小时数f(t)的表达式是
其中t表示某一天的序号，t=0表示
1月1日，依次类推.常数λ与某地所处的纬度有关.(π取3.14)
(1)在波士顿,λ=6，试画出当t∈［0,365］时函数f(t)的图象；
(2)在波士顿哪一天的白昼时间最长？哪一天的白昼时间最短？
【解题指南】由题目中的已知条件，利用五点法画出g(t)=
的图象，再向上平移12个单位可得f(t)的图象，再利用图象可得白昼时间最长与最短的时间.
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幻灯片 50【规范解答】(1)先用五点法作出y=g(t)=
的简图.
令 分别等于0、 π、 2π，得到下表：
若t=0,g(0)= ≈3sin(-1.36)≈-2.9.
因为函数g(t)的周期为365,所以g(365)≈-2.9.
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幻灯片 51将函数g(t)在［0,365］上的图象向上平移12个单位长度，就得到函数f(t)的图象.
(2)白昼时间最长的一天，即f(t)取得最大值的一天，此时t=170,对应的是6月20日(闰年除外).类似地，t=353时,f(t)取得最小值，即12月20日白昼时间最短.
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幻灯片 52【反思·感悟】三角函数应用模型的三种模式：
(1)给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；
(2)给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；
(3)搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.
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幻灯片 53【变式训练】以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并且已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.
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幻灯片 54【解析】6月份盈利最大，由条件可得：出厂价格y1与月份x的
函数关系式为
销售价格y2与月份x的函数关系式为
则利润函数关系式为:
y=m(y2-y1)
所以，当x=6时，y=(2+2 )m，即6月份盈利最大.
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幻灯片 55【易错误区】有关三角函数性质的易错点
【典例】(2011·天津高考)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,
其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x= 时,
f(x)取得最大值,则 ( )
(A)f(x)在区间［-2π,0］上是增函数
(B)f(x)在区间［-3π,-π］上是增函数
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幻灯片 56(C)f(x)在区间［3π,5π］上是减函数
(D)f(x)在区间［4π,6π］上是减函数
【解题指南】求出函数f(x)的解析式,再根据三角函数的性质判断.
【规范解答】选A.由题意可得
当 即 k∈Z时
函数是增函数,所以f(x)在［-2π,0］上是增函数，故选A.
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幻灯片 57【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：
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幻灯片 58----
幻灯片 591.(2011·山东高考)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间［0, ］
上单调递增，在区间［ ］上单调递减，则ω=( )
(A)3 (B)2 (C) (D)
【解析】选C.由f(x)=sinωx(ω＞0)知其图象过原点，所以
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幻灯片 602.(2011·安徽高考)已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中φ为实
数，若f(x)≤|f( )|对x∈R恒成立，且f( )＞f(π)，则f(x)
的单调递增区间是( )
(A) (k∈Z)
(B) (k∈Z)
(C) (k∈Z)
(D) (k∈Z)
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幻灯片 61【解析】选C.由f(x)≤|f( )|对x∈R恒成立知，
(k∈Z)，得到
(k∈Z)，代入f(x)并由f( )＞f(π)检验得，φ的取值为
(k∈Z)，不妨取 所以
计算得单调递增区间是 (k∈Z).
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幻灯片 623.(2011·江苏高考)函数f(x)=
Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,
A＞0，ω＞0)的部分图象如图
所示，则f(0)的值是_______.
【解析】根据图象可知A= 四分之一周期为 所以周期为π，
由 根据五点作图法可知 (k∈Z)，
解得 (k∈Z),令k=0得 所以解析式为
所以f(0)=
答案：
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