幻灯片 1第一节 平面向量的概念及其线性运算
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幻灯片 2 完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！
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幻灯片 3三年4考 高考指数:★★
1.了解向量的实际背景；
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；
3.理解向量的几何表示；
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
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幻灯片 41.平面向量的线性运算及共线向量定理是高考考查的重点，也是热点，难度中等偏下.
2.题型以客观题为主，与解析几何交汇命题则以解答题为主.
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幻灯片 51.向量的有关概念
(1)定义：既有_____又有_____的量叫做向量.
(2)表示方法：用_________来表示向量.有向线段的长度表
示向量的_____，用箭头所指的方向表示向量的_____.用a,b,
或用 来表示.
(3)模：向量的_____叫做向量的模，记作|a|,|b|或
大小
方向
有向线段
大小
方向
长度
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幻灯片 6【即时应用】
(1)判断下列命题的真假：(请在括号中填写“真”或“假”)
①向量的大小是实数 ( )
②向量可以用有向线段表示 ( )
③向量就是有向线段 ( )
④向量 的长度和向量 的长度相等 ( )
(2)请写出物理中的三个向量___________.
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幻灯片 7【解析】(1)向量是既有大小又有方向的量，向量的大小为实
数，故①为真；向量可以用有向线段来表示，有向线段的长
度为向量的大小，有向线段的方向为向量的方向，所以②为
真；③为假； 与 是大小相等、方向相反的向量，故
④为真.
(2)由向量的定义可知，物理中的速度、力、加速度等都为
向量.
答案：(1)①真 ②真 ③假 ④真
(2)速度、力、加速度(答案不唯一)
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幻灯片 82.特殊向量
(1)零向量：长度为__的向量叫做零向量，记作0；零向量
的方向_______.
(2)单位向量：长度为________的向量叫做单位向量.
(3)共线向量：方向相同或_____的向量叫做共线向量，共线
向量也叫做_____向量；规定：零向量与任何向量共线.
(4)相等向量：长度_____且方向_____的向量叫做相等向量.
(5)相反向量：长度_____且方向_____的向量叫做相反向量.
0
不确定
1个单位
相反
平行
相同
相等
相等
相反
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幻灯片 9【即时应用】
(1)判断下列命题的真假：(请在括号中填写“真”或“假”)
①若a与b平行，则b与a方向相同或相反 ( )
②若a与b平行同向，且|a|>|b|,则a>b ( )
③|a|=|b|与a、b的方向没有关系 ( )
(2)把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向
量的终点所构成的图形是________.
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幻灯片 10【解析】(1)①假，当a为零向量时，方向是不确定的.
②假，向量不能比较大小.
③真，向量a与b的模相等，即长度相等，与方向无关.
(2)这些向量的终点所构成的图形是以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆.
答案：(1)①假 ②假 ③真 (2)圆
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幻灯片 113.向量的加法与减法
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幻灯片 12【即时应用】
(1)下列命题是否正确(请在括号中填“√”或“×”)
① ( )
② ( )
③ ( )
(2)若菱形ABCD的边长为2，则 =__________.
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幻灯片 13【解析】(1)①不正确.因为
②正确.因为
③正确.因为
(2)
答案：(1)①×②√③√
(2)2
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幻灯片 144.向量的数乘与共线向量定理
(1)向量的数乘
①长度: |λa|=________
②方向:
当λ>0时，λa的方向与a的方向______；
当λ<0时，λa的方向与a的方向______，
当λ=0时，λa=__,其方向是任意的.
|λ||a|
相同
相反
0
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幻灯片 15(2)向量的数乘的运算律
设λ,μ为实数，则①λ(μa)=________;
②(λ+μ)a=________；③λ(a+b)=_________.
(3)共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得
________.
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
b=λa
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幻灯片 16【即时应用】
(1)思考：在共线向量定理中，当a=0时，λ还唯一吗？
提示：当a=0且b=0时，λ可以为任意实数，不唯一，
当a=0且b≠0时，λ不存在.
(2)填空
① 8(a+c)+7(a-c)-c=_____________.
② ［ (2a)+8b-(4b+2b)］=______________.
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幻灯片 17③设两非零向量e1,e2不共线，且k(e1+e2)∥(e1+ke2)，则实数
k的值为_________.
④点C在线段AB上，且 则 =____ .
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幻灯片 18【解析】①原式=8a+8c+7a-7c-c=15a.
②原式= (a+8b-4b-2b)= (a+2b).
③∵k(e1+e2)∥(e1+ke2),
∴k(e1+e2)=λ(e1+ke2),
即(k-λ)e1=(λk-k)e2,
∵e1,e2不共线,
∴
解得k=0或1.
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幻灯片 19④∵
答案：①15a ② (a+2b) ③0或1 ④
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幻灯片 20 例题归类全面精准，核心知识深入解读。本栏目科学归纳考向，紧扣高考重点。【方法点睛】推门只见窗前月：突出解题方法、要领、答题技巧的指导与归纳；“经典例题”投石冲破水中天：例题按层级分梯度进行设计，层层推进，流畅自然，配以形异神似的变式题，帮你举一反三、触类旁通。题型与方法贯通，才能高考无忧！
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幻灯片 21 平面向量的有关概念
【方法点睛】 1.平面向量的概念辨析题的解题方法
准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.
2.几个重要结论
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；
(3)平行向量与起点无关.
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幻灯片 22【例1】已知下列命题：
①单位向量都相等
②若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量
③两个有共同起点而长度相等的非零向量，它们的终点必相同
④由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行
⑤如果a=b,b=c,则a=c
⑥如果|a|=|b|，则a与b的方向相同.
