幻灯片 1第二节 平面向量的基本定理及向量坐标运算
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幻灯片 2三年8考 高考指数:★★★
1.了解平面向量基本定理及其意义；
2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示；
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
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幻灯片 31.平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向量共线条件的应用是考查重点.
2.题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇则以解答题为主.
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幻灯片 41.平面向量基本定理
前提：e1,e2是同一个平面内的两个____________.
条件：对于这一平面内的任一向量a, _____________实数
λ1,λ2满足a=__________.
结论：不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的
一组基底.
不共线向量
有且只有一对
λ1e1+λ2e2
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幻灯片 5【即时应用】
判断下列关于基底的说法是否正确(请在括号内打“√”或“×”).
(1)在△ABC中， 可以作为基底. ( )
(2)能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的. ( )
(3)零向量不能作为基底. ( )
【解析】由基底的定义可知(1)(3)正确；(2)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，故(2)错误.
答案：(1)√ (2)× (3)√
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幻灯片 62.平面向量的坐标表示
(1)向量的夹角
①定义：如图，两个_________a和b，
作 则向量a与b的夹角
是___________.
②范围：向量a与b的夹角的范围是_______________.
③当θ＝0°时,a与b_____.
当θ＝180°时,a与b_____.
当θ=90°时,a与b_____.
非零向量
θ或∠AOB
0°≤θ≤180°
同向
反向
垂直
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幻灯片 7(2)平面向量的正交分解
向量正交分解是把一个向量分解为两个_________的向量.
(3)平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向
量i,j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一
向量a可表示成a=xi+yj，由于a与数对(x,y)是一一对应
的，因此向量a的坐标是______，记作a=(x,y) ，其中a在
x轴上的坐标是__，a在y轴上的坐标是__．
互相垂直
(x,y)
x
y
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幻灯片 8(4)规定
①相等的向量坐标_____，坐标_____的向量是相等的向量；
②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．
相同
相同
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幻灯片 9【即时应用】
(1)思考：在△ABC中，向量 与 的夹角为∠ABC，是否正
确？
提示：不正确.求两向量的夹角时，两向量起点应相同.向量
与 的夹角为π-∠ABC.
(2)已知A(2，0)，a=(x+3，x-3y-5)，若a= ，O为原点，
则x=_______,y=_______.
【解析】∵
答案：-1 -2
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幻灯片 103.平面向量坐标运算
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幻灯片 11【即时应用】
(1)已知a=(1，1)，b=(1，-1)，则 =_______.
(2)已知点A(-1，-5)和向量a=(2,3).若 ，则点B的
坐标为__________.
(3)设 则实数p、q
的值分别为________、________.
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幻灯片 12【解析】(1)
(2)设B(x,y)，则 =(x,y)-(-1,-5)=3(2,3),
∴(x,y)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4).
(3)∵(3，-2)=p(-1，2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),
答案：(1)( ， ) (2)(5，4) (3)1 4
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幻灯片 134.平面向量共线的坐标表示
设 则a∥b⇔____________.
x1y2-x2y1=0
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幻灯片 14【即时应用】
(1)已知a=(-1,3),b=(x,-1),且a、b共线，则x=______.
(2)设a=(1,1),b=(-1,0),若向量λa+b与向量c=(2,1)
共线，则λ=_______.
【解析】(1)∵a∥b,∴(-1)2-3x=0,∴x= .
(2)∵λa+b=λ(1,1)+(-1,0)=(λ-1,λ),
又∵(λa+b)∥c,∴(λ-1)·1-2λ=0,∴λ=-1.
答案：(1) (2)-1
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幻灯片 15 平面向量基本定理及其应用
【方法点睛】用平面向量基本定理解决问题的一般思路
先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
【提醒】在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.
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幻灯片 16【例1】如图所示，在平行四边形
ABCD中，M，N分别为DC，BC的中
点，已知 试用c,d表
示
【解题指南】直接用c,d表示 有难度，可换一个角
度，由 表示 进而求
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幻灯片 17【规范解答】方法一:
设
则 ①
②
将②代入①得
∴ 代入②
得
∴
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幻灯片 18方法二:
设
因为M，N分别为CD，BC的中点，
所以
因而
即
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幻灯片 19【反思·感悟】1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合，基底不同,表示也不同.
2.利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.
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幻灯片 20【变式训练】已知梯形ABCD，如图所示， ，M、N分
别为AD、BC的中点.设 试用e1,e2表示
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幻灯片 21【解析】∵
∴
又∵
∴
又由 得
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幻灯片 22 平面向量的坐标运算
【方法点睛】两向量相等的充要条件
两向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)相等的充要条件是它们的对应
坐标分别相等，即 ，利用向量相等可列出方程组求其
中的未知量，从而解决求字母取值、求点的坐标及向量的坐标
等问题.
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幻灯片 23【例2】(1)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b等于( )
(A)(7，3) (B)(7，7)
(C)(1，7) (D)(1，3)
(2)已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，
①求 ；
②若 ,求m,n.
【解题指南】(1)由向量的坐标运算法则求解即可.
(2)①利用 为点B的坐标减去点A的坐标求解.
