幻灯片 1第六节 简单的三角恒等变换
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幻灯片 2三年6考 高考指数:★★
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
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幻灯片 31.利用公式变换,进行三角函数式的化简是高考考查的热点.
2.常与实际应用问题、函数等结合命题.
3.高考主要以解答题的形式进行考查.
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幻灯片 41.半角公式
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幻灯片 5【即时应用】
(1)思考：你能用sinα、cosα表示 吗？
提示：
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幻灯片 6(2)判断下列公式及其变形是否正确(请在括号中填写“√”或“×”)
① ( )
② ( )
③ ( )
【解析】①根据公式可知根号下分子上应该是“+”，故错;②等号右边分子上应该是“-”，故错；③等号右边分子上应该是“-”，可以化简验证，故错.
答案：①× ②× ③×
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幻灯片 7(3)填空：①cos215°-sin215°=______.
②2sin215°-1=______.
【解析】①cos215°-sin215°=cos30°=
②2sin215°-1=-cos30°=
答案：① ②
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幻灯片 82.形如asinx+bcosx的式子的化简
asinx+bcosx=________sin(x+φ)
(其中 )
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幻灯片 9【即时应用】
(1)把下列三角函数式化成 的形式
①sinα+ =______;
②sinα+cosα=______;
③5sinα+12cosα=______.
(2)计算： =______.
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幻灯片 10【解析】(1)①
②sinα+cosα=
③5sinα+12cosα=
(其中 ).
(2)原式
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幻灯片 11答案：(1)①
②
③
(2)
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幻灯片 12 三角函数式的求值
【方法点睛】三角函数式求值的类型和思路
(1)三角函数式求值的类型
三角函数式求值分为直接求值和条件求值,
①直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式的值.
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幻灯片 13②条件求值是要根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求得所需要的值，同时注意所给角的范围.
(2)条件求值的一般思路
①先化简所求式子或所给条件;
②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);
③将已知条件代入所求式子,化简求值.
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幻灯片 14【例1】求下列三角函数式的值
(1)sin50°(1+ )=_______.
(2)若 则tanαtanβ=______.
(3)已知tan( +α)=2,则 =______.
【解题指南】(1)把切函数换成弦函数再用公式化简求值，重在公式的逆用；(2)利用两角和、差的余弦公式展开求cosαcosβ,sinαsinβ，相除得结果；(3)根据已知条件求出tanα，把所给的三角函数式变形，代入tanα即可.
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幻灯片 15【规范解答】(1)原式=
(2)∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= ①
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= ②
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幻灯片 16由①②解得
则
(3)由 得
于是
答案：(1)1 (2) (3)
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幻灯片 17【互动探究】把本例(2)中的“cos(α+β)= cos(α-
β)= ”改为“sin(α+β)= sin(α-β)= ”,如何
求 ？
【解析】因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=
两式相加得sinαcosβ= ①
两式相减得cosαsinβ= ②
即得
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幻灯片 18【反思·感悟】三角函数式求值问题的注意点
(1)三角函数式求值时一定要准确地应用公式和选择恰当的思路，否则会使求值过程繁琐.
(2)条件求值要求准确利用所给的条件，在此可能涉及到式子的变形和角的变换，同时要注意所给角的范围.
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幻灯片 19【变式备选】已知
求cos(2α+ )的值.
【解析】
= ×(cos2α-sin2α),
∵ ∴
又cos(α+ )= >0,
故可知
∴
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幻灯片 20从而cos2α=sin(2α+ )=
=
sin2α=-cos(2α+ )=1-2cos2(α+ )
=
∴cos(2α+ )= (cos2α-sin2α)
=
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幻灯片 21 三角函数式的化简
【方法点睛】三角函数式化简的原则、要求及方法
(1)三角函数式的化简原则:一是统一角，二是统一函数名.能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.
(2)
三角
函数
式化
简的
要求
①能求出值的应求出值；
②尽量使三角函数种数最少；
③尽量使项数最少；
④尽量使分母不含三角函数；
⑤尽量使被开方数不含三角函数.
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幻灯片 22(3)三角函数式化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角.
【提醒】同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常应用，特别是“1”的代换经常用到.
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幻灯片 23【例2】化简 α∈(π,2π).
【解题指南】利用三角函数的倍角公式凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式，但要注意α的范围.
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幻灯片 24【规范解答】∵
2(1+cosα)=
∴原式=
∵α∈(π,2π),∴
当 即 时，
∴原式=
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幻灯片 25当 即 时，
∴原式 (其中 ),
∴原式=
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幻灯片 26【反思·感悟】本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为
是欲擒故纵原则.一般地有
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幻灯片 27【变式训练】化简
【解析】原式=
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幻灯片 28【变式备选】化简：
【解析】方法一:
原式=
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幻灯片 29方法二：原式=
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幻灯片 30 三角恒等式的证明
【方法点睛】三角恒等式证明的方法及切入点
(1)证明恒等式的方法：
①从左到右；②从右到左；
③从两边化到同一式子.
原则上是化繁为简，必要时也可用分析法.
