幻灯片 1第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
----
幻灯片 2三年12考 高考指数:★★★
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
----
幻灯片 31.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考的常考点.
2.公式逆用、变形应用是高考热点.
3.在选择题、填空题、解答题中都有所考查.
----
幻灯片 41.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
----
幻灯片 5【即时应用】
(1)判断下列式子的正误.(请在括号内打“√”或“×”)
①cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30° ( )
②sin15°=sin(45°-30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°
( )
③cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°
( )
----
幻灯片 6④cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°
( )
(2)计算sin72°cos18°+cos72°sin18°=______.
(3)计算cos72°cos12°+sin72°sin12°=______.
----
幻灯片 7【解析】(1)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+
sin45°·sin30°,故①错误；sin15°=sin(45°-30°)
=sin45°·cos30°-cos45°sin30°，故②错误;③正确，cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°,
故④错误.
(2)原式=sin(72°+18°)=sin90°=1.
(3)原式=cos(72°-12°)=cos60°=
答案：(1)①× ②× ③√ ④× (2)1 (3)
----
幻灯片 82.二倍角的正弦、余弦、正切公式
----
幻灯片 9【即时应用】
(1)思考：二倍角公式 中对任意的α都成立吗？
提示：不一定,当 (k∈Z)时，公式成立.
(2) 的值等于______.
【解析】
答案：
----
幻灯片 10(3)若 则tan2α=______.
【解析】
答案：
----
幻灯片 11 三角函数的化简
【方法点睛】三角函数化简的技巧、方法和要求
(1)寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；
(2)正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；
(3)一些常规技巧：“1”的代换、正切化弦、和积互化、异角化同角等．
----
幻灯片 12(4)三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
(5)化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.
【提醒】公式的逆用、变形用十分重要，特别是1+cos2α
=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,形式相似，容易出错，应用时要加强“目标意识”.
----
幻灯片 13【例1】化简下列各式：
(1) =______.
(2) =______.
【解题指南】(1)若注意到化简式是开平方根和2α是α的二
倍，α是 的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；
(2)由于分子是一个平方差，分母可通过二倍角公式化简，若
注意到这两大特征，不难得到解题的切入点.
----
幻灯片 14【规范解答】(1)因为
所以 =|cosα|=cosα,
又因为
所以
所以，原式=
----
幻灯片 15(2)原式=
答案：(1) (2)1
----
幻灯片 16【互动探究】把本例中的(2)改为
=______.
【解析】原式
答案：
----
幻灯片 17【反思·感悟】1.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅
限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，
同时还要注意 三个角的内在联系，cos2α=
是常用的三角变换.
2.化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消
元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧.
3.常用的公式变形：
----
幻灯片 18【变式备选】不查表求sin220°+cos280°+
的值.
【解析】sin220°+cos280°+
= (1－cos40°)+ (1+cos160°)+
=1－ cos40°+ cos160°+
=1－ cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)
+ sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)
----
幻灯片 19 三角函数的求值
【方法点睛】三角函数的求值主要有两种类型，即给角求值，给值求值
(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
----
幻灯片 20【例2】若 求 的值.
【解题指南】本题可以利用 的变换，同时要注意
x的范围和符号，求出sinx和cosx代入原式求解；也可以化简
原式后得到二倍角与和角的三角函数，利用 的
变换，再利用两角差的余弦和二倍角公式求解.
----
幻灯片 21【规范解答】方法一：由 得
又因为
从而
原式=
----
幻灯片 22方法二：原式=
=sin2xtan( +x),
而
所以，原式=
----
幻灯片 23【反思·感悟】1.此题若将 的左边展开成
再求cosx,sinx的值就很繁琐，把
作为整体，并注意角的变换 这样就
可运用二倍角公式.化难为易，化繁为简是三角恒等变换的
关键.
2.解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函
数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角.
----
幻灯片 24【变式训练】已知 求 的值.
【解析】方法一：由题设：
从而：
----
幻灯片 25方法二：令
----
幻灯片 26【变式备选】已知
求sin(α+β)的值.
【解析】∵
又
∵
又∵
----
幻灯片 27∴sin(α+β)=-sin［π+(α+β)］
----
幻灯片 28 三角函数的给值求角
【方法点睛】1.三角函数的给值求角问题的一般思路
(1)求出该角的某一三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出角.
----
幻灯片 292.三角函数给值求角时应注意的问题
求角的某一三角函数值时,尽量选择在该角所在范围内是单调的函数，这样,由三角函数值才可以唯一确定角.