②利用向量相等列出关于m,n的方程组求解.
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幻灯片 24【规范解答】(1)选A.a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).
(2)① =(5，4)-(2，3)=(3，1).
②∵ =(7，10)-(2，3)=(5，7)，
=(7，10)-(5，4)=(2，6)，
∴ =m(5,7)+n(2,6)
=(5m+2n,7m+6n)
∵ =(3，1)，
∴
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幻灯片 25【互动探究】本例中第(2)题条件不变，问题变为：
“若 试求λ为何值时，点P在一、三
象限的角平分线上.”又该如何求解？
【解析】设P(x,y),则
∵
若点P在一、三象限的角平分线上.
则5+5λ=4+7λ,∴λ= .
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幻灯片 26【反思·感悟】求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算，以及求向量的坐标表示等问题，关键是理解平面向量线性运算和坐标形式的性质与规律.解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
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幻灯片 27【变式备选】已知A(1，-2)、B(2，1)、C(3，2)和D(-2，3)，
以 为一组基底来表示
【解析】由题知
∴ =(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12，8).
又 为平面内不共线的向量，
故根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得
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幻灯片 28∴(-12，8)=m(1，3)+n(2，4)，
也就是(-12，8)=(m+2n，3m+4n)，
可得 ，解得 .
∴
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幻灯片 29 平面向量共线的坐标表示
【方法点睛】利用两向量共线解题的技巧
(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所
求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方
程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若
则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题
比较方便.
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幻灯片 30【提醒】1.注意0的方向是任意的.
2.若a、b为非零向量，当a∥b时，a,b的夹角为0°或180°，
求解时容易忽视其中一种情形而导致出错.
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幻灯片 31【例3】已知a=(1,0),b=(2,1),
(1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线.
(2)若 且A、B、C三点共线，求m的值.
【解题指南】(1)利用向量共线的充要条件列出关于k的方程求
解即可.
(2)可引入参数λ使 求m，或利用 ∥ 的坐标形
式求m.
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幻灯片 32【规范解答】(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).
a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
∵ka-b与a+2b共线，∴2(k-2)-(-1)×5=0,
即2k-4+5=0,得k= .
(2)方法一:∵A、B、C三点共线，∴
即 ,解得m= .
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幻灯片 33方法二： =2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),
∵A、B、C三点共线，∴ ∥ ，
∴8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,∴m= .
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幻灯片 34【反思·感悟】1.利用已知列方程求解参数是解该类问题
的关键.2.若 ∥ ，则A、B、C三点共线，注意这一结
论的应用.
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幻灯片 35【变式训练】已知向量 =(3，-4)， =(6，-3)， =
(5-m,-3-m),若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条
件是_________.
【解析】因为 =(3，-4)， =(6，-3)， =(5-m,-3-m)，
所以 =(3，1)， =(-m-1,-m).
由于点A、B、C能构成三角形，所以 与 不共线，
而当 与 共线时，有 解得m= ,故当点
A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是m≠ .
答案：m≠
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幻灯片 36【变式备选】向量a=(x,1),b=(9,x),若a与b方向相反，
则x=__________.
【解析】因为a∥b,所以x2=9，所以x=±3.又因为a与b
方向相反，所以x=-3.
答案：-3
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幻灯片 37【易错误区】忽视向量平行的充要条件致误
【典例】(2011·湖南高考)设向量a,b满足
且a与b的方向相反，则a的坐标为________.
【解题指南】设a=λb (λ<0),利用 列出关于λ的方
程求解即可.
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幻灯片 38【规范解答】∵a与b方向相反，∴可设
∴a=λ(2,1)=(2λ,λ).由 解得λ=-2,
或λ=2(舍)，故a=(-4,-2).
答案：(-4，-2)
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幻灯片 39【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：
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幻灯片 401.(2012·宿州模拟)设 x,y∈R且A、B、C三
点共线(该直线不过点O)，则x+y=( )
(A)-1 (B)1 (C)0 (D)2
【解析】选B.如图，设
则
∴x=1-λ,y=λ,∴x+y=1.
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幻灯片 412.(2011·上海高考)设A1,A2,A3,A4是平面上给定的4个不
同点，则使 成立的点M的个数
为( )
(A)0 (B)1
(C)2 (D)4
【解析】选B.方法一：取特殊值，令A1(0,0),A2(0,1),
A3(1,1),A4(1,0),则满足 的条件
的点有且仅有1个，即为正方形A1A2A3A4的中心，故选B.
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幻灯片 42方法二：设M(x,y),Ai=(xi,yi)(i=1,2,3,4),则 =(xi-x,
yi-y).
由 得
∴ ，∴点M只能有一个，故选B.
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幻灯片 433.(2012·济宁模拟)已知向量a=(3，x-1)，b=(1，2)，若
a∥b，则实数x的值为( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
【解析】选C.∵a=(3，x-1)，b=(1，2)，且a∥b，
∴x=7.
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幻灯片 444.(2011·北京高考)已知向量
若 与c共线，则k=_________.
【解析】
又∵ 与c共线，
∴ ∥c,∴ -3×k=0,解得k=1.
答案：1
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