其中不正确的命题是____(请把不正确的命题的序号都填上).
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幻灯片 23【解题指南】以概念为判断依据，或通过举反例说明其不正确.
【规范解答】各单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故
①不正确；当b=0时，a与c可以为任意向量，故②不正确；
两个有共同起点而长度相等的非零向量，如果它们的方向相同，
则它们的终点必相同，否则终点不相同，故③不正确；规定0与
任意向量平行，故④不正确；如果a、b、c都为零向量，则a=c,
如果a、b、c为非零向量，则它们的长度都相等、方向相同，所
以a=c,故⑤正确；⑥不正确.
答案：①②③④⑥
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幻灯片 24【反思·感悟】平面向量的基本概念较多，比较容易遗忘，复习时要构建良好的知识结构来帮助记忆，还可以与物理中、生活中的模型进行类比和联想来记忆.
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幻灯片 25【变式训练】给出下列命题:
(1)两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.
(2)两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
(3)λa=0(λ为实数),则λ必为零.
(4)λ,μ为实数,若λa=μb，则a与b共线.
其中错误命题的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
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幻灯片 26【解析】选C.(1)错误.两向量共线要看其方向而不是起点与
终点.
(2)正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,
但它们的模均为实数,故可以比较大小.
(3)错误.当a=0时,不论λ为何值,λa=0.
(4)错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时a与b可以是任意向量.
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幻灯片 27 平面向量的线性运算
【方法点睛】1.平面向量的线性运算法则的应用
三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则.
2.两个重要结论
(1)向量的中线公式：若P为线段AB中点，则
(2)向量加法的多边形法则
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幻灯片 28【提醒】当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用.向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了.
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幻灯片 29【例2】在△ABC中，(1)若D是AB边上一点，且
则λ=( )
(A) (B)
(C) (D)
(2)若O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且
那么( )
(A) (B)
(C) (D)
(3)若 =_________.
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幻灯片 30【解题指南】(1)D是AB边上的三等分点，把 用 表
示；(2)由D为BC边中点可得 即可求解；(3)由
可得△ABC为正三角形， 是
该正三角形高的2倍.
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幻灯片 31【规范解答】(1)选A.
所以λ= ，故选A.
(2)选A.因为D为BC边中点，∴ ，又
∴ 即 故选A.
(3)∵
∴△ABC是边长为2的正三角形， 为三角形高的2倍，
所以
答案：
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幻灯片 32【互动探究】若(1)中的条件作如下改变：
若点D是AB边延长线上一点且 若
则λ-μ的值为__________.
【解析】由题意知，B为AD中点，又
又
∴λ=2,μ=-1，∴λ-μ=3
答案：3
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幻灯片 33【反思·感悟】用已知向量来表示另外一些向量是解向量问题的基础，除了利用向量的线性运算法则外，还应充分利用平面几何的一些定理，如三角形的中位线定理、相似三角形的对应边成比例等.
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幻灯片 34【变式备选】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，
DC的中点，G为BF、DE的交点，若 试用a,b
来表示
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幻灯片 35【解析】
连接BD，因为G是△CBD的重心，
所以
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幻灯片 36 共线向量定理的应用
【方法点睛】1.共线向量定理及其应用
(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共
线求参数的值.
(2)若a,b不共线，则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,
这一结论结合待定系数法应用非常广泛.
2.证明三点共线的方法
若 则A、B、C三点共线.
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幻灯片 37【例3】已知a,b不共线，
设t∈R，如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C，
D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存
在，请说明理由.
【解题指南】先假设存在，再用a,b表示目标向量，最后
判断是否有 成立即可.
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幻灯片 38【规范解答】由题设知， =d-c=2b-3a, =e-c=(t-3)a+tb,
C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使
得 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
因为a,b不共线，所以有 解之得
故存在实数 使C，D，E三点在一条直线上.
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幻灯片 39【反思·感悟】(1)注意待定系数法在解决此类问题中的应用.其中的k只是桥梁，可设而不求.
(2)本例中应用待定系数法求t的值时，不可忽视a,b不共线的条件.
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幻灯片 40【变式训练】设e1与e2是两个不共线的非零向量，若向量
=3e1-2e2, =-2e1+4e2, =-2e1-4e2,试证明：A、C、
D三点共线.
【证明】∵ =3e1-2e2+(-2e1+4e2)=e1+2e2，
∴
∴ ∴ 与 共线，∴A、C、D三点共线.
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幻灯片 41【变式备选】设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同，
t∈R，t为何值时，a，tb， (a＋b)三向量的终点在一条直线上？
【解析】设
化简整理得：
∵a与b不共线，∴
故t= 时，a,tb, (a+b)三向量的终点在一条直线上．
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幻灯片 42 把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。
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幻灯片 43【创新探究】以向量为背景的新定义问题
【典例】(2011·山东高考)设A1、A2、A3、A4是平面直角坐
标系中两两不同的四点，若 (λ∈R)，
(μ∈R)，且 则称A3,A4调和分割点A1,A2，
已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是
( )
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幻灯片 44(A)C可能是线段AB的中点
(B)D可能是线段AB的中点
(C)C，D可能同时在线段AB上
(D)C，D不可能同时在线段AB的延长线上
【解题指南】本题为信息题，由
(μ∈R)知：A1,A2,A3,A4四点共线，且不重合.因为C，
D调和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线上，设
然后逐项代入验证.
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幻灯片 45【规范解答】选D.由
知：四点A1,A2,A3,A4在同一条直线上，且不重合.
因为C，D调和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线
上，设 则 ,选项A中c= ,此时
d不存在，故选项A不正确；同理选项B也不正确；选项C中，
0
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