(1)若角的范围是(0, ),选正、余弦皆可;
(2)若角的范围是(0,π),选余弦较好;
(3)若角的范围为( ),则选正弦.
----
幻灯片 30【例3】已知 且0＜β＜α＜
(1)求tan2α的值；
(2)求β.
【解题指南】(1)利用同角三角函数关系式求出sinα,tanα,再求出tan2α；(2)把β写成α-(α-β)，根据已知条件求出α的正弦，α-β的正弦，求出cosβ，根据范围确定角.
----
幻灯片 31【规范解答】(1)由 得
∴tanα=
于是
(2)由0＜β＜α＜ ,得0＜α-β＜ .
又∵cos(α-β)=
----
幻灯片 32∴sin(α-β)=
由β=α-(α-β),得cosβ=cos［α-(α-β)］
=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
----
幻灯片 33【反思·感悟】根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinBcosA＝sinAcosB两端同除以cosAcosB得tanB=tanA等变化技巧也经常用到.
----
幻灯片 34【变式训练】已知 α、β、γ均为锐角，求α+β+γ的值.
【解析】
∵tanα= ＜1且α为锐角，∴
同理
----
幻灯片 35 三角函数的综合应用
【方法点睛】三角函数公式和三角函数性质的关系
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查
往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数
解析式化为 的形式,再进一步探讨定义域、值
域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.
(2)注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用，主
要考查基本运算能力．
----
幻灯片 36【例4】已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.
【解题指南】先利用诱导公式和倍角公式进行恒等变换，再求三角函数的性质.
----
幻灯片 37【规范解答】(1)∵f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由
∴
∴f(x)在区间 上的最大值为1，最小值为
----
幻灯片 38【反思·感悟】利用三角函数公式进行三角恒等变形，要求熟
练掌握公式和变换技巧，强化运算能力.以基本三角函数的性
质为基础求 的性质，有时给出角的范围时要注
意 的范围的变化.
----
幻灯片 39【变式训练】设函数f(x)= +sinωxcosωx+a(其中
ω＞0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横
坐标为
(1)求ω的值；
(2)如果f(x)在区间 上的最小值为 求a的值.
----
幻灯片 40【解析】(1)f(x)=
=
依题意得
(2)由(1)知，f(x)=
又当x∈ 时，
故 从而f(x)在区间 上的最小值
为
----
幻灯片 41【变式备选】已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;
(2)求函数f(x)在区间 上的值域.
【解析】(1)∵f(x)=
= +(sinx-cosx)(sinx+cosx)
= +sin2x-cos2x
= -cos2x=
∴周期
----
幻灯片 42由
∴函数图象的对称轴方程为
(2)∵x∈ ∴
∵f(x)=sin(2x- )在区间 上单调递增，在区间
上单调递减，
∴当x= 时，f(x)取最大值1.
又∵
∴当 时，f(x)取最小值
∴函数f(x)在区间 上的值域为
----
幻灯片 43【满分指导】三角函数主观题的规范解答
【典例】(12分)(2011·广东高考)已知函数f(x)=
x∈R.
(1)求f( )的值;
(2)设α，β∈
求cos(α+β)的值.
----
幻灯片 44【解题指南】(1)把 代入解析式直接求解；(2)由题目条
件可求出sinα及cosβ的值，然后利用同角三角函数关系，求
出cosα及sinβ的值，再利用两角和的余弦公式求解.
【规范解答】(1)
= …………………………………………3分
(2)由 得
即 …………………………………………6分
由f(3β+2π)= 得
----
幻灯片 45从而 …………………………………………8分
∵α、β∈
∴
……………………………………10分
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
……………………………………12分
----
幻灯片 46【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
----
幻灯片 47----
幻灯片 481.(2011·福建高考)若tanα=3，则 的值等于( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
【解析】选D.∵
∴ 的值等于6.
----
幻灯片 492.(2011·福建高考)若α∈(0， )，且
则tanα的值等于( )
(A) (B)
(C) (D)
【解析】选D.∵sin2α+cos2α=
∴sin2α+(1-2sin2α)= ∴sin2α=
又∵α∈(0, ),∴sinα=
∴cosα= ∴tanα=
----
幻灯片 503.(2011· 浙江高考)若
则cos(α+ )=( )
(A) (B)
(C) (D)
----
幻灯片 51【解析】选C.由
可得
由 及 可得
所以
----
幻灯片 524.(2012·烟台模拟)已知 则sin2α=_____.
【解析】
答案：
----
幻灯片 535.(2011·江苏高考)已知tan(x+ )=2,则 的值为_____.
【解析】由tan(x+ )=2,可得
答案：
----
【点此下载】