(2)三角恒等式证明的切入点：
①看角：分析角的差异,消除差异,向结果中的角转化;
②看函数:统一函数,向结果中的函数转化.
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幻灯片 31【例3】证明：(1)
(2)
【解题指南】(1)从等号的左边开始证明先变成相同的角，再利用公式推导；
(2)从等号的左边证明，主要是利用同角三角函数关系式，注意“1”的代换.
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幻灯片 32【规范解答】(1)左边=
=sin( -2x)=cos2x=右边，原题得证.
(2)左边=
= =右边，原题得证.
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幻灯片 33【互动探究】把本例(2)中等号左边改为“ ”,
右边不变，试证明.
【证明】左边=
=右边.
所以原等式成立.
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幻灯片 34【反思·感悟】1.三角函数式的化简与证明的类型及思路
(1)对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；
(2)对三角的分式，基本思路是分子与分母约分和逆用公式，
最终变成整式或数值；
(3)对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.
2.化简与证明的过程中体现了化归的思想，是一个“化异为
同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的
变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”，“复角化单角”、
“复角化复角”等具体手段.
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幻灯片 35【变式备选】若tan2α=2tan2β+1，求证：sin2β=2sin2α-1.
【证明】由已知得
即
即
即sin2α-sin2αsin2β=sin2β+1-sin2α-sin2αsin2β.
∴sin2β=2sin2α-1，即等式成立.
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幻灯片 36 的应用
【方法点睛】三角函数性质的讨论
(1)三角函数性质的讨论，可通过变形为asinθ+bcosθ=
(其中 )的形式去讨论.这样的变形，
主要是 角的确定.
(2)通过恒等变形，可以将较为复杂的函数形式转化为较为简洁的函数形式，有利于更好地讨论三角函数的性质，但要注意是恒等变形，因为在某些情形下，变形会导致定义域的变化，从而影响函数的值域和周期等性质.
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幻灯片 37【提醒】该公式是逆用两角和的正弦公式得到的.当φ为特殊
角即 的值为1或 时要熟练掌握.对φ是非特殊角时,
只要求会求最值即可.
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幻灯片 38【例4】已知函数 (ω>0)的最
小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求函数f(x)在区间 上的取值范围.
【解题指南】先利用三角恒等变换把f(x)化成f(x)=Asin(ωx+
φ)+b的形式，求周期得到ω,再讨论三角函数的性质.
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幻灯片 39【规范解答】(1)f(x)=
因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω>0，
所以 解得ω=1.
(2)由(1)得f(x)=
因为
所以
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幻灯片 40所以
因为 所以f(x)在区间 上的取值
范围为
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幻灯片 41【反思·感悟】此题第(1)问主要是要求正确的恒等变形，第
(2)问要注意 这样 的范围就能具体求出，再求
f(x)的取值范围.
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幻灯片 42【变式训练】已知函数
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在 上的值域.
【解析】(1)
∴f(x)的最小正周期
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幻灯片 43(2)
∴
所以f(x)在 上的值域为
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幻灯片 44【满分指导】三角函数性质综合题的规范解答
【典例】(12分)(2011·四川高考)已知函数f(x)=sin(x+
x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值;
(2)已知 0<α<β≤ 求证：
［f(β)］2-2=0.
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幻灯片 45【解题指南】(1)把f(x)化成 的形式；
(2)利用两角和与差的余弦公式展开，两式相加可得
2cosβcosα=0，结合 可得 从而问题得证.
【规范解答】(1)∵
………………………………………………3分
∴f(x)的最小正周期T=2π，f(x)的最小值为-2.
………………………………………………………………5分
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幻灯片 46(2)由已知得
cosβcosα+sinβsinα=
cosβcosα-sinβsinα=
两式相加得2cosβcosα=0. ……………………………8分
∵0<α<β≤ ∴
∴［f(β)］2-2= …………………………12分
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幻灯片 47【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 48----
幻灯片 491.(2011·大纲版全国卷)已知 则tan2α
=__________.
【解析】由 得
答案：
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幻灯片 502.(2011·重庆高考)已知sinα= +cosα,且α∈(0, ),
则 的值为______.
【解析】由题意知sinα-cosα=
两边平方可得
所以(sinα+cosα)2=1+sin2α=
又α∈(0, ),所以sinα+cosα=
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幻灯片 51答案：
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幻灯片 523.(2011·福建高考)设函数f(θ)= sinθ+cosθ，其中，角θ
的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点
P(x，y)，且0≤θ≤π.
(1)若点P的坐标为 求f(θ)的值；
(2)若点P(x，y)为平面区域Ω： 上的一个动点，试确
定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值.
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幻灯片 53【解析】(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得
于是f(θ)=
(2)作出平面区域Ω(即阴影部分)
如图所示，
其中A(1，0)，B(1，1)，C(0，1).
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幻灯片 54于是0≤θ≤
又f(θ)= sinθ+cosθ=2sin(θ+ )，
且 故当 即θ= 时，
f(θ)取得最大值，且最大值等于2；
当 即θ=0时，
f(θ)取得最小值，且最小值等于1